- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Хотя во втором случае крайние точки лежат ближе к ней тральной линии, чем в первом, однако, напряжения сильно уве личились за счет того, что момент инерции J„ по сравнению с У- уменьшился в значительно большей степени, чем расстояние 2maXпо сравнению с утах, что и привело к уменьшению момента сопротивления Wy сравнительно с W·.
Задачи. 1. Дано прямоугольное сечение высотой h и шири ной b (фиг. 9. 9,а). Определить, во сколько раз увеличатся мо мент инерции и момент сопротивления относительно центральной
оси z, 1) если |
увеличить |
вдвое высоту h |
и 2) |
|
если увеличить |
|
вдвое ширину Ь. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) |
Увеличатся |
J в восемь |
раз |
и W |
в четыре раза; |
|
2) / и W — в два раза. |
диаметром |
D = 8 см |
и внутренним |
|||
2. Труба с |
наружным |
d = б см изгибается моментом Αί= 350 кем. Определить наиболь шие нормальные напряжения в точках у наружной и у внутрен ней поверхности трубы. Ответ: о,ЮР= 1018 кг/см^·, свн =763 кг/см*.
3. Прямоугольное сечение bXh= 12X15 см ослаблено в цент ре круглым отверстием диаметром d —10 см. Вычислить моменты инерции и моменты сопротивления относительно горизонтальной
и вертикальной |
центральных |
осей. Ответ: /z=2884 см*\ W-— |
= 395 см*\ /„= 1669 смі\ U7„=278 см3. |
||
§ 5. Моменты инерции сложных фигур |
||
Ф о р м у л а |
п е р е х о д а |
к п а р а л л е л ь н ы м осям. |
Часто приходится вычислять момент инерции относительно оси, не совпадающей с центром тяжести сечения. В этом случае поль
|
зуются так называемой формулой |
|
|
перехода к параллельным осям. Для |
|
|
ее вывода рассмотрим какое-нибудь |
|
|
сечение, для которого заранее изве |
|
|
стен момент инерции / 0 относительно |
|
|
оси, проходящей через центр тяжести |
|
|
сечения О (фиг. 9. 13). Проведем но |
|
|
вую ось z параллельно центральной |
|
|
оси на расстоянии а. Все сечение ра |
|
Фиг. 9. 13. К выводу формулы |
зобьем на малые площадки \F . Рас |
|
стояния каждой из них до централь |
||
перехода к параллельным осям |
||
ной оси обозначим у0, а до оси z обо |
||
произвольного сечения. |
||
|
значим у. Согласно формуле (2) мо |
менты инерции относительно этих осей будут соответственно У0= = Σί/ο^^ и Jz='Zy2kF· По фиг. 9. 13 имеем у=Уо+а. Подставим
это значение у в выражение момента инерции |
]- и произведем |
следующие преобразования: |
|
h = Σ (Уо+ а)2Λ F= Σ (Уо2+ 2у0а+ α2) |
F. |
268
Последнее выражение представим в виде отдельных сумм и вынесем постоянные множители:
F'■
Первая сумма оказывается равна моменту инерции / 0 отно сительно центральной оси. Вторая сумма, 2ί/οΔ^= 5 = 0, пред ставляет собой статический момент площади сечения относи тельно той же оси; он равен нулю, потому что эта ось проходит через центр тяжести сечения [гл. I, § 5 формула (96)]. Наконец, третья сумма равна площади се
чения Σ \F = F . Принимая во вни мание полученные значения сумм, можно написать, что
|
Jg=J9 + a*F. |
(13) |
|
|
Момент инерции относительно |
|
|
||
любой оси равен моменту инерции |
|
|
||
относительно параллельной |
цен |
|
|
|
тральной оси плюс площадь сече |
Фиг. 9. 14. К вычислению осевых |
|||
ния, умноженная на квадрат рас |
моментов инерции |
треугольника. |
||
стояния |
между осями. В |
слу |
|
из форму |
чае перехода от произвольной оси к центральной |
||||
лы (13) |
имеем |
|
|
|
|
J0=Js—a2F. |
|
(14) |
Отсюда следует, что момент инерции относительно централь ной оси имеет наименьшее значение. Формулы перехода к па раллельным осям применяются очень часто. При их помощи вы числяются моменты инерции сложных сечений, составленных из отдельных фигур. Нужно только помнить, что они справедливы при переходе от центральной оси к любой, ей параллельной, и обратно, но ни в коем случае нельзя применять эти формулы при переходе от одной не центральной оси к другой, тоже не центральной оси, хотя и параллельной первой.
