3.4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

Anisimova_G_D__Evseeva_S_I__Myshlyavtseva_M_D__UP_Ispolzovanie_MATLAB_pri_izuchenii_matematiki.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

10.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Действие	Результат в командном окне

а) Найти сумму и разность матриц A и С	>> A+C
	ans =
	3	-1	10
	1	2	-8
	>> A-C
	ans =
	-7	3	-4
	7	2	4
б) Найти произведение матриц C и B	>> C*B
	ans =
	-27	52	-49
	24	-42	27
в) Результат произведения матриц C и B	>> ans*5
умножить на число 5	ans =
	-135	260 -245
	120 -210 135
г) Найти определитель матрицы В	>> det(B)
	ans =
	-285.0000
д) Найти матрицу, обратную матрице В	>> inv(B)


	ans =
	0.0912		0.0281	-0.1579
	0.0807		0.1018	0.0526
	-0.0667		0.1333	0.0000
е) Найти значение выражения	>> (A-C)B^3(A+C)'
(A-C)·B3·(A+C)T	ans =
	38834		-29635
	-25084		18460

чению 2 2 . Заметим, что собственным вектором,

соответствующим соб-

ственному значению

2 , будет любой из векторов

, C const 0 .

ственному значению

2 , будет любой из векторов

, C const 0 .

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид

a11x1 a12 x2 a1n xn b1

a2n xn

a21x1 a22 x2

(3.3)

x a

m1 1

где x1, x2 , , xn – неизвестные; числа aij

– коэффициенты системы; b j – сво-

бодные члены; aij , bj , i 1,m,

j 1,n, – действительные числа.

Совокупность n чисел

x , x , , x , таких что при их подстановке в систе-

му (3.3) вместо неизвестных x1, x2 , , xn

каждое из уравнений системы обраща-

ется в равенство, называется решением системы (3.3).

Введем следующие обозначения:

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

A A | B

X x , x , , x

T , B b , b , , b T .

1 2

Матрица A называется основной,

A – расширенной; X – столбец неиз-

вестных,

B – столбец свободных членов (3.3).

Используя введенные обозначения, запишем систему (3.3) в матричной

форме

AX B .

(3.4)

Например,

имеет матричную форму

AX B ,

где

x2 2

1 1

, B

X 1

Для СЛАУ (3.3) возможны три случая:

1)система имеет единственное решение;

2)система имеет бесконечно много решений;

3)система не имеет решений.

В случаях 1 и 2 СЛАУ (3.3) называется совместной, в случае 3 – несов-

местной.

Теорема 3.1. (Кронекера – Капелли). СЛАУ (3.3) совместна тогда и только тогда, когда r A r A .

Теорема 3.2. (о числе решений). Пусть дана СЛАУ (3.3), r A r A . То-

гда:

1)если r(A) n , то система (3.3) имеет единственное решение;

2)если r(A) n , то система (3.3) имеет бесконечно много решений.

Исследование СЛАУ (3.3) на совместность и несовместность с помощью теорем 3.1 и 3.2 можно изобразить схематически (рис. 3.1).

СЛАУ (3.3)

Нет решений

Существует		Существует
единственное		бесконечно
решение		много решений

Рис. 3.1. Исследование СЛАУ на совместность и несовместность

Пример 3.12. Исследовать на совместность СЛАУ:

1) x1 x2 4								2) x1 x2 4												3) x1 x2 4
x1 x2 2									2x1 2x2 8											2x1 2x2 9
Решение. 1)				1	1	,			1		1
													4
													4
			A					A			1				, r A r A 2 .
				1	1				1		1		2

По теореме Кронекера –								Капелли система совместна. Поскольку															n 2
и r A n , то по теореме 3.2 система имеет единственное решение.
	1	1			1	1		4

									, r A			1,			r A 1, r A r A 1.
2) A			,	A					, r A			1,			r A 1, r A r A 1.
	2	2				2
	2	2			2	2		8
По теореме Кронекера –								Капелли система совместна. Поскольку															n 2
и r A n , то по теореме 3.2 система имеет бесконечно много решений.
1 1					1	1	4			r A		1			r		2		r A r

									,					,		A		,			A	.
																A					A
3) A			,	A
	2	2				2
	2	2			2	2		9

Система не имеет решений (рис. 3.1).

