- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Глава VIII
ИЗГИБ. УСИЛИЯ
§ 1. Явление изгиба
Возьмем прямой брус постоянного сечения, заделанный гори зонтально одним концом в стену (фиг. 8. 1,а) или лежащий сво бодно на двух опорах (фиг. 8. 1,6). Если приложить момент, действующий в плоскости, проходящей по оси бруса (фиг. 8. 1,в), или силу перпендикулярно оси, например, подвесив груз
Фиг. 8. 1. Примеры балок.
а — консоль; б — простая балка; в —-нагрузка в виде пары (момента); г — поперечная нагрузка.
(фиг. 8. 1,г), то такие брусья изогнутся и их прямые оси искри вятся. Деформация бруса, сопровождающаяся искривлением его оси, вызываемая поперечной нагрузкой, а также парами, лежа щими в плоскости, проходящей через ось бруса, носит название поперечного изгиба или просто изгиба. Брус с прямой осью, ра ботающий главным образом на изгиб, называется балкой. Балку с одним защемленным и другим свободным концом называют консолью (фиг. 8. 1 ,а). Балка, имеющая одну неподвижную, а другую подвижную цилиндрические опоры на концах, назы вается простой балкой (фиг. 8. 1,6), а если концы свешиваются
210
за опоры как консоль, то консольной балкой (см. например, фиг. 8. 6,а).
Разделим мысленно весь брус на тончайшие продольные во локна, параллельные оси и скрепленные между собой в одно целое (фиг. 8. 1,аиб). Подобное волокнистое строение имеет де рево. Другие материалы обладают обычно однородной структу рой и в них фактически нет никаких волокон или слоев, но такое представление удобно для дальнейшего изложения. При изгибе бруса искривляются все его волокна. Волокна, расположенные с выпуклой стороны, испытывают при деформации растяжение, а расположенные с вогнутой — сжатие. В этом легко убедиться на следующем простом опыте. Из простой балки выпилим снизу
а)
Фиг. |
8. 2. |
Сжатие и растяжение |
волокон |
при изгибе. |
||
а — в пропилах балки снизу |
вставлены |
брусочки; |
б — при |
изгибе вы |
||
пуклостью |
вниз |
брусочки |
выпали; в — сверху |
брусочки |
зажаты. |
небольшие брусочки и вставим их обратно так, чтобы они держа лись силами трения (фиг. 8. 2,а). Если изогнуть балку выпукло стью вниз, то пропилы раздвинутся и вложенные брусочки выпа дут (фиг. 8.2,6). При этом можно наблюдать снижение проч ности балки по сравнению с балкой без пропилов. Перевернув балку пропилами вверх, брусочки можно вставить неплотно, что бы они свободно вынимались. Но если вновь изогнуть балку, то пропилы укоротятся и плотно зажмут брусочки (фиг 8. 2,в). За метного изменения прочности балки при этом не обнаружится.
Для выяснения внутренних усилий, возникающих при изгибе в сечениях балки, воспользуемся методом сечений. Сначала рассмотрим балку, изгибаемую только моментом М (фиг. 8.3,а). Рассечем ее перпендикулярно оси на две части и тем самым разрушим связи между этими частями (фиг. 8.3,6). Связи, нару шенные сечением, заменяются силами, эквивалентными силам взаимодействия, возникающим между частицами материала при действии внешней нагрузки. Чтобы равновесие, например, левой части балки не было нарушено, в произведенном сечении долж ны возникать такие силы взаимодействия, которые могли бы за-
14* |
211 |
менить связь, препятствующую повороту левой части относи тельно правой, и уравновесить собой приложенный момент М, вызывающий этот поворот. Такими силами взаимодействия яв ляются нормальные силы, определяемые напряжениями о; на выпуклой стороне изогнутой балки они растягивающие, на во гнутой — сжимающие. Они направлены перпендикулярно к сече нию и заменяют собой действие правой части балки на левую. Очевидно, что эти силы могут быть приведены к паре с момен том М.