Т р е у г о л ь н и к . Воспользуемся формулой перехода для вычисления момента инерции сечения в виде треугольника от носительно центральной оси, параллельной одной из его сто
рон, например, основанию АС (фиг. |
9. 14). |
Дополним ДЛДС до параллелограмма ABDC с основанием |
|
b и высотой А, добавив такой же |
/\BDC. Момент инерции |
параллелограмма . относительно его центральной оси г, как выше было найдено (фиг. 9.9, в), равен У' = ^ - . Диаго
наль ВС делит параллелограмм на два равных треугольника. Момент инерции каждого из них относительно той же оси равен половине J z’ . Следовательно, момент инерции ДЛ5С
269
<3
5Г
а
(2
св
X
S
s
г
ч
со
Си
>>
ч
м
X
X
ч
X
■&
о
О.
С
^1 ?- —т
Г V. / |
1 |
.1? |
С1 |
μ7ί- |
■>?( |
1 |
І |
i-— н
|
|
Вес |
пог.м, кг |
15 |
|
Расстояния тяжестицентра |
|
1 |
|
||
мм |
О |
14 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
>> |
|
|
|
|
|
О |
»■>*, |
|
|
|
|
N |
||
CMS |
|
*■« |
|||
Моментысопро |
тивления, |
|
|||
N |
*-·» |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
*-* |
|
|
|
|
|
1 |
|
t Моменты |
инерции,см4 |
4 ’ |
9 1 10 |
||
|
|
|
|
||
|
|
Л |
|
1 |
|
|
|
«1 |
|
||
|
|
С( |
|
||
|
|
S |
3 |
Со |
|
|
|
3 |
u |
||
|
|
§ |
μ |
|
|
|
с |
|
|
||
|
|
|
¢3 |
t-N. |
|
|
|
|
к |
|
|
мм |
|
|
kQ |
||
Размеры, |
|
|
|
||
|
|
|
<4 |
|
|
|
|
|
£ |
См |
|
|
|
|
|
||
№ |
про |
филя |
*■> |
||
|
|
|
|
0,083 |
0,191 |
0,164 |
0,214 |
0,271 |
0,328 |
0,653 |
1,085 |
1,623 |
|
4,00 |
5.07 |
5,40 |
5,57 |
6,82 |
8.08 |
10,86 |
13,65 |
і |
|
16,43 |
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ί |
0,056 |
0,149 |
0,147 |
0,187 |
0,303 |
0,446 |
1,173 |
2,424 |
|
и й |
4,339 |
||||||||
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о с т о р о н |
0,062 |
0,193 |
0,215 |
0,271 |
0,551 |
0,979 |
3,419 |
8,813 |
18,905 |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
в |
0,291 |
0 671 |
0,576 |
0,751 |
0,951 |
1,151 |
2,291 |
3,806 |
5,691 |
р а |
|||||||||
н и к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Л |
1,5 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1,5 |
2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
15 |
18 |
20 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
« І М С О І ’ Ю Ю Ь О О О З
270
і о
05 *■■4
<М
05
00
IN,
¢0
CSJ
N
|
іО |
© |
г- |
ОО |
<У> |
|
© |
ІО |
|
|
тГ |
© |
СО |
© |
|
СО |
со |
||
|
© |
СМ |
см |
со |
© |
© |
|||
|
o' |
© |
© |
© |
© |
— |
|||
|
см |
© |
см |
СО |
© |
оо |
О О |
со |
|
|
|
т |
|
© |
см |
Ν- |
|||
|
© |
ОО |
оо |
© |
© |
со |
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|
оо |
|
т г |
© |
о |
о |
со |
© |
|
|
© |
|
со |
ТГ |
о |
© |
см |
||
|
CM г г г г со ’Ч' © |
© |
оо |
||||||
|
о |
оо |
со |
іП |
о |
СО |
—- |
со |
|
|
© |
© |
оо |
см |
© |
f.M |
© |
02 |
|
НХ |
|
|
’-ч |
|
—1 |
© |
ч* |
© |
|
© |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23 |
t-* со О |
О |
і · со о |
о |
|||||
О |
Th |
о |
© |
г - |
о |
