- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
откуда
27 100 27 100
= 19,3 C M .
Ζκ~ J ~ MOO
Это и есть расстояние от точки В до центра изгиба К, измеренное по перпендикуляру к силе Q.
§8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
Впервом параграфе настоящей главы рассмотрена балка со стенкой, которая воспринимает на себя поперечную силу в данном сечении, работая на
сдвиг. В таком случае говор'ят |
о балке со |
стенкой, работающей на сдвиг. |
В гранях элемента, выделенного |
из стенки |
продольными и