Ответ. 1) система имеет единственное решение; 2) система имеет бесконечно много решений; 3) система не имеет решений.

Далее рассмотрим частный случай СЛАУ, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Крамеровские системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 a1n xn b1

a21x1 a2n xn b2

...

an1x1 ann xn bn .

Крамеровской называется система линейных уравнений, число уравнений которой равно числу неизвестных и основная матрица невырожденна.

Запишем крамеровскую систему в матричной форме:
AX B ,	(3.5)

где A aij n n , det A 0, B b1, , bn T , X x1, , xn T .

Теорема 3.3. (Крамера). Крамеровская система (3.5) имеет единственное решение, которое находится по формуле

X A 1B .

(3.6)

Нахождение решения системы (3.5) по формуле (3.6) называется матрич-

ным способом.

Обозначим det A 0 и запишем (3.6) в развернутом виде:

x1		A11

x2	1	A12





			A1n
xn			A1n

A21 An1

A22 An2

A2n Ann

b1			A11b1	A21b2	An1bn

b2		1	A12b1	A22b2	An2bn	. (3.7)





b			A b	A b A b
	n		1n 1	2n 2	nn n

Заменяя j-й столбец определителя на столбец свободных членов, получим определитель

a11

a1n

j 1, n.

an1

ann

Заметим, что

a11

a1n

A1 jb1 A2 jb2 Anjbn j ,

j 1, n.

an1

ann

Из полученного равенства и (3.7) имеем формулы, которые называются

формулами Крамера:

x	1	, x	2	2	, , x	n	n	.	(3.8)

1

Пример 3.13. Решить систему уравнений: а) матричным способом; б) с по-

мощью формул Крамера: x1 x2 4

x1 x2 2.

	1		1		,	x					4	, запишем систему в
Решение. Полагая A					,	X		1	,	B		, запишем систему в
	1	1				x		2			2
								2
матричной форме: AX B .
Поскольку det A		1		2 0 ,			система крамеровская, имеет един-
Поскольку det A	1	1		2 0 ,			система крамеровская, имеет един-
	1	1

ственное решение. Найдем его матричным способом (3.6) и с помощью формул Крамера (3.8).

а) С помощью формулы (3.2) вычислим A 1 . Алгебраические дополнения:

A11 1, A12 1, A21 1, A22 1.
								1								A			A							1						1		1
		A 1						1									11		21							1
																	11		21																.
																																1			.
						det					A			A					A							2						1		1
																	12		22
Проверим равенство A 1 A E :
	1																					1						2 0
A 1 A				1 1 1 1																								2 0								1 0
																																							E .
																																							E .
				1 1																	2								0 2							0		1
	2			1 1									1					1			2								0 2							0		1
По формуле (3.6) получим
										1							1		1				4						1				6				3
		A 1B								1																			1
X																																				,
X																																				,
									2								1		1				2						2					2			1
									2								1		1				2						2					2			1
																	x1 3,			x2				1.
б) Вычислим определители 1 и 2 , полученные из																																				заменой соответ-
ственно 1-го столбца и 2-го столбца на столбец свободных членов:
					1										1			6 , 2									1		4		2 .
					1						4				1			6 , 2									1		4		2 .
											2			1													1		2
Из (3.8) получим
			x				1					6 3, x													2					2 1.
			x									6 3, x									2									2 1.
				1										2							2										2
														2																	2

Подставив полученные значения во все уравнения исходной системы, убедимся в правильности полученного решения.

Ответ. x1 3, x2 1.

Метод Гаусса

Матричный способ и формулы Крамера связаны с вычислениями определителей, поэтому чаще используются в теории. Если при решении СЛАУ матричным способом нужно проделать примерно 2n3 операций, то методом Гаусса можно найти решение в 3 раза быстрее.

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) – один из наиболее универсальных методов исследования и решения СЛАУ.

Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямого и обратного хода.

При прямом ходе расширенная матрица СЛАУ с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. При решении системы n уравнений с n неизвестными требуется выполнить 2 / 3 n3 операций.

При обратном ходе вычисляются значения неизвестных. При решении системы n уравнений с n неизвестными требуется выполнить n2 операций.

