- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
пускаемое напряжение назначается как некоторая часть преде ла текучести:
Величину п' называют коэффициентом запаса прочности по пределу текучести.
§5. Простейшие статически неопределимые задачи
Врассмотренных выше задачах можно было найти усилия в любом элементе системы, пользуясь лишь уравнениями равнове сия твердого тела. Однако имеется большое число практически
важных задач, при решении которых для определения усилий в
о ) |
. |
8) |
Фиг. 3. 14. Пример статически неопределимой задачи.
а— груз Р удерживается тремя тягами; б—схема равновесна узла — количество неизвестных усилий превышает количество уравнений равновесия; в — схема деформации системы (дающая дополнительное уравнение).
элементах системы уравнений статики недостаточно. Такие си стемы называются статически неопределимыми. Например, фер ма с шарнирными узлами, содержащая стержней больше, чем требуется по формулам (1) и (2) главы II, является статически неопределимой. Статически неопределимые системы будут под робно рассмотрены в главах VII и XII, в настоящем же парагра фе показываются основные принципы решения статически неопре делимых систем на нескольких простейших примерах.
Чтобы наглядно представить разницу между статически опре делимой системой и статически неопределимой, сравним две за дачи: 1) груз подвешен к двухстержневому узлу (фиг. 3. 6,а) и 2) груз подвешен к трехстержневому узлу (фиг. 3. 14,а). Первая из них была решена в § 2 при помощи двух уравнений равнове сия. Эта задача статически определима. При решении второй за дачи, вырезав трехстержневой узел (фиг. 3. 14,6), попрежнему
86
получим только два уравнения равновесия, так как все силы пе ресекаются в одной точке:
yVjSina— yV2sina = 0, |
(9) |
A^cosa + A^cosa + Afg —Р = 0 . |
(10) |
Эти уравнения содержат три неизвестных N,, N2, Ns. Задача ста тически неопределима. Для решения статически неопределимых задач, помимо уравнений равновесия, необходимо составлять до полнительные уравнения, исходя из деформации системы. Рас смотрим конкретные примеры расчета.
Пример 1. Груз Р=1000 кг подвешен на трех стержнях (фиг. 3. 14,а). Первый и второй стержни имеют одинаковую же-
HF
сткость EF, а третий имеет жесткость ESF3= — .Угол а = 60°. Тре
буется определить усилия в стержнях.
Дополнительное уравнение деформации составляем, рас сматривая перемещения узла А (фиг. 3.14, в). Принимая во внимание соображения, изложенные в примере 2, § 2, уста навливаем, что Д /^д/дС оэа. Выражаем удлинения через уси
лия по закону |
пропорциональности |
|
||
|
ΝχΙ |
Ν φ |
|
|
|
δ |
/3 — |
|
|
|
E F ’ |
Еф'я |
|
|
и подставляем |
их в уравнение |
деформации, |
учитывая, что |
|
Тогда |
cos а |
|
||
Ν φ _Ν φ COS a |
/, , \ |
|||
|
||||
|
ЕЕ cos а |
Е3Е3 |
|
Полученное уравнение совместно с уравнениями равновесия
(9) и (10) позволяет определить три неизвестных усилия Nu N2 и Ν3. Из уравнения (9) находим, что Ν ^ Ν ^ . Уравнения (10) и (11) переписываем, принимая во внимание числовые значения Р и a и заменяя N2 через Np
^ -0 ,5 -2 + ^3 -1 0 0 0 = 0,
= N 3-0,5-2.
|
0,5 |
3 |
|
Отсюда находим N3= 333 кг и 1Ѵ3= 667 кг. |
|
||
Пример 2. Т е м п е р а т у р н ы е н а п р я ж е н и я . Стержень |
|||
длиной I (фиг. 3. 15,а) |
закреплен своими концами |
в абсолютно |
|
неподвижные блоки А |
и В |
я нагревается от tx до |
t2 градусов. |
Определить напряжения в стержне, если он имеет площадь сече ния F, модуль упругости материала стержня Е и коэффициент температурного расширения а.
87
При нагревании стержень расширяется и давит на блоки. Со противление блоков передается на стержень в виде сил N (фиг. 3. 15,в). Из условия равновесия в этом случае следует лишь то, что эти силы одинаковы. Обратимся к условию деформации: удлинение Alt стержня от нагревания и укорочение Δ/д, от дей ствия сил N равны между собой, потому что длина стержня, за
жатого блоками, не изменяется:
Alt— AlN. |
(а) |
Фиг. 3. 15. Температурные напряжения
встатически неопределимой системе.
