- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Момент инерции всего сечения (вычислен в § 5 данной главы, пример 2) ./=3636 смА. Пользуясь формулой (22), получаем
J |
, 1Г13636 nr>nrv |
кг. |
|
Q = <7—-=112 |
----= 2920 |
||
4 S |
|
НО |
|
Проверим касательные напряжения в нейтральном слое балки. Статический момент площади полусечения 5= 140 + + 12-0,3-6=162 см3. Касательные напряжения по нейтраль ному слою
QS __ 2920-162 = 432 < 1120 кг/см*.
Jb ~ 3636-0,3
Предельная поперечная сила, полученная из условия смятия листа, вызывает касательные напряжения, незначительные по сравнению с допускаемыми. Следовательно, толщина стенки об условливается смятием от заклепок.
Задачи. 1. В лонжероне, изображенном на фиг. 9. 15, листы стенок приклепаны к трубам при помощи заклепок диаметром d = 4 мм с шагом а = 40 мм. Найти наибольшую поперечную силу, воспринимаемую лонжероном, если [т]= 1120 кг/см2 и [σ0Μ]=
=2800 кг!см2.
2.Найти предельное значение поперечной силы в сечени нервюры, изображенном на фиг. 9. 12,а, если стенки изготов лены из фанеры с допускаемым напряжением [х]=20 кг/см2 и прикреплены к брускам при помощи клея с допускаемым на пряжением [ткд]=5 кгісм2.
§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
Исследование |
изгиба за пределом |
пропорциональности основано на |
двух допущениях, |
которые были приняты |
в § 1 настоящей главы при изгибе |
в пределах пропорциональности: 1) поперечные сечения остаются плоскими и 2) продольные волокна испытывают одноосное растяжение или сжатие так же и при пластических деформациях балки. При изгибе, как и при кручении, напряжения распределяются неравномерно по поперечному сечению; по этому результаты расчета по разрушающим нагрузкам отличаются от резуль татов расчета по допускаемым напряжениям. Если при изгибе нормальные
напряжения |
в крайних волокнах, |
наиболее удаленных от нейтрального слоя, |
и достигнут |
предела текучести |
στ (фиг. 9.42,6), то это еще не означает |
полного отказа балки от работы и не исчерпывает ее возможной грузо подъемности. Подобная картина напряжений рассматривалась и при кру чении круглого бруса (гл. VI, § 10). Когда в крайних волокнах изгибаемой балки начнется текучесть, все остальные волокна будут находиться еще в зоне упругих деформаций и для их увеличения необходимо увеличить на грузку. При возрастании нагрузки упругие удлинения внутренних волокон, как и пластические удлинения крайних волокон, происходят согласно пер вому допущению по закону плоских сечений. При этом напряжения внут ренних волокон увеличиваются, а в крайних волокнах остаются без изме нения и равны ?т Зависимость между напряжениями и удлинениями волокон больше уже не подчиняется закону пропорциональности; ее нужно брать по диаграмме растяжения данного материала (фиг. 3.9). Треугольная эпюра
нормальных напряжений (фиг. 9. 42,6) заменяется |
криволинейной (фиг. 9. 43,а). |
20* |
307 |
С увеличением нагрузки очертание эпюры приближается к состоящему из двух прямоугольников. Это происходит потому, что напряжения внутренних волокон, постепенно достигая предела текучести, перестают расти и останав ливаются на величине στ. Если диаграмма зависимости между напряжениями и деформациями для данного материала одинаковая при растяжении и сжа тии, то и эпюра напряжений при изгибе за пределом пропорциональности имеет одинаковое очертание в растянутой и сжатой зонах сечения. Когда
Фиг. 9.42. Наибольшие напряжения при изгибе
впределах пропорциональности.
а— прямоугольное сечение балки; б — напряже ния крайних волокон достигли предела текучести;
эпюра напряжений состоит из двух треугольников,
напряжения по всему сечению достигнут предела текучести στ и эпюра на пряжений примет вид двух прямоугольников в сжатой и растянутой поло винах балки (фиг. 9.43,6), дальнейшее увеличение нагрузки станет невоз можным. Это состояние балди являемся предельным и наибольший изгибаю-
Фиг. 9.43. Напряженные состояния при изгибе за пределом про порциональности.
а — изменение напряжений |
при возрастании нагрузки за пре |
делом пропорциональности; |
б — предельное напряженное состоя |
ние — по всему сечению напряжения достигли предела текучести.
щий момент М пр, соответствующий этому состоянию, выражает предельную грузоподъемность балки по разрушающим нагрузкам. Дальнейшая деформа ция балки будет происходить без увеличения нагрузки и в опасном сечении образуется так называемый пластический шарнир: смежные поперечные сече ния будут поворачиваться друг относительно друга за счет текучести про дольных волокон.
Для определения разрушающего изгибающего момента Мпо рассмотрим предельное напряженное состояние, возникающее в опасном сечении (фиг. 9.43,6). На площадку ΔΕ, взятую на расстоянии у от нейтрального слоя (фиг. 9. 42, а), действует продольная сила σΊ\Ρ'. Ее момент около ней тральной оси равен στΔΕρ. Складывая моменты всех этих сил, приложен-
308
ных по всему сечению, получаем величину Λίπρ. Для симметричного отно сительно нейтральной оси сечения достаточно вычислить сумму моментов сил верхней или нижней половины сечения и удвоить результат:
ЛЛ
Λίπρ= 2 1 °-ry^= 2 ;Tyy ± F = 2 a TS.