Трудоемкость метода определяется в основном прямым ходом. Число арифметических действий ненамного больше числа арифметических действий, требуемых при вычислении одного определителя.

Известно, что элементарным преобразованиям СЛАУ соответствуют такие же элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы, и СЛАУ однозначно восстанавливается по своей расширенной матрице.

Алгоритм прямого хода метода Гаусса:

1)записывается расширенная матрица СЛАУ A A | B ;

2)с помощью элементарных преобразований над строками расширенная

матрица A приводится к трапециевидной матрице;

3) если появляется строка 0 0 0 | b , b 0 , то преобразования прекращаются и делается вывод о несовместности исследуемой СЛАУ;

4) если в полученной матрице будет строка 0 0 0 | 0 , то этой строке будет соответствовать уравнение 0 x1 0 xn 0 и, следовательно, в соответствующей этой матрице СЛАУ данное уравнение можно опустить.

Метод Гуасса является эффективным способом исследования на совместность или несовместность СЛАУ. В случае совместности нахождения всех ее решений при прямом ходе одновременно вычисляются ранги r A и r A , а при обратном ходе в случае совместности СЛАУ находятся все ее решения.

Пример 3.14. Используя метод Гаусса, исследовать СЛАУ на совместность:

x1 x2 3 а) x1 x3 4 ,

x2 x3 5

x1 x2 x4 1

б) x1 x2 x3 x4 22x1 2x2 2x3 2x4

,в) x1

4 x1

x2 2x4 3

8x2 6x3 5x4 1.

x2 2x4 7

В случае совместности найти все решения.

Решение. а) Прямой ход. Расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований приведем к ступенчатому виду:

1		1	0	3	1		1	0	3

										( 1)	II ~
1		0	1	4	II I ~ 0		1	1	1
	0	1	1	5		0	1	1	5

1 1 0				3		1 1			0	3
1 1 0				3		1 1			0	3

~ 0		1	1	1		~ 0		1	1	1 .
	0	1	1	5	III II		0	0	2	6

r A r		3,	n 3 . Из теорем 3.1 и 3.2 (рис. 3.1) получим, что система имеет
r A r	A	3,
единственное решение.
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой
матрице:
			x	x	3
			1	2	1
				x2 x3	1
				2x3	6.
				2x3	6.

	Обратный ход. Из третьего уравнения получим x3 3 , из второго уравне-
ния x2 1 x3 1 3 2, из первого уравнения x1 3 x2												3 2 1.
	Полученные значения x1 1,							x2 2 ,	x3 3 подставим в левые части урав-
нений исходной системы и убедимся в правильности найденного решения.
	б) Прямой ход
	1	1 0	1				1	1 0	1	1			1	1 0	1	1
	1	1 0	1	1			1	1 0	1	1			1	1 0	1	1
		1 1			II I			2 1						2 1
	1	1 1	1	2	II I	~	0	2 1	0	1	~		0	2 1	0	1 ,

	2	2 2	2	4	III 2 I		0	4 2	0	2	III 2 II		0	0 0	0	0

r A r A 2 , n 3 , r A n .

Из теорем 3.1 и 3.2 (рис. 3.1) следует, что система имеет бесконечно много решений.

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой

матрице: x1 x2 x4 1 .		Поскольку							1			1		2 0 ,				x1		и x2	выразим через
матрице: x1 x2 x4 1 .		Поскольку							1			1		2 0 ,				x1		и x2	выразим через
	2x2 x3 1								0			2
x3 и x4 .
Перенесем члены с неизвестными x3											и x4			в правую часть:
			x			x					1 x				4 .
					1					2					4 .
						2x2						1 x3
Положив	x3 C1 и x4	C2 , где C1, C2										– произвольные постоянные, полу-
чим:
			x			x					1 C					2 .
					1					2						2 .
						2x2						1 C1
Обратный ход. Выразим неизвестные x1 и x2 :
			x	2			1 C1						C1 1				,
			x														,
								2						2
			C1 1					2						2
x1 1 C2 x2 1 C2			C1 1					1	2		2C2 1 C1								1	3 C1	2C2 .
x1 1 C2 x2 1 C2			2					2	2		2C2 1 C1								2	3 C1	2C2 .
			2					2											2

Общее решение системы имеет вид

x			1		C C				3
x					C C		2
1			2		1		2	2			x1
			2					2			x1
		1				1						x
		1		C1		1						x	2
x2										или
x2										или
		2				2
		2				2					x3
	C1										x3
x3	C1
	C2										x4
x4	C2

где C1, C2 – произвольные постоянные.