© |
© |
||
|
CS |
со |
тг |
'T |
(О |
о |
с о |
0 |
|
|
о |
о |
о |
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
- |
Ю |
оо |
0 |
0 |
со |
© |
|
|
|
(М |
CN |
|
(М |
||||
|
|
|
|
|
© |
о |
с Г |
іо |
|
о. |
ГГ) |
|
см |
, |
© |
© |
с о |
© |
|
|
СО |
© |
•О |
N |
|
N |
© |
см |
|
|
© |
N |
|
© |
Ч* |
IN |
|||
|
© |
© |
о |
© |
Г-. см |
© |
σΓ |
||
X |
on |
СО |
4 |
Ю |
|
^ч |
© |
© |
|
со |
с о |
см |
т-н |
СТ5 |
со |
rt* |
|
|
|
© |
г— |
см |
© |
||||||
л |
© |
|
ОО |
см |
ч* |
||||
о о |
Т-Ч © і-ч ^ч см O' |
||||||||
си |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
© |
|
|
|
© |
|
|
|
Ч |
см |
см |
© |
см |
© |
см |
ч< |
© |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
© |
© |
|
|
|
© |
|
|
|
> > |
*-· |
см |
© |
см |
© |
см |
ч< |
ю |
|
|
|
|
© |
© |
© |
см |
© |
|
|
|
|
см |
см |
|
ем |
|
|||
|
© о о |
с о |
с о |
о о |
© |
© |
© |
||
|
|
" |
|
|
|
см |
см |
ч< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
© |
ю |
© |
о |
© |
о |
© |
© |
|
|
см |
см |
см |
© |
© |
<4· |
чг |
© |
|
|
|
см |
© |
Ч 4 |
© |
© |
IN |
о о |
|
см |
t- |
|
00 |
см |
t- |
СМ |
© |
о |
|
со |
см |
со |
гг |
тг |
© |
© |
© |
|
|
|
см |
со |
со |
© |
© |
|||
|
о |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
-4 |
|
© |
гг |
со |
© |
см |
© |
© |
© |
IN |
|
ь- |
© |
© |
см |
© |
|
© |
© |
|
|
о о |
©" |
© |
|
см |
|
©" |
© |
"Sf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CM |
|
о о |
ос |
1 |
© |
,—і |
© |
© |
© |
© |
|
с о |
со |
© |
«—■ © |
о |
с о |
г - |
02 |
|
|
со |
с о |
|
■Ч4 |
|
Ч" |
© |
© |
00 |
|
с о |
© |
г— © |
,-4 |
Ч* |
— |
© |
© |
|
|
со |
см |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
о |
|
о |
|
|
|
см |
см |
© |
о о |
02 |
|
© |
© " |
© |
о |
о |
о |
о |
© |
— |
|
8 |
2 |
5 |
2 |
см |
9 |
9 |
0 |
4 |
|
7 |
1 |
9 |
6 |
© |
2 |
2 |
0 |
7 |
X |
0, 2 |
,04 |
,05 |
0, 5 |
о о |
1, 0 |
1, 4 |
3, 2 |
6, 7 |
© |
|||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IN |
|
© |
с о |
© |
© |
© |
с о |
0-1 |
|
02 |
|
© |
Ч" |
© |
см |
© |
г - |
© |
X |
© |
|
© |
см |
© |
|
© |
© |
|
© |
© |
о |
.© * |
о |
©" |
© |
|
© |
|
S |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
ОО |
© |
I— |
© |
© |
© |
о |
Ч< |
|
© |
см |
© |
© |
см |
|
© |
© |
см |
ч |
© |
© |
ОО |
© |
Ч" *— © |
N |
МО |
||
© |
© |
© |
|
|
см |
© |
© |
1"- |
|
о |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
Urn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>» |
rf |
© о |
h- |
о © © CM |
4* |
||||
о |
© |
IN |
|
00 |
CM © |
|
© |
4* |
|
-с |
© |
© — © — — |
— © © |
||||||
ч |
© © |
|
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
4 , 5 |
© © © 00 |
© |
|||||
тг |
•nr © |
©
С М С М С М С М С М С М С М ^ Г ©
|
|
|
© |
|
|
|
|
CM |
CM |
rt< |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
© |
CN |
СМ |
СМ |
СМ |
© |
-О1 |
© © © 0 |
0 |
© |
0 0 |
© |
|
C S C M C M C O C O C O r r i O ©
-ч CM СО ^ ю © СО ©
271.
