- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Б и С не лежат на одной прямой, следовательно, рассматривае мая система является неизменяемой.
Задачи. 1. Доказать геометрическую неизменяемость системы, показанной на фиг. 2.11,6.
Указание. Выделить из системы три элемента, стержень HJ и треугольники CDE и CGF, являющиеся неизменяемыми систе мами каждый в отдельности, и затем рассмотреть соединение этих элементов между собой.
2. Доказать изменяемость системы, изображенной н фиг. 2. 11,в.
С л о ж н ы е ф е р м ы . Фермы, не являющиеся простейшими, называются сложными. Они могут быть получены соединением простейших ферм друг с другом. Выше (фиг. 2. 9,а; 2. 9,в; 2. 11 ,а; 2. 11,6) были даны примеры образования сложных ферм таким путем. Сложная ферма по лучается из простейшей также путем ее преобразования. Если изменить распо ложение стержней в простейшей ферме, то можно получить так называемую
преобразованную ферму. В качестве примера рассмотрим простейшую фер му, изображенную на фиг. 2. 5,6. Вы бросим стержень CD. Система станет изменяемой. Введя стержень DG (фиг. 2. 12), снова получим неизменяе
мую систему. В этом нетрудно убедиться: неизменяемая часть FGE, состоящая из двух треугольников, прикреплена к неизме няемой системе точек АСBE при помощи шарнира Е и стержня GC, направление которого не проходит через точку Е; следова тельно, новая система неизменяема. Полученная в результате преобразования ферма уже не является простейшей — ее нельзя
получить последовательным присоединением |
узлов. |
|
|
||||
§ 4. |
Определение усилий в прикрепляющих стержнях |
|
|||||
П р и к р е п л е н и е |
узла . |
Пусть имеем |
точку А |
(фигу |
|||
ра 2. 13,а), прикрепленную двумя стержнями Л Б и Л С |
к не |
||||||
изменяемой системе |
В |
узле |
Л приложена |
сила Р=1000 |
кг. |
||
Требуется |
определить |
силы |
N AB и N Ac, |
действующие |
на |
прикрепляющие стержни. Ясно, что подкос АС сжат, а тяга АВ растянута. Так как концы стержней прикреплены шарнирно, каждый из стержней находится под действием только сил, направленных по его оси. На фиг. 2.13,6 показана отдельно тяга АВ и действующие на нее растягивающие силы: справа — сила, передаваемая шарниром Л под действием нагрузки Р, слева — реакция опоры В. Очевидно, эти силы одинаковы. На
45
фиг. |
2.13, в показан |
отдельно подкос |
АС и действующие на |
||||||
него |
сжимающие |
силы N AC· |
Чтобы |
определить |
силы N AB |
||||
и N AC, рассмотрим |
равновесие |
узла Л. На фиг. 2. 13,г показан |
|||||||
отдельно |
узел А |
и |
действующие |
на него |
силы: |
нагрузка |
|||
Р = 1000 |
кг, усилие |
подкоса |
N AC |
и усилие |
тяги |
NAB. Под |
влиянием этих сил узел находится в равновесии (собственным весом узла пренебрегаем). Применим уравнения равновесия — два уравнения проекций (уравнение моментов для сил, пере-
Фиг. 2.13. Определение усилий в двухстержне·» вом узле.
я—заданная двухстержневая система; б и в—силы, действующие на стержни системы (верхний стер жень растянут, нижний—сжат); г—силы, действую щие на узел; д —найденные значения и направле ния усилий стержней.
секающихся в одной точке, тождественно удовлетворяется при выборе за центр моментов точки пересечения). Проведем произвольно оси координат (фиг. 2.13, г). Взяв суммы проекций на эти оси всех сил, действующих на узел, получим два урав нения равновесия в следующем виде:
|
ѵ Х = -Л Г д В + УѴдССо8 а = 0; |
V γ = — P + N AcCos? = 0. |
||
Первое уравнение выражает условие, что сумма проекций |
||||
на |
ось X всех сил, действующих на узел, равна нулю. Си |
|||
ла |
Я в это уравнение не |
вошла, так как ее проекция на |
||
ось X равна нулю. Проекции |
сил N AB и NAC имеют различ |
|||
ные |
знаки. Второе |
уравнение |
выражает условие, что сумма |
|
проекций всех сил на ось у |
равна нулю. В это уравнение не |
|||
входит сила N AB, |
перпендикулярная к оси у. Из второго |
46
уравнения найдем |
NAC- |
Подставляя сюда числовые |
|
значения Р=10С0 |
COS β |
|
|
кг и cos β = cos 60° = 0,5, будем иметь N AC = |
|||
_ LOOO_ 2000 кг. Подставим полученное значение усилия N AC |
|||
0>5 |
|
|
cos a = cos 30° = 0,866,. |
в первое уравнение и, учитывая, что |
|||
получим —ЛТ,Я + 2000-0,866 = 0; |
отсюда |
N AB = 2000-0,866 = |
|
= 1732 кг. Таким |
образом стержень АС |
сжат силой 2000 кг, |
а стержень АВ растянут силой 1732 кг.