					3
	1			2
	1			2	2
					2
C	1	C	2	0	1
1			2				,
2	2	2		0		2	,
2	2	2		0	0
	0			2	0
	0			2	0
					0


Полученные выражения x1	1	3	C1	2C2 ,	x2	C1	1	,	x3 C1 ,	x4 C2
	2					2

подставим в левые части уравнений исходной системы и убедимся в правильности найденного решения.

	1 1 0			2	3		1 1			0	2	3
	1 1 0			2	3		1 1			0	2	3
						II I
	1	8	6	5	1	II I	~ 0		7	6	3	2
в)	1	1	0	2	7	III I		0	0	0	0	4	.

r A 2 ,	r		3,	r A r		,	следовательно, исходная система несовмес-
		A			A
тна. Появление строки 0 0 0 0 \|							4 указывает на несовместность исходной си-

стемы.

Ответ. а) система имеет единственное решение: x1 1, x2														2 , x3		3 ;
б) система имеет бесконечно много решений:									x1	1	3 C1 2C2 ,			x2	C1	1	,
б) система имеет бесконечно много решений:									x1	2	3 C1 2C2 ,			x2	2		,
										2					2
x3 C1 , x4 C2 , где C1, C2			– произвольные постоянные;										в) система не имеет
решений.
	Использование MATLAB при решении СЛАУ
Для решения СЛАУ
							AX B ,
где A aij n n , det A 0,			B b1, , bn T , X x1, , xn T , в MATLAB исполь-
зуются встроенные функции:

	linsolve(A,B)						и						A\B

Пример 3.15. Решить СЛАУ в MATLAB:
			x	x		9x		13
			1		2			3
			2x1 x2 3x3 10 .
			x	5x		2	x	7
			1			2		3
Решение. Запишем СЛАУ в матричной форме:
					AX B ,
где
	1		1	9				x		13
								1
	A	2	1	3		, X x2			, B			10	.
		1 5		1								7
		1 5		1				x3				7

Зададим матрицу A и вектор-столбец B в командном окне:

>> A=[1 -1 9; 2 -1 -3; 1 5 1]

A =
1	-1	9
2	-1	-3
1	5	1

>>B=[13; -10; 7]

-10 7

В следующей таблице показаны три способа решения СЛАУ с использова-

нием MATLAB:

1 способ. С использованием встроенной функции linsolve(A,B)

>> X=linsolve(A,B)

X = -1.6441 1.3729 1.7797

2 способ. С использованием деления матриц справа налево

Вычислим определитель матрицы А.	>>det(A)
Вычислим определитель матрицы А.	>>det(A)
	ans =
	118
Найдем вектор Х.	>>X=A\B
	X =
	-1.6441
	1.3729
	1.7797
3 способ. Методом Гаусса

Построим расширенную матрицу СЛАУ,	>>C=[A, B]
используя горизонтальную конкатенацию	C =
	1	-1		9	13
	2	-1		-3	-10
	1	5		1	7

Приведем матрицу C к треугольному виду,	>>D=rref(C)
Приведем матрицу C к треугольному виду,	>>D=rref(C)
используя встроенную функцию rref(С)	D =
	1.0000		0.0000 0.0000 -1.6441
	0.0000			1.0000		0.0000	1.3729
	0.0000			0.0000		1.0000	1.7797
Присвоим значение последнего столбца	>>X=D( : , 4)
(в данном случае 4-го) матрицы D вектору X	X =
	-1.6441
	1.3729
	1.7797

Пример 3.16. Решить системы уравнений из примера 3.14:

x		x		3
1			2
а) x1 x3 4 ,
x	2	x		5
	2		3

x1 x2 x4 1

б) x1 x2 x3 x4 22x1 2x2 2x3 2x4

	x1
	, в) x1
4	x
	1

x2 2x4 3

8x2 6x3 5x4 1 .

