- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Глава VII
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ И ТОНКОСТЕННЫХ АВИАКОНСТРУКЦИЙ
§ 1. Прямоугольное сечение
На практике встречаются случаи, когда скручиванию подвергаются стержни некруглого сечения. Опыты показывают, что у таких стержней
после деформации поперечные сечения не остаются плоскими, а принимают форму кривой поверхности. Точки, расположенные на плоскости сечения, вы-
Фиг. 7.1. Деформация прямоугольного бруса при закручивании.
ходят из своей плоскости и получают вдоль оси бруса перемещения различ ной величины. Такое перемещение точек из плоскости сечения параллельно оси бруса называется депланацией сечения.
182
Вначале займемся изучением кручения |
бруса прямоугольного |
се |
чения. На фиг. 7. 1 изображены фотографии |
прямоугольного стержня1 |
не |
котором до деформации были нанесены продольные и поперечные линии. После закручивания продольные линии, так же как и в круглых стержнях, превратились в винтовые линии, а поперечные искривились (сравните с фиг. 6.3). Совершенно очевидно, что точки и внутри бруса получили сме щение из своей плоскости в направлении оси, и, следовательно, сечение депланировало. В этом и состоит отличие деформации кручения прямоуголь ных брусьев от круглых.
Предварительно нанесенные квадратные клетки получили перекосы и обратились в ромбы неравномерно по поверхности стержня. Клетки, распо ложенные по середине стороны прямоугольного сечения, получили наиболь ший перекос, измеряемый углом сдвига γ, а расположенные у углов сечения остались прямоугольными. Перекос клеток, расположенных по середине длинной стороны сечения, получается больше, чем перекос клеток, располо женных на его короткой стороне.
Касательные напряжения, которые зависят от угла сдвига, в поперечном сечении должны иметь наибольшую величину по середине длинной стороны прямоугольника и в углах должны равняться нулю. Распределение напряже ний здесь происходит по более сложному за кону, чем для круглого сечения.
На основании подробного исследования кручения прямоугольного бруса методами тео рии упругости получена полная картина рас пределения напряжений при кручении. Изло жение этих исследований выходит за рамки настоящей книги. Ниже приведены лишь ре зультаты, представляющие интерес для прак тических целей.
Расчетные напряжения и относительный угол закручивания стержня некруглого сече ния вычисляются по формулам:
_МК. |
Мк |
(1) |
тшах—~П7Г , |
0=—- . |
|
Wk |
GJk |
1 ’ |
В этих формулах |
|
|
Wk=ahbi; |
J*=p//R |
(2) |
Фиг. 7.2. Распределение касательных напряжений при кручении в прямо угольном сечении бруса.
Коэффициенты а и β зависят от отнощения большей стороны сечения А к меньшей стороне Ь (фиг. 7.2). Для некоторых соотношений сторон они
приведены |
в табл. 6. |
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
1 |
1.5 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
00 |
|
Ъ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
0,208 |
0,231 |
0,246 |
0,267 |
0,282 |
0,298 |
0,307 |
0,312 |
0,333 |
|
β |
0,141 |
0,196 |
0,229 |
0,263 |
0,281 |
0,298 |
0,307 |
0,312 |
0,333 |
|
тг |
1 |
0,859 |
0,795 |
0,753 |
0,745 |
0,743 |
0,742 |
0,742 |
0,742 |
Величины Wk и 7* в формулах (1) выполняют ту же роль, что и момент сопротивления кручению Ψρ и полярный момент инерции Jp в формулах
1 Обе фотографии одного образца, но в разных масштабах.