На фиг. 2. 13,(3 направления найденных усилий изображены стрелками: показаны реакции стержней, т. е. усилия, произво димые концами стержней на примыкающие узлы. Усилие растя жения в стержне обозначено стрелками на нем, направленными
от концов стержня (от узлов) к его середине (на |
|
|
IР |
|||
стержне АВ — фиг. 2. 13,(3), так как если стержень |
|
|
||||
растянут, то он производит на |
примыкающие |
к |
^АВ |
|
\ η |
|
его концам узлы стягивающее действие (его реак |
|
|||||
ции направлены от узлов). |
Усилие сжатия |
в |
Of' |
\ |
||
стержне обозначено стрелками обратного направ |
|
4 |
||||
ления (стержень АС на фиг. |
2. 13,(3), так как |
|
|
|
||
если стержень сжат, то он производит своими кон |
Фиг. 2. 14. Со- |
|||||
цами распирающее, действие |
на примыкающие |
|||||
ставляя |
урав- |
|||||
узлы (его реакции направлены к узлам). |
|
нения |
равно- |
|||
О б щ и й м е т о д р е ш е н и я . В рассмотрен |
весия, |
неизве- |
||||
ном примере направления усилий стержней оче |
стные |
усилия |
||||
видны. Но не всегда можно заранее предвидеть, |
следуетсперва |
|||||
предполагать |
||||||
какой из стержней сжат и какой растянут. В слож |
положитель |
|||||
ных случаях нагрузки или расположения стерж |
ными. |
|||||
ней в узле направления неизвестных усилий явля |
|
|
|
ются также неизвестными. Поэтому приходится в начале реше ния задаваться направлениями усилий произвольно. Получение отрицательного ответа после решения означает, что направление соответствующего усилия в действительности обратно предполо женному. Удобно задаваться усилиями растяжения, которые считаются положительными. Тогда отрицательный результат в решении всегда будет означать сжатие. Задаваясь положитель ными направлениями искомых усилий NAB и NAC в нашем при
мере, как показано на |
фиг. 2. 14, |
получим уравнения проекций |
в виде |
|
|
2 X = — NAB — NACcos а = 0; |
ѵ У= - Р - NAc cos β = 0. |
|
Отсюда N A C ——2000 |
кг (сжатие), N AB —1732кг (растяжение), |
В дальнейшем будем придерживаться именно такого метода ре шения. Неизвестные усилия будем предполагать при составлении уравнений положительными. И даже известные усилия стержней, но вводимые в уравнение в общем (буквенном) виде, будем предполагать положительными, вводя действительный знак толь ко при подстановке числовых значений.
47
Задача. Определить усилия в стержнях АВ и АС (фигу ра 2.15). Ответ·. N A B = N A C = 707 кг.
Р 4000кг
Фиг. 2.15.
П р и к р е п л е н и е д и с к а . Пример 1. Пусть некоторая ферма или диск I (фиг. 2. Іб.а) прикреплена шарнирно к другой ферме или к земле тремя стержнями 1, 2 и 3. Требуется опреде лить усилия, действующие на эти стержни при силе Р=1000 кг, приложенной в центре диска. Применим метод сечений. Отделим мысленно диск и рассмотрим его равновесие (фиг. 2. 16,6). На него действуют сила Р и уравновешивающие ее неизвестные ре акции Nlt N2 и Ns прикрепляющих стержней, направленные вдоль стержней, так как последние прикреплены своими концами
Фиг. 2.16. К определению усилий в стержнях, прикрепляю
щих диск.
а —диск нагружен силой Р. Определить усилия в стержнях 1, 2 и 3; б—схема равновесия; в—найденные значения усилий.
шарнирно. Усилия Nu N2 и N3 предполагаем, как выше условле но, положительными, т. е. направленными от узлов. Получаем систему четырех сил в плоскости, которая должна находиться в равновесии. Для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия (гл. I, § 6). Сумма проекций всех сил на любую ось и сумма моментов их относительно любой точки должны равняться нулю. Постараемся составить уравнения рав новесия для удобства решения так, чтобы в каждое уравнение входило как можно меньше неизвестных. Взяв сумму проекций всех сил на ось у (фиг. 2. 16,6), получим следующее уравнение (силы Л/, и N2, перпендикулярные к оси у, проекций не дают):
48
— Р—Ns = 0. Отсюда Ns= —Р ——1000 к г ,т. е. стержень 3 сжат силой 1000 кг (знак минус в решении показывает, что усилие Ns является не растягивающим, как предполагалось, а сжимаю щим).