x2 2x4 7

Решение. а) Для исследования СЛАУ на совместность и нахождения единственного решения создадим скрипт-файл:

m-файл syslae.m disp('Исследование СЛАУ на совместность') disp(' ') % вывод пустой строки на экран disp('Основная матрица:')

A=[1 1 0; 1 0 1; 0 1 1] disp('Число уравнений:') n = length(A(:,1))

disp('Вектор свободных членов:') B=[3;4;5]

disp('Расширенная матрица:') AB = [A B]

disp('Ранг расширенной матрицы:') rAB = rank(AB)

disp('Ранг основной матрицы:') rA = rank(A)

%Проверка совместности

%если r(AB)не равен r(А), то система несовместна if rAB~=rA

disp('Система несовместна:')

%если r(AB)=r(А)=n,то система имеет единственное решение elseif (rAB==rA) & (rA==n)

disp('Система имеет единственное решение:') X = linsolve(A,B)

disp('Проверка:') B_=A*X

%если r(AB)=r(А)<n,то система имеет бесконечно много решений else (rAB==rA) & (rA<n)

disp('Система имеет бесконечно много решений:') end

После вызова и выполнения m-файла syslae.m в командном окне появится следующее сообщение:

Исследование СЛАУ на совместность Основная матрица:

A =

1	1	0
1	0	1
0	1	1

Число уравнений: n =

Вектор свободных членов:

Расширенная матрица: AB =

1	1	0	3
1	0	1	4
0	1	1	5

Ранг расширенной матрицы: rAB =

Ранг основной матрицы: rA =

Система имеет единственное решение

Проверка:

B_ = 3 4 5

б) Заменим в m-файле syslae.m матрицу А и вектор В на

A = [1 1 0 1; 1 -1 1 1; 2 -2 2 2] и B = [1; 2; 4]

и получим сообщение:

Исследование СЛАУ на совместность Основная матрица:

A =
1	1	0	1
1	-1	1	1
2	-2	2	2

Число уравнений: n =

Вектор свободных членов:

Расширенная матрица:

AB =
1	1	0	1	1
1	-1	1	1	2
2	-2	2	2	4

Ранг расширенной матрицы: rAB =

Ранг основной матрицы: rA =

2 ans =

logical 1

Система имеет бесконечно много решений

в) Заменим в m-файле syslae.m матрицу А и вектор В на

A = [1 1 0 2; 1 8 6 5; 1 1 0 2] и B = [3; 1; 7]

и получим сообщение:

Исследование СЛАУ на совместность Основная матрица:

A =
1	1	0	2
1	8	6	5
1	1	0	2

Число уравнений: n =

Вектор свободных членов:

Расширенная матрица: AB =

1	1	0	2	3
1	8	6	5	1
1	1	0	2	7

Ранг расширенной матрицы: rAB =

Ранг основной матрицы: rA =

Система несовместна

3.5.СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ИСОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Число называется собственным значением матрицы А, если существует вектор X 0 , удовлетворяющий условию

		AX X .							(3.9)
Вектор X называется собственным вектором квадратной матрицы А, со-
ответствующим собственному значению .
Пусть X x , x , , x	T	– собственный вектор, соответствующий соб-
1 2	n		aij n n . Запишем уравнение (3.9) в виде
ственному значению матрицы A			aij n n . Запишем уравнение (3.9) в виде
		( A E) X 0 .							(3.10)
Система (3.10) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
		a11	a12		a1n
		a11	a12		a1n
det( A E)		a21	a22		a2n	0 .			(3.11)
det( A E)						0 .			(3.11)

		an1	an2	ann
Многочлен n-й степени
f ( ) det( A E) ( 1)n n p n 1					p		p	n	(3.12)
				1			n 1	n

называется характеристическим многочленом матрицы А.

Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения

						f ( ) 0 .									(3.13)
	Коэффициенты p1, p2 , , pn				многочлена				f ( ) можно выразить через ми-
норы матрицы А, например, p ( 1)n 1 a								a	22	a	nn	,	p	n	det A .
			1			11			22		nn			n
	Сумма элементов главной диагонали матрицы называется следом матрицы.
	Имеют место следующие равенства:
			1 2 n det A,		1 2 n a11 a22								ann .
	Пример 3.17. Найти собственные значения и собственные векторы матри-
цы	1	2
цы	A		.
		0
	1	0
	Решение. Характеристический многочлен матрицы А
		f ( ) det( A E)		1		2	1				2 2				2
		f ( ) det( A E)		1		2	1				2 2				2
					1

имеет два корня 1 1 и 2 2 , которые являются собственными значениями матрицы А.

