с использованием команды quiver3: а – плоское; б – объемное

В дальнейшем для построения векторов будем использовать функцию quiver и quiver3.

5.2. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Пусть в пространстве заданы точка М и ось l (направленная прямая). Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра,

опущенного из точки М на ось l .

Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси l (рис. 5.10, а).

Если точка М и ось l заданы на плоскости, точка М1 есть точка пересечения оси l с прямой, проходящей через точку М перпендикулярно оси l (рис. 5.10,

б).

Пусть в пространстве заданы ось l и вектор AB и А1, В1 – проекции на ось l

Рис. 5.10. М1 – проекция точки М на ось l : а – в пространстве; б – на плоскости

112

Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное длине вектора

A1B1 , взятое со знаком «+», если направление вектора A1B1 совпадает с нап-

равлением оси l (рис. 5.11, а), и со знаком «–», если направление вектора A1B1

противоположно направлению оси l (рис. 5.11, б). Обозначение: прl AB .

Рис. 5.11. А1, В1 – проекции на ось l начала A и конца В вектора AB

впространстве. Направление вектора A1B1 :

а– совпадает с направлением оси l; б – противоположно направлению оси l

Если ось l и вектор AB заданы на плоскости, то возможны два случая:

направление вектора A1B1 совпадает с направлением оси l (5.12, а); направле-

ние вектора A1B1 противоположно направлению оси l (5.12, б).

ложно направлению оси l (рис. 5.11, б и 5.12, б), то прl AB A1B1 ; если точ-

ки A1 , B1 совпадают ( AB 0 или AB l ), то прl AB = 0.

113

Пусть в пространстве заданы вектор a , ось l и угол1 (φ ) между вектором a

3) 2 . Тогда прl a 0 a cos . Теорема доказана.

Пусть заданы векторы a , b и ось l. Линейные операции над проекциями вектора на ось обладают следующими свойствами:

1)прl a b прl a прl b ,

2)прl a прl a , где R .

Справедливы следующие утверждения:

Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

1 Угол, на который надо повернуть против часовой стрелки ось l, чтобы ее направление совпало с направлением данного вектора.

114

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

Проекция линейной комбинации векторов a , b на ось l равна линейной

5.3. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. ОРИЕНТАЦИЯ БАЗИСА

Пусть даны прямая L и ненулевой вектор a , лежащий на ней (рис. 5.14).

L

a

Рис. 5.14. Ненулевой вектор a лежит на прямой L

Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы a и b коллинеарны, a 0 , то существует и притом только одно число R , удовлетворяющее равенству b a .

Таким образом, любой вектор b , лежащий на прямой l, может быть представлен в виде b a , R и такое представление единственно. Это означает, что любой вектор на прямой L с использованием операции умножения вектора на число может быть однозначно выражен через вектор a .

Базисом на прямой L называется любой ненулевой вектор a , лежащий на этой прямой.

Пусть b a , тогда число R будем называть координатой вектора b в базисе a и обозначать b ( ) или b .

Таким образом, базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Рассмотрим более общий случай плоскости или пространства и попытаем-

ся ответить на следующий вопрос: сколько и каких векторов нужно задать, чтобы через них с помощью операции сложения векторов и умножения вектора на число можно было бы однозначно выразить любой другой вектор? Ответ на этот вопрос дают следующие две теоремы, доказательство которых можно найти в стандартных школьных учебниках.

Теорема 5.2. Любой вектор, лежащий на плоскости, можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, лежащим в этой же плоскости, притом единственным образом.

115

Теорема 5.3. Любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам и притом единственным образом.

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Что означает упорядоченная?

Рассмотрим некоторую плоскость π и три вектора a , b , c π . Пусть a , b – неколлинеарны. Тогда можно записать:

где , R .

Будем считать вектор a – первым, b – вторым. Тогда запись α, β в бази-

се a , b однозначно определяет вектор c .

Числа , называются координатами вектора c в базисе a , b .

Обозначение: c , или c , . В дальнейшем мы не будем оговаривать тот или иной способ обозначения.

Если будем считать вектор b – первым, a – вторым, тот же самый вектор c следует записать в виде c = β, α .

Таким образом, координаты вектора c в заданном базисе зависят от того, какой вектор считать первым, а какой вторым, т. е. для заданной пары неколлинеарных векторов a и b существуют два базиса: a , b и b , a на плоскости.

В пространстве принципиально ничего не меняется, только вместо (5.1)

Обозначение: d , , .

Упражнение. Сколько базисов существует для трех заданных некомпланарных векторов в пространстве?

Базис называется ортогональным, если все базисные векторы попарно перпендикулярны.

Будем считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.

116

Ортогональный базис, у которого длины всех базисных векторов равны единице, называется ортонормированным.

На плоскости ортонормированным базисом является пара векторов i, j ,

В пространстве ортонормированным базисом является тройка векторов

Введем понятие ориентации тройки некомпланарных векторов.

Пусть даны два ортонормированных базиса e1, e2 ,e3 и f1, f2 , f3 . Можно ли совместить эти базисы при помощи перемещения в пространстве?

Понятно, что векторы e1 и f1 можно всегда совместить. Тогда совпадут плоскости векторов e1, e2 и f1, f2 . Поворачивая эту плоскость вокруг направ-

ления e1 , всегда можно совместить векторы e2 и f2 . Так как базисы ортонор-

и f1, f2 , f3 совмещаются, во втором случае – нет.

Предположим, что эти базисы не совмещаются, т. е. e3 f3 и рассмотрим еще один ортонормированный базис g1, g2 , g3 . Повторяя описанную выше процедуру совмещения, получим, что этот базис совпадает либо с базисом e1, e2 , e3 , либо с базисом f1, f2, f3 . Таким образом, множество всех ортонормированных базисов распадается на два класса. Базисы, принадлежащие одному классу, совмещаются друг с другом перемещением, а базисы, принадлежащие различным классам, не совмещаются. Эти классы называются классами ориентации или просто ориентацией базисов.

Вывод: Базисов много, ориентаций – две.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в пространстве называется правоориентированной (или правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис. 5.15, а). В противном случае, тройка называется левоориентированной

(или левой) (рис. 5.15, б).

Пространство, в котором выбран базис, – ориентированное.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат (ДПСК) Охyz с ортонормированным базисом i, j, k . Пусть a – произвольный

117

вектор пространства. Совместим его начало с началом координат: a OM .

– проекции точки М на координатные оси Ox, Oy, Oz соответ-

ственно, α, β, γ – углы между вектором a и координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно (рис. 5.16).

Рис. 5.15. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов: а – правая; б – левая

z M3

Рис. 5.16. α, β, γ – углы между вектором a OM и координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно, M1 , M 2 , M3 – проекции точки М

на координатные оси Ox, Oy, Oz соответственно

Тогда имеем: прOx a OM1 , прOy a OM 2 , прOz a OM 3 .

118