Теперь возьмем сумму моментов относительно точки А. Считая момент, действующий по часовой стрелке, положи
тельным, получаем Р —— N 1a = Q. Это уравнение также со
держит только одно неизвестное усилие, так как усилия УѴ2 и УѴ3, проходящие через точку А, дают моменты относитель но этой точки, равные нулю, и, следовательно, в уравнение
не входят. Из уравнения находим N —>= ---- — 250 кг.
4 4
Чтобы определить последнее неизвестное Ы2, возьмем сумму проекций на ось х\ — Νχ—Ν2= 0. Отсюда Ν2——Νχ= —250 кг. Найденные значения усилий выписаны на фиг. 2. 16,в и там же показаны направления их действия на узлы. Стержень 1 растя нут, а стержни 2 и 3 сжаты.
Следует стремиться соответствующим выбором оси проекций или точки моментов получить в каждом уравнении только одно неизвестное усилие. Если этого не сделать, то решение уравне ний будет сложнее. Для плоской системы можно составить только три уравнения статики и, следовательно, можно определять не известные усилия в прикрепляющих стержнях только при усло вии, что число их не превышает трех.
Пример 2. Рассмотрим более сложный случай (фиг. 2. 17,а). Прикрепляющие стержни 1, 2 и 3 образуют с горизонталью (с
Фиг. 2.17. К определению усилий в стержнях, прикрепляющих диск.
а —диск нагружен двумя силами и моментом. Определить усилия в стержнях 1, 2 и 3; б—схе ма равновесия.
осью х) углы соответственно σ.ι=25°, 3.2=40° и а3=30°. К диску в его плоскости приложены силы Я*=2000 кг, Ру= 1000 кг и мо мент М= 200 кгм. Требуется определить усилия Nlt N2 и N3 в при крепляющих стержнях 1, 2 и 3.
4 Основы строительной механики |
49 |
Разрезав стержни 1, 2 и 3, выделим диск с действующими на него нагрузками (фиг. 2. 17,6) и составим для него уравнения равновесия. Еозьмем сумму моментов относительно точки А, че рез которую проходят стержни 2 и 3. В уравнение войдет только одно неизвестное усилие Nі. Чтобы выразить момент этого усилия относительно точки А, разложим предварительно силу N, на составляющие N, cos о, и N, sin α„ параллельные осям х и у. На фиг. 2. 17,6 эти составляющие показаны пунктиром. Верти кальная составляющая проходит через точку А и, следовательно, момента не дает. Только горизонтальная составляющая дает мо мент. Уравнение моментов относительно точки А, таким образом, имеет вид (моменты, действующие по часовой стрелке, считаем положительными):
Ру-J + Рх~ + M - ( N 1 cos α,) α = О
или после подстановки числовых значений
1000 -і— н 2000 + 200 — (Λ/j cos 25°) 1 = 0.
Отсюда, учитывая, что cos 25° = 0,906, получаем Л71 = 16С0 кг. Чтобы определить остальные неизвестные усилия Л/2 и Ns, со ставим два уравнения проекций: £ ^ = 0 и £ У = 0 . Первое урав нение запишется так (сила Рѵ и момент М проекций не дают):
Рг — Ni cos а, — N2 COS а2 — N„ cos а„=0.
Подставляя сюда числовые значения Р*=2000 кг, |
N ,= 1600 кг, |
cos 0,=0,906, cos α2=0,766, cosa3=0,866, получаем |
|
0,766 N2+ 0,866 N3=550. |
(3> |
Второе уравнение проекций (на ось у) |
|
|
t |
— Py+N, sin a,+ N 2 sin a2 — N3 sin a3=0.
Подставляем числовые значения: P„=1000 кг, N,= 1600 кг, sin a,=0,423, sin a2=0,643, sin a3=0,5. Уравнение принимает вид
|
0,643N2—0,5N3= 323. |
(4) |
|
|
Решая уравнения |
(3) и (4) |
совместно, |
|
находим N, = 591 кг и N„=113 кг. Итак, все |
||
|
стержни растянуты. |
|
|
|
Задача 1. Определить усилия в прикреп |
||
|
ляющих стержнях 1, |
2 и 3 (фиг. 2. 18). От |
|
|
вет: N, = 2000 кг, |
N2= —1414 |
кг, N ,= |
Ф иг. 2.18. |
= —1000 кг. |
|
|
50