		Найдем собственный вектор,					соответствующий 1 1. Подставим 1 в
(3.10), т. е. (A E)X 0 , и получим однородную систему
					1 1		2	2		2 x	0
							X				,

					1	1		1	1 y		0
эквивалентную уравнению x y 0 . При									y 1 получим x 1. Таким образом,
			1
X			1	– собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 1.
X
	1
		1
Заметим, что собственным вектором, соответствующим собственному значе-
нию							1		C const 0 .
нию					1, будет любой из векторов C			,	C const 0 .
			1
							1
		Найдем собственный вектор, соответствующий 2 2 . Подставим 2
в (3.10), т. е. (A 2E)X 0, и получим однородную систему
					1 2		2	1 2		x	0
							X					,
						1	2	1 2		y	0

эквивалентную уравнению x 2y 0. При				y 1 получим x 2 . Таким обра-
зом, X		2
зом, X	2		– собственный вектор, соответствующий собственному зна-
	2	1
		1

Справедливы следующие утверждения:

 Любая квадратная матрица А порядка n с различными собственными значениями λ1, λ2, ..., λn может быть приведена к диагональному виду

	1		0		0
		0	2		0
P 1 AP D						,



		0	0	0	n

где матрица P составлена из собственных векторов						X1, X2 , , Xn , соответ-
ствующих собственным значениям λ1, λ2 , ..., λn .

Любую действительную симметричную матрицу можно диагонализиро-

вать.

Если λ1, λ2, ..., λn – собственные значения матрицы А, то λ21, λ22 , ..., λ2n –

собственные значения матрицы А2.

 Если – собственное значение невырожденной матрицы А, то 1 – собственное значение матрицы A 1.

Использование MATLAB при нахождении собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы

Для нахождения собственных значений квадратной матрицы A aij n n

в MATLAB используется встроенная функция eig(А)

Для нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов квадратной матрицы A aij n n в MATLAB используется встро-

енная функция

[R U]=eig(А)

Здесь столбцы матрицы R есть собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям, которые стоят на диагонали матрицы U.

Пример 3.18. Используя встроенные функции eig(А) и [R U]=eig(А), найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1			2	из примера 3.17;
а) A				из примера 3.17;
	1		0
	1		0
		3	1	7
б) B		4	5	6
б) B		4	5	6	.
		9	0	2
		9	0	2

Решение показано в следующей таблице:

	а)				б)

		Cоздадим матрицы А и В

>>A=[-1 2; 1 0]			>>B=[3 1 7; 4 5 6; 9 0 -2]
A =			В =
-1	2		3	1	7
1	0		4	5	6
			9	0	-2
	Вычислим собственные значения матриц А и В,
		используя встроенную функцию eig(А)
>>eig(A)			>>eig(B)
ans =			ans =
-2			-7.6718
1			9.9731
			3.6988

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
10.06.2025372.95 Кб01.jpg
#
10.06.2025368.08 Кб02.jpg
#
10.06.2025350.57 Кб03.jpg
#
10.06.2025341.89 Кб04.jpg
#
10.06.2025211.88 Кб05.jpg
#
10.06.202510.07 Mб0Anisimova_G_D__Evseeva_S_I__Myshlyavtseva_M_D__UP_Ispolzovanie_MATLAB_pri_izuchenii_matematiki.pdf
#
10.06.202517.38 Кб0Lab_rab_shablon.xlsx
#
10.06.202513.22 Mб0Pismennyi.pdf
#
10.06.202539.37 Mб0Sbornik_zadach_po_vysshey_matematike_1_kurs_Lungu_K_N__Pismenny_D_T_i_dr_2008_-576s.pdf
#
10.06.2025156.17 Кб0Tabl_Zakony_raspredelenia.pdf
#
10.06.202554.42 Кб0Voprosy_k_ekzamenu_ver_3.pdf