Теперь возьмем балку, изгибаемую вертикальной силой Р (фиг. 8. 4,а), и произведем такой же разрез. Нормальными си-
Фиг. 8.3. От момента возника |
Фиг. 8. 4. От поперечной на |
|||||
ют нормальные напряжения. |
грузки |
возникают |
нормаль |
|||
а — балка |
изгибается |
момен |
ные |
и |
касательные напря |
|
|
|
жения. |
|
|||
том М\ |
б — силы в |
сечении, |
|
|
|
|
заменяющие разрушенные |
а — балка изгибается си |
|||||
|
связи. |
|
лой |
Р; |
б — силы в |
сечении, |
|
|
|
уравновешивающие |
попе, |
||
|
|
|
|
речную нагрузку. |
лами, определяемыми напряжениями а, направленными горизон тально (фиг. 8.4,6), можно заменить связь, препятствующую по вороту левой части, и уравновесить момент М=Рх, возникающий в произведенном сечении. Но сила Р стремится не только повер нуть, но и сдвинуть левую часть вверх относительно правой. Что бы заменить связь, препятствующую этому сдвигу, в сечении должны возникать вертикальные силы взаимодействия, опреде ляемые касательными напряжениями т. Нормальные и касатель ные силы в сечении уравновешивают внешнюю силу Р. Таким образом при изгибе от поперечной нагрузки в сечениях балки воз никают одновременно и нормальные и касательные напряжения. Они характеризуют внутренние силы взаимодействия между ле вым и правым торцевыми сечениями разреза (фиг. 8.4,6).
Задача расчета на изгиб состоит в том, чтобы определить наибольшие напряжения, опасные для прочности балки. Они за висят от внешней нагрузки, приложенной к балке, и от ее раз-.
212
меров. Выясним характер изменения внутренних сил в зависи мости от распределения внешней нагрузки по длине балки, уста новим опасное сечение, после чего в следующей главе перейдем
квычислению напряжений.
§2. Нагрузки и реакции
Внастоящей главе рассматриваются балки, сечение которых имеет ось симметрии; все внешние силы лежат в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии балки (фиг. 8 . 5). Условимся
ось X всегда направлять по оси балки, перпендикулярно к ней в плоскости нагрузки направлять ось у, а перпендикулярно пло-
X
Фиг. S. 5. Виды нагрузок и их приложение в плоскости симметрии балок.
скости нагрузки — ось z (фиг. 8.5). Начало осей будем совме щать с центром тяжести начального сечения. Внешними силами являются нагрузки, непосредственно приложенные к балке (на пример, ее вес), или силы взаимодействия, которые передают части конструкции, опирающиеся на балку. Напоминаем, что на грузки сводятся по характеру своего приложения к следующим видам: 1) сосредоточенные силы Р, приложенные на поверхности балки и распределенные по очень малой площади, 2 ) сосредото ченные пары с моментами М (фиг. 8 . 5,а), 3) сплошные нагрузки или нагрузки, распределенные непрерывно по части поверхности балки. Обычно их характеризуют интенсивностью — величиной нагрузки, приходящейся на единицу длины. Они могут быть рав номерные, как говорят, с постоянной интенсивностью q и неравно мерные с переменной интенсивностью qx (фиг. 8 . 5,6) .
Приложенную нагрузку балка передает на другие элементы конструкции. Их сопротивления действуют на-балку в виде ре активных сил или опорных реакций, которые зависят от нагрузки и от типа опор. Выше, в гл. I, § 7 были приведены типы опор и даны примеры определения опорных реакций. Здесь приводится
213
еще один пример определения реакций опор и несколько задач ввиду важности этого вопроса для расчета балок.
Пример 1. Лонжерон крыла самолета прикреплен к фюзе ляжу в точке А при помощи неподвижной цилиндрической опоры и в точке В при помощи подкоса, который можно рассматривать как подвижную опору. Воздушная нагрузка крыла, приходящая ся на лонжерон, распределяется по длине по трапеции и имеет на концах интенсивность <71= 8 кг/см и <?2 = 3 кг/см. Определить опорные реакции лонжерона (фиг. 8 . 6 ).