3
=r s
ю
«з
Η
<U a
га
CD
.¾
ч
ок
о*
«S
£
S
s
2
=5
03
О.
>»
4
М
Ж
л
г;
К
*Ѳ
О
O'
С
NJ
<М
|
|
|
* |
|
|
Вес |
лог. м, |
||
Расстояния тяжестицентра |
|
1 |
||
мм |
О |
|||
|
|
|
||
|
|
|
Ьі |
|
Моментысопро |
тивления,см* |
h ' |
||
&Г |
||||
|
|
|
||
Моменты |
‘инерции, см4 |
|
||
|
А |
|
||
|
СО |
^ |
||
|
В |
u |
||
|
о |
|
||
|
с |
|
^ |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
к. |
|
лтм |
|
тЧ |
||
Размеры, |
|
-к* |
||
|
|
|
||
|
|
|
05 |
|
|
|
|
£ |
|
№ |
про |
филя |
■Чі
*-ч
**ч
с\| --4
—ч *-ч
—ч
Оі
<ъ
<0
<N
—ч
|
ю |
о |
ГТ) |
— < |
сп |
|
|
ГГ) |
f"— |
СО |
см |
со |
|
|
см |
СО |
|
|
с-. |
|
|
о |
о |
о |
о |
— |
|
|
ю |
ю |
|
|
|
|
|
сч |
см |
о |
о |
ю |
|
|
|
«— |
СМ |
сч |
см |
|
|
ш |
о |
ю |
о |
о |
|
|
см |
о |
см |
о |
ю |
|
|
|
t-~- Tt* |
О- |
(ГМ |
||
|
|
|
см |
см |
со |
|
|
СО |
(Т> |
со |
со |
со |
|
|
СО |
со |
,ΤΓ |
со |
U J |
|
|
со |
тг |
т- |
о |
t— |
|
|
о |
о |
о |
— - |
СО |
|
X |
0,856 |
1,022 |
2,099 |
2,900 |
9,098 |
|
3 3 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
га |
ю |
t-- |
см |
со |
т- |
|
со |
|
о |
Ю |
0> |
||
ч |
|
|
СО |
Ю |
»—· |
|
X |
о |
о |
|
см |
см |
|
-Ѳ- |
t"» |
I4*· |
N- |
о |
ю |
|
о |
о |
г- |
СП |
о |
ь- |
|
|
1— ' |
см |
·—■ |
со |
а1—1 Ю смсм
»5 |
|
|
|
|
|
3 |
ю |
о |
"гг |
со |
о |
га |
о |
со |
ю |
см |
|
о |
— |
—< -- |
с о |
||
н |
|
|
|
|
|
а> |
|
|
|
|
|
сп |
|
|
|
|
|
|
|
ю |
см |
|
|
|
см |
см |
со |
со |
|
|
to |
|
ю |
|
|
|
|
гм |
Ψ— см |
ю |
|
|
см |
ѵО |
|
|
|
|
см |
см |
СО |
to |
|
|
со |
СО |
ю |
і О |
ю |
|
|
|
сч |
см |
со |
|
ІП |
Ю |
о |
о |
о |
|
см |
см |
м* |
|
ю |
|
_ см |
СО |
r f |
ю |
СМ
см |
со |
-* |
с \ |
||
о |
о* |
о* |
ю |
ю |
о |
см |
см |
%г> |
о |
О ) |
|
ю |
Tf |
|
|
ю |
|
|
Ю |
Я |
»—>со |
||
to |
со |
|
о |
о |
э |
о |
1,048 |
0,774 |
о |
|
|
со |
|
|
н х |
|
|
РЧ Tf |
г- |
|
СО |
о |
|
см |
"Т |
|
о |
о |
о |
о -
«ю о ю СО Г- со
ч |
о |
’"Ч |
- 1 |
ч |
|
|
|
4> |
со |
о |
|
|
а |
||
CQ |
г- |
|
СО |
|
о |
— о |
|
3 |
|
|
|
|
см |
ІО |
|
|
см |
см |
юю ю
см
юсо ІО
юю о
см см со
см со
272
0,599 |
0,935 |
1,163 |
1,710 |
1,619 |
1 |
|
|
|
1 |
О |
О |
О |
О |
о |
о |
LO |
О |
ю |
о |
СМ |
СМ |
СО |
со |
|
0,342 |
0,479 |
о |
0,621 |
0,983 |
1,559 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Ю |
Ю |
о |
о |
О |
О |
СМ |
СМ |
ю |
о |
LO |
о |
|
|
|
см |
CN |
со |
0,235 |
0,364 |
0,471 |
0,662 |
1 |
|
|
|
СО |
о |
О |
Ю |
со |
юо СО О
5 ,0 9 |
5,5 8 |
6,81 |
8,3 2 |
9,2 7 |
1 |
|
|
|
|
·—н |
СО |
00 |
СМ |
СО |
ю |
ОО |
см |
00 |
|
Tt* |
со |
О |
05 |
см |
О |
о |
_ |
|
см |
|
см |
со |
со |
оо |
СО |
00 |
СГ5 |
СО |
см |
со |
Г- |
см |
||
СМ |
|
«о |
—ч |
СО |
|
|
|
—1 |
|
СО |
ю |
о |
г^. |
см |
а> |
оо |
со |
00 |
|
Ю |
<л |
|
оо |
|
О |