183
(8) и (3) главы VI, полученных для круглого бруса. Размерности величин
Wь и Jk также соответственно равны см3 и см*. В дальнейшем |
величину Wк |
||
будем также называть моментом сопротивления кручению, |
а |
произведение |
|
GJк — жесткостью на кручение бруса некруглого сечения по |
аналогии |
с со |
|
ответствующими величинами для круглого бруса. |
|
|
|
Наибольшие касательные напряжения тшах возникают в точках А |
и В, |
по середине длинных сторон прямоугольника (фиг. 7.2). Во всех остальных, точках сечения они будут меньше. Эпюры τ, изображенные на фиг. 7. 2, показывают изменение напряжений в точках, расположенных на различных прямых. По прямой АВ или CD они изменяются по треугольнику, как и в
круглом |
сечении. По прямой EF или |
по любой другой |
стороне закон |
|
изменения τ криволинейный. В угловых |
точках напряжения |
равны нулю. |
||
Иногда бывает желательно знать напряжения τ по середине короткой |
||||
стороны |
b (точки Си В |
на фиг. 7.2). |
Их вычисляют в зависимости от |
|
тШах по формуле т = 7 ттах. |
Коэффициент γ тоже приведен в табл. 6. |
Абсолютный угол закручивания при постоянном крутящем моменте Λίκ на всей длине / бруса равен
MJ
Если приложено несколько моментов, то абсолютный угол закручива ния прямоугольного стержня, точно так же как и для круглого (гл. VI, § 9), равен сумме углов закручивания отдельных участков с постоянными зна чениями Мк и жесткости G7*.
|
|
<Р= |
GJk · |
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить наибольший крутящий момент при допускаемом |
||||
напряжении [х] = 8 0 0 |
кгісм* |
и соотв*етствующий |
ему угол закручивания |
|
стального стержня |
длиной |
/= 5 0 см, имеющего |
прямоугольное сечение |
|
1 8 x 3 0 мм. |
|
|
|
|
И3 0
Определяем отношение — = — =1,67. Соответствующие значения а
и β возьмем из |
табл. 6 между значениями для |
|
— = 1 ,5 и 2 пропорци- |
|||
онально заданному отношению сторон: |
|
Ъ |
||||
|
|
|||||
а = 0 ,231 +(0,246 - |
1,67 - |
1,5 |
||||
0,231) |
|
=0,242; |
||||
|
|
|
|
2 - 1 , 5 |
|
|
0=0,196+(0,229 - |
1,67— 1,5 |
|||||
0,196)..... |
г |
=0,220. |
||||
|
|
|
|
JL—110 |
|
|
Момент сопротивления |
U7ft=ot/i6*=0,242-3· 1,8=2,35 см*. |
|||||
По формуле (1) находим |
|
|
|
|||
|
|
Λίκ= ΐν * [τ]= 2 ,35-800=1880 кгсм. |
||||
Вычисляем жесткость на кручение, принимая для стали |
||||||
<5=800 000 кг/см*, |
G7fc=GpA63=800 000-0,22-3-l,83 =3 080 000 кгсм?. |
|||||
Считая крутящий момент постоянным по длине стержня, находим |
||||||
МК1 |
1880-50 |
|
|
|
180 |
|
?==0 7 р |
І ^ |
Ш |
= ° ’0305 раДИЗН ИЛИ |
0.0305 - = 1 , 7 5 - . |
184
Задачи. 1. Определить размеры стержня квадратного сечения, равно
прочного |
круглому диаметром |
d —2 см., |
и сравнить |
площади |
их сечений. |
|||
2. Сравнить жесткости на |
кручение |
|
трех |
стержней: круглого, квадрат- |
||||
ного и прямоугольного |
|
h |
|
=2, |
если |
площади |
их поперечных |
|
с отношением — |
|
|||||||
сечений |
равны между |
собой. |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стороной |
1 см и длиной |
|||
3. К |
стальному пруту квадратного сечения со |
/=2,5 м приделана поперечная рукоятка длиной 0,5 м. Какую силу нужно приложить к концу рукоятки, чтобы закрутить прут на 90°? Определить на
пряжения прута от этой силы. |
Ответ: Р= 1,72 кг; τ=426 кг/см2. |
4. Брус длиной /=1,2 м |
нагружен крутящим моментом Λίκ =180 кгм |
в промежуточном сечении на расстоянии 70 см от его левого конца, который конструктивными устройствами лишен возможности поворачиваться. Какой момент нужно приложить к правому свободному концу, чтобы его угол за кручивания был также равен нулю? Все сечения бруса одинаковые. Ответ:' М=105 кгм.