а— брус с заделанными концами под вергается нагреванию: б— в свободном
состоянии |
брус |
удлинился бы на Δ/^; |
в — реакции заделки N препятствуют |
||
удлинению |
(Д/дг = |
Δ/Ц — брус напряжен. |
Коэффициент а выража ет удлинение единицы дли ны при нагревании на 1°С, а стержень имеет I единиц длины и нагревается на
градусов, следова тельно, полное удлинение при нагревании равно Δ/, =
— α ΐ ^ — ίχ). Укорочение стержня зависит от усилия N по закону пропорцио
нальности: Л/дг= — . Под-
EF
ставляя выражения Alt и \ l N в уравнение деформа ции (а), получаем
<xl(t2 t\) — т.
E F '
Отсюда N = x{t2— t^)EF. Напряжение в стержне будет σ =
= N- r = o .( t~ tl)B.
F
Напряжение, возникающее в стержне от нагрева, пропорцио нально коэффициенту линейного расширения, модулю упру гости Е и разности температур, но не зависит ни от длины, ни от размеров поперечного сечения стержня. Температурные напря жения могут быть весьма значительными. Так, например, для стального стержня а = 0,000 012 и £ = 2 000 000 кг/см2. Если t —/,=50° С, то о =0,000 012 · 2 000 000 · 50= 1200 кг/см2.
Н е т о ч н о с т ь |
и з г о т о в л е н и я . Если элементы стати |
чески определимой |
системы изготовлены неточно, то от этого |
изменяется лишь геометрическая форма конструкции. Если же конструкция статически неопределима и некоторые ее элементы изготовлены неточно, то после сборки такой системы в ней по являются напряжения и при отсутствии нагрузки.
Пример 3. Два абсолютно жестких блока необходимо соеди нить тремя одинаковыми стержнями длиной I (фиг. 3. 16). Оказа лось, что стержень, который решили поставить в середину, изго-
88
товлен на величину 3 короче других. Определить напряжения* которые появляются в стержнях при сборке.
Чтобы собрать систему, необходимо средний стержень растя нуть, а крайние сжать. В стержнях появятся усилия: сжимающие в крайних — У, и N2 и растягивающее в среднем — N3. Разрезая собранную систему и заменяя действие отброшенной части уси лиями N (фиг. 3. 16,6), можно составить только два уравнения равновесия: уравнение моментов, например, относительно точки А, ΝΛα—Ν„α= 0 и уравнение проекций на горизонтальную ось —
N -N ,+ N ,= 0 .
Фиг. 3.16. Неточно изготовленная статически неопределимая система напрягается при сборке.
а — средняя тяга |
изготовлена короче |
других; |
б — после |
|
сборки она будет растянута, а другие тяги |
сжаты. |
|||
Но неизвестных |
усилий три, и |
необходимо |
обратиться |
|
к уравнению деформации. Оно выражает условие, |
что в ре |
зультате удлинения среднего стержня на Δ/3 и укорочения
крайних на Д^ = Δ(2 устраняется |
разница |
8 в длинах стержней |
||
(фиг. 3.16,а), |
т. e. |
4/j-j-A/3 = 8. |
Но по закону пропорциональ |
|
ности |
и |
Δ4 = ^ · При подсчете |
Δ/, мы принимаем, |
что средний стержень тоже имеет длину I. Ошибка, при этом получаемая, незначительна. Уравнение деформации, выражен
ное через усилия, принимает вид ^ |
+ |
|
или ^ і + ^з = |
||
_EFd |
|
|
|
|
|
l |
|
деформации |
совместно с уравнениями |
||
Решая уравнение |
|||||
равновесия, |
получаем |
ЕРЪ |
, Ν 3= |
2EFb |
|
Л^ = У2 = — |
------ . Напряжения |
||||
др |
9йР |
3/ |
|
|
3/ |
|
|
/: = 2 000 000 кг/см2 |
|||
Qj = <з2 = —·, |
σ3 = ---- . Пусть, например, |
||||
3/ |
3/ |
|
|
|
|
>I
и0 = — , тогда
2000
2 000 000 1000 = 333 кг/см2, з3 = 666 кг/см*.
3-2000
83