о |
і |
|
ю |
h- |
ю |
σ> |
о |
о |
оо |
ю |
UO |
05 |
|
со |
05 |
СО |
г— |
|
|
о |
о |
о |
см |
|
-- |
см |
|
ю |
О) |
Г-5 |
о |
о |
о |
о |
со |
о |
о |
со |
СМ |
см |
о |
||
со |
|
СО |
ю |
со TJ· |
ю |
|
8,49 |
8,97 |
8,52 |
10,02 |
10,74 |
12,84 |
|
о |
17,5 |
20,0 |
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
|
о |
|
|
СМ |
СО |
СО |
!>· |
|
X |
1—1 |
05 |
со |
!Г5 |
|
|
СМ |
X |
||||||||
|
ю |
ю |
со |
оо |
00 |
|
1-м |
t"- |
о |
см |
|
|
г» |
С— |
|
00 |
тг |
|
см |
со |
ю |
со |
|
|
о |
о |
О |
|
*—1 |
СО |
со |
о |
о |
о |
о |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
со |
см |
см |
ь- |
со |
|
СО |
см |
05 |
00 |
|
X |
|
||||||||||
|
ю |
см |
05 |
t>- |
Tf |
|
|
о |
05 |
<ю |
ю |
|
05 |
см |
ю |
|
|
|
см |
со |
со |
*—« |
|
см о |
_■ о-> см ю |
о |
|
о |
о |
о |
Ψ—· |
||||
а. |
СО |
05 |
см |
см |
ю |
оо |
S |
г- |
Tt* |
СО |
05 |
аі |
см |
00 |
оо |
о- |
со |
00 |
|
со |
|
о |
|
со |
00 |
г— |
со |
ю |
|
о |
|
||||
ч |
о |
о |
о |
1—· |
со |
г- |
о |
о |
Т-. |
|
|
со |
со |
|
|
|
|
о |
со |
см |
о |
||
|
оо |
00 |
Г" |
о |
о. |
||||||
|
оо |
со |
00 |
со |
со |
|
см |
СО |
05 |
||
|
« |
ю |
со |
-'Г |
-cf |
|
|
|
т#· |
г- |
|
|
|
1—< |
см |
ю |
со |
о \ _ _> |
к |
о |
о |
«■н |
см |
ea |
|
|
|
|
·—* |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
о |
ОО |
00 |
00 |
ю |
г-- |
« |
со |
оо |
см |
|
|
см |
со |
г— |
1 |
|
|
|
|
см |
ю |
со |
ю |
- |
♦> |
1—1 |
« |
со |
10 |
|
|
со |
||
*—■« |
|
см |
|
о |
|
·"“· |
|
||||
л |
|
|
|
|
|
|
ес |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ч |
ю |
СО |
СО |
СО |
со |
00 |
о |
|
|
|
|
>* |
TJ* |
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tfl |
|
|
|
|
|
|
ca |
|
ю |
со |
|
см |
см |
см |
см |
со |
|
|
см |
см |
|
||
|
|
Л |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
ю |
со |
-3* |
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
см" |
со |
|
•Cj* |
ю |
|
ю |
см |
см |
см |
|
|
|
|
|
СО |
rf |
||||||
со |
о |
см |
о |
СО |
о |
о |
о |
ю |
о |
ю |
|
см |
со |
см |
см |
см |
см |
со |
со |
||
о |
о |
о |
о |
о |
ю |
ю |
о |
о |
о |
о |
тг |
ю |
со |
г- |
00 |
см |
см |
со |
|
ю |
о |
|
Ю |
со |
г·» |
00 |
■ |
см |
со |
|
ю |
о |
ю |
см |
см |
2 ,5 |
|
|||
о |
ю |
о |
о |
|
|
гг |
|
о |
*о |
о |
ю |
|
см |
со |
ТГ |
Основы строительной механики |
273 |
относительно оси, проходящей параллельно основанию по се·
, К |
Ш ГТ |
редине высоты, равен У2 = — = — . Для треугольника ось г |
|
2 |
24 |
не является центральной. Напишем формулу перехода от оси z к центральной оси треугольника: J 0 = J S,— a2F. Так как
центр тяжести треугольника лежит на одной трети высоты,
то расстояние между осями будет |
h |
Н |
h |
а — ------ — = — .Подстав· |
|||
|
2 |
3 |
6 |