Прежде всего действие опор заменим реактивными силами А, Н и В, направление которых выбираем, как указано на
Фиг. 8.6. Определение опорных реакций.
а — нагрузка лонжерона крыла; б — реактивные силы А, II и В, заме няющие действие опор.
фиг. 8 . 6 ,6 . Затем, составляем уравнения равновесия всех сил, приложенных к лонжерону. Сплошную нагрузку, распределен ную по трапеции, можно рассматривать .с'стоящей из равномер ной с интенсивностью q-> и из треугольной с наибольшей интен сивностью qs=qi—<7 2 = 5 кг/см. Равнодействующая равномерной нагрузки qoi, равная площади прямоугольника эпюры нагрузки, приложена в центре тяжести прямоугольника, т. е. по середине лонжерона. Равнодействующая добавочной треугольной нагрузки
равна площади треугольника с основанием I и высотой qs
и приложена в центре тяжести треугольника на расстоянии
— =140 см от левого конца.
3
Вычисляем сумму моментов всех сил относительно точки В:
|
2 |
Мв = Аа + q j т ~ а |
£ |
= |
0. |
||
|
3 |
) |
|||||
Отсюда, |
подставляя |
размеры, |
указанные |
на фиг. 8 |
. 6 , находим |
||
А |
і |
~ а ^ |
2а |
3-420 |
10 + — 2 - |
60 = 252 кг. |
|
а |
200 |
2-200 |
|
214
Затем составляем сумму моментов всех сил относительно опоры А:
МА = Вг — qJL—— -8-- ——= 0.
2 2 3
Принимая во внимание, что плечо силы В равно перпендику
ляру, опущенному |
из точки А |
на |
направление силы, |
|
г= a sin α= 200 -j- == 100 см, |
из последнего |
уравнения находим |
||
В —ηΑ1*4- q^ - |
3-420* |
5-4202 |
4116 кг. |
|
2г |
6г |
2-100 + |
6-100 |
|
Горизонтальную реакцию Н найдем, беря сумму проекций всех сил на ось лонжерона ^ X —B COSOL— H —Q·, отсюда
И —В cos а = 4116 -0,866 = 3564 кг.
Проверку производим по условию, что сумма вертикальных
проекций |
реактивных |
сил должна |
равняться всей |
нагрузке: |
|
А + В sin а |
^± ^1 1 |
Подставляя |
сюда числовые |
значения: |
|
|
2 |
|
|
|
|
252 + 4116-^ = ^--- |
420 |
или 2310 = 2310, убеждаемся в правиль |
ности вычисления реакций.
Все реакции получились со знаком плюс, следовательно, они направлены так, как мы предположили вначале. Если бы мы для какой-либо реакции предположили обратное направление, например, реакцию А направили бы вверх, то в уравнение мо ментов 2 /Ив она вошла бы с обратным знаком и получилась бы отрицательной. Это указывало бы, что в действительности данная реакция имеет направление, обратное предположенному вначале, и его необходимо исправить. Часто подвижная опора имеет сво боду перемещения только в горизонтальном направлении. Тогда ее реакция всегда направлена вертикально. В этом случае и в неподвижной опоре горизонтальная реакция при вертикальной нагрузке не возникает.
Задачи. 1. Определить опорные реакции простой балки от сосредоточенной силы Р, приложенной на расстоянии а от
РЬ
левой опоры и — b от правой (фиг. 8.7). Ответ·. А = — \
2. Определить вертикальные реакции каждого из тре колес самолета, если нагрузки при посадке приводятся к вер тикальной силе G=15000 кг и моменту Λί=1200 кгм, при ложенных в точке А (фиг. 8. 8). Ответ: реакция переднего колеса 4000 кг, каждого заднего 5500 кг.
215