оо
Напряжение στ постоянно для всех точек сечения и вынесено за знак суммы, которая теперь представляет собой статический момент площади
£
2
половины сечения около нейтральной оси, S=E_yA/\ Оставляя коэффи-
о
циент запаса п одинаковым с установленным при расчете по допускаемым напряжениям и подставляя <тт= л [о], получаем предельный изгибающий момент по разрушающим нагрузкам в виде
М пр=2п [σ] S. |
|
Его отношение к предельному изгибающему |
моменту М пр = пМ — |
= я[о] W, вычисленному , по способу допускаемых |
напряжений из условия |
нрочности [§ 9 настоящей главы, формула (21)]. равно отношению удвоен
ного статического момента площади полусечения |
к моменту сопротив |
|||
ления: |
|
|
|
|
Ainp_ 2 S ^ |
|
|
||
< р |
W |
’ |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
Λίπρ=ΑΛίπρ. |
|
||
Если бы нейтральная линия |
|
не являлась осью симметрии сечения, то |
||
из условий равновесия можно |
было бы |
показать, |
что в предельном со |
стоянии нейтральная линия разделит площадь сечения на две равные
части и Μπρ=στ (SJ + 52), где |
S! и 53 — статические моменты растянутой |
и сжатой плошадей сечения, взятые относительно нейтральной линии. |
|
Коэффициент увеличения |
грузоподъемности k при переходе к расчету |
по разрушающим нагрузкам |
зависит от площади и формы поперечного |
сечения балки и для каждого вида сечения получается различным. Напри
мер, для прямоугольного сечения |
статический |
момент полусечения |
||
|
„ bh |
h |
bh* |
|
|
S= — |
-— = — ; |
|
|
|
2 |
4 |
8 |
|
подставляя |
его и момент сопротивления |
в выражение для коэф- |
||
фициента k, |
находим |
|
|
|
8 bh2
Грузоподъемность балки прямоугольного сечения при переходе к расчету по разрушающим нагрузкам увеличивается на 50°/о.
309
Для круглого сплошного сечения имеем статический момент полусе-
чения [формула (19)]
сР
12
а момент сопротивления (12)
TtrfB
W*.= —32 .
В этом случае коэффициент
2S 2rfs 32
k~ W~ 12 π3 - 1 ’ ‘
При изгибе за пределом пропорциональности материал используется пол ностью как на краях сечения, так и вблизи нейтрального слоя (фиг. 9.43,6), тогда как в пределах пропорциональности используется материал тольк· у краев сечения. Менее рациональные формы сечений, с большим количе ством неиспользуемого материала, дают большее увеличение грузоподъем ности при переходе к расчету по разрушающим нагрузкам. Вот почему для круглого сечения грузоподъемность увеличивается больше, чем для прямо угольного. Чем рациональнее форма, чем полнее используется материал бал ки в пределах пропорциональности, тем меньше разница между расчетами по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам. Например, для двутавровой балки, изображенной на фиг. 9.30 (пример 2, § 8 настоящей главы), имеем S=135 см3, 1У=237 смг и коэффициент
k |
2S |
2-135 |
W |
237 = 1,14. |
Увеличение грузоподъемности составляет 14°/о. В случае равномерного распределения напряжений по всей площади сечения, как, например, при растяжении или сжатии в статически определимых системах (гл. Ill, § 6), расчеты по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам при водят к одним и тем же результатам. Переход к расчету по разрушающим нагрузкам требует более тщательного исследования запаса прочности протия других возможных видов разрушения и возможен лишь в случаях неизмен ной по времени нагрузки.
Контрольные вопросы
1.Какая деформация называется чистым изгибом?
2.Какие деформации испытывают при изгибе продольные волокна балки? В чем состоит гипотеза плоских сечений?
3.Какие напряжения вызывает изгибающий момент и как они изменяются по высоте сечения балки?
4.Какой слой балки называется нейтральным? Где он про ходит и на основании какого условия определяется его поло жение?
5.Что такое «кривизна» балки и чему она равна? Что на зывается жесткостью балки на изгиб?
6.Какие уравнения равновесия нужно составить, чтобы по
лучить формулу нормальных напряжений при изгибе? В каких случаях изгиба ее можно применять и почему?
7.Какие свойства балки характеризуют момент инерции н момент сопротивления? В каких единицах они измеряются?
8.Какие оси являются главными? Для каких сечений любая центральная ось является главной?
310
9.Какая зависимость существует между осевыми и поляр ным моментами инерции? Могут ли они быть отрицательными
ипочему?
10.Напишите формулы перехода к параллельным осям для вычисления моментов инерции.
11.Напишите формулы моментов инерции относительно цен тральных осей для прямоугольника, треугольника и круга.
12.Почему применение двутаврового профиля является вы
годным при изгибе?
13.Как определяются касательные напряжения в попереч ных сечениях балки? Какие опыты указывают на существование касательных напряжений в продольных сечениях?
14.Равновесие какого элемента балки нужно рассматривать, чтобы получить формулу для касательных напряжений? Как вычисляется статический момент площади, входящий в эту фор мулу?
15.Как изменяются касательные напряжения по высоте прямоугольного сечения? Где они имеют наибольшую величину?
16.В чем состоит расчет балок на прочность? Какого рода задачи при этом приходится решать?