ляя его и площадь сечения в формулу перехода, находим момент инерции треугольника относительно центральной оси
0 |
24 |
\ 6 / 2 |
36 |
Относительно оси, совпадающей с основанием АС, момент
инерции треугольника вычисляем по формуле (13):
|
|
|
I |
I |
, |
/ ft V с |
|
Ъ № . |
ft* |
Ь Н |
b h 3 |
|
|
|
|
|
|
|
J»c = J° + [т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точно |
так |
же |
находим |
момент |
инерции |
|
относительно |
||||||||
оси B D , проходящей через вершину параллельно основанию |
|||||||||||||||
(фиг. |
9.14): |
Ущ> = ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прямоугольник и круг представляют собой сечения, сим |
|||||||||||||||
метричные относительно центральной |
оси, |
поэтому |
моменты |
||||||||||||
сопротивления для верхних и |
нижних |
крайних |
точек у них |
||||||||||||
одинаковы. В |
треугольнике |
расстояние от |
центральной оси |
||||||||||||
до основания равно |
h |
|
|
|
|
|
2h |
поэтому здесь |
|||||||
— , а до вершины---- |
3 |
||||||||||||||
• |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы получим |
два момента сопротивления: один для верхней |
||||||||||||||
точки |
„ |
|
1ѵ7 |
J0-3 |
bh3·?, |
bh* |
, |
а |
другой —для |
нижних: |
|||||
В: |
|
U/! == —— = |
------ = |
24 |
|||||||||||
|
|
|
|
2h |
|
36·2h |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
bh3·3 ^_bh* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
36·/! |
~ |
12 |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С о с т а в н ы е |
с е ч е н и я . |
|
В |
большинстве |
конструкции |
сечение балки не является сплошным, особенно для балок, изготовленных из металла. Такие балки составляются часто путем склепки или сварки отдельных листов и брусьев, имеющих сечение в виде труб, угольников, швеллеров и т. д. Эти брусья изготовляются на специальных заводах, имеют определенные стандартные размеры и называются профилями. Площади попе речных сечений, положение центра тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления профилей различных размеров вычи сляются заранее и помещаются в таблицы. Эти таблицы можно найти в специальных справочниках; примеры таких таблиц для некоторых употребительных профилей мы приводим здесь (табл. 8 и 9).
274
Вычисление моментов инерции сечений составных балок производится при помощи таблиц профилей с применением фор мулы перехода к параллельным осям. Покажем на конкретных примерах, как это делается.
Пример 1. Вычислить момент инерции относительно оси z—z сечения лонжерона, состоящего из двух цельнотянутых труб се чением DXd=60X56 мм, соединенных
двумя листами tX h = 2X220 мм. Рас стояние между центрами труб равно 200 мм (фиг. 9. 15). В листах сделаны симметричные вырезы высотой Л,= = 120 мм.
Момент инерции вычисляем в см. Он состоит из момента инерции ли стов
th
Л = 2 -------- |
- 4 = |
|
|
|
|
|
|
І2 |
12 |
|
|
|
|
0,2-228 |
0,2-123 |
|
см* |
|
|
|
12 |
12 |
:297 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
и момента инерции |
труб. |
Каждая |
Фиг. 9. 15. |
Сечение лонже |
||
груба имеет |
площадь +=3,64 |
см2 и |
|
рона. |
||
относительно |
собственной |
централь |
|
|
||
ной оси 7— 7 |
момент |
инерции |
У1=15,3 см4 (табл. 7 предыду |
|||
щего параграфа). По формуле |
перехода |
/ |
Утр = 2 (УJ + a2F) = 2 (15,3 + 1 02 · 3,64) = 759 см\
Момент инерции сечения лонжерона будет
У = 2 9 7 + 759 =1056 см*.
Расстояния до крайних точек равны 13 см. Момент сопротив ления сечения
W= |
1056 = 81,1 см* |
У max |
13 |
Пример 2. Вычислить момент инерции сечения двутавровой балки, составленной из вертикальной стенки, четырех равнобо ких угольников и двух горизонтальных листов, соединенных межіу собой заклепками диаметром <7=8 мм. Размеры сечения укаіаны на фиг. 9. 16 в мм.
По табл. 9 находим для одного равнобокого угольника 10X40X4 мм площадь />=3,08 смУ; расстояние центра тяжести //0=1,13 см и момент инерции /і=4,6 см* относительно собствен ной центральной оси 1—1, которая расположена от центра тя-
24
жести сечения на расстоянии аі= ------г/0=12—1,13=10,87 см.
18* |
275 |
Моменты инерции относительно центральной оси сечения:
а) вертикальной стенки Уст= ° |
~ |
см'‘‘'' |
б) четырех равнобоких угольников
Ууг= 4 (У, + a\FyT = 4(4,6 + 10,872 · 3,08) = 4 (4,6 + 364) = 1475 см*;
в) двух горизонтальных листов
Ул = 2 (У2 + a\Fn) = 2 |
+ 12,32 · 0,6 · 10) = |
|
|||
|
|
= 2(0,18 + 908)=1816 см*. |
|||
Всего |
сечения У = Уст + Ууг+ Ул = 3636 см*. |
||||
Приведенные вычисления показывают, что моменты инерции |
|||||
относительно собственного центра тяжести |
(/, |
и / 2) элементов, |
|||
|
удаленных от нейтральной оси, очень |
||||
|
малы по сравнению с величиной a2F, и |
||||
|
их можно не принимать во внимание, |
||||
|
вычисляя момент инерции таких эле |
||||
|
ментов достаточно точно по формуле |
||||
|
Jf^a2F. Для постановки заклепок в бал |
||||
|
ке просверливаются отверстия, которые |
||||
|
ослабляют сечение. |
Заклепки |
обычно |
||
|
располагаются в |
шахматном |
порядке: |
||
|
в одном сечении только вертикальные, |
||||
|
соединяющие лист с угольниками, а и |
||||
|
другом — только |
горизонтальные, со |
|||
|
единяющие угольники со стенкой. Пер |
||||
|
вые больше ослабляют сечение, чем вто |
||||
|
рые. Учтем это ослабление. Расстояние |
||||
|
центра тяжести вертикальных заклепоч |
||||
Фиг. 9.16. Размеры сечения |
ных отверстий (на фиг. 9. 16 заштрихо |
||||
клепаной двутавровой балки. |
ваны) |
а3=12,6—0і4+°’6 =12,1 |
см. Мо |
||
|
мент инерции ослабления четырьмя отверстиями по приближен ной формуле будет
Уосл = 4а2Дотв = 4 ■12,12(0,4 + 0,6)0,8 = 468 см*.
Если из момента инерции всего сечения без учета ослабления (как говорят, сечения брутто) вычесть / осл, то получим так на зываемый момент инерции нетто
'нетто= брутто“ Лол = 3636 - 468 = 3168 С М *.
Задачи. 1. Еычислить момент инерции и момент сопротивле ния двутавровой балки (фиг. 9. 16) относительно центральной
276