§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
Из табл. 6 предыдущего параграфа видно, что с увеличением
коэффициенты а и β становятся |
все |
ближе |
к |
0,333=- |
1 |
|
|
||||||||
и практически |
|||||||||||||||
их можно считать |
равными |
—- , уже |
начиная со |
значений |
h |
>· 10. |
|||||||||
— |
|||||||||||||||
Для узкого вытянутого прямоугольника с высотой |
/і= s |
и |
толщиной |
||||||||||||
Ь=і, когда |
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— > 10 (фиг. 7.3), в формулах (2) можно величину ahb1 заме- |
|||||||||||||||
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
st2, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нить на — |
величину βΛ63 заменить |
на |
т |
5'8· |
|
|
|
||||||||
Тогда для наибольшего |
касательного |
напряжения и |
|
|
Xm |
||||||||||
угла закручивания узкого прямоугольника получаются |
|
|
|||||||||||||
приближенные формулы в следующем виде с точностью, |
|
|
|
||||||||||||
вполне достаточной для инженерных расчетов: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Λίκ |
3Λίκ |
|
9·-. |
Μκ_ |
3Мк |
|
|
(3) |
|
|
ά |
|||
^тят—_ — |
|
ZGJ„ |
Gsfl |
|
|
|
|
||||||||
|
wk |
st* ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следует отметить, что в узкой полоске напряжения |
|
|
i |
||||||||||||
почти по всей ее длинной |
стороне |
остаются одинаковыми |
|
|
|||||||||||
и равны ттах. снижаясь к нулю только вблизи угловых то |
|
|
:Ψ |
||||||||||||
чек (фиг. 7.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Касательные напряжения, направленные вдоль сред |
|
|
ταπ?— |
||||||||||||
ней линии тонкой полоски, всегда равны нулю. Это обстоя |
|
|
|||||||||||||
тельство важно при изучении депланации сечения. |
|
Фиг. 7.3. Сече |
|||||||||||||
Сечения, составленные |
из |
полосок, |
которые |
не |
обра |
||||||||||
ние в виде вы |
|||||||||||||||
зуют замкнутой области, называются открытыми |
сечения |
||||||||||||||
тянутого пря |
|||||||||||||||
ми или открытыми профилями, как, например, |
изображен |
||||||||||||||
моугольника. |
|||||||||||||||
ные на фиг. |
7. 4. Линию, проходящую в сечении, по |
сере |
|||||||||||||
|
|
|
дине толщины стенки, мы будем называть контуром про филя или просто контуром. Эта средняя линия может иметь форму кривой или ломаной.
Оказывается, что максимальные напряжения и угол закручивания от крытых профилей такие же, как и в вытянутом прямоугольнике, полученном из данного профиля, если развернуть его контур в прямую линию или сло жить из составляющих его полосок одну прямую полоску (фиг. 7.4). Вы сота s этой полоски равна длине контура открытого профиля.
185
Распределение |
напряжений |
в открытом профиле происходит |
по тому |
же закону, что и |
в полученном |
из него прямоугольнике (фиг. |
7.5). По |
средней линии сечения касательные напряжения отсутствуют, а наибольшей величины они достигают в точках вдоль длинной стороны. На этом основа нии для определения напряжений и угла закручивания открытого профиля
с постоянной толщиной стенок применяются те же формулы (3), которые были получены для вытянутого прямоугольника. Только теперь в эти фор мулы нужно подставлять величину s, равную сумме длин полосок, состав ляющих открытый профиль.
Фиг. 7. 5. Распределение касательных напря жений при кручении открытого профиля.
Если сечение состоит из полосок с различной толщиной t, то жесткость такого профиля вычисляется как сумма жесткостей составляющих его по лосок
0 ' - Σ ° τ - τ ° Σ * *
Величина 7*= -^- si3, например, для двух последних профилей,
изображенных на фиг. 7.4, равна
J*—2 (·Μι+^2*2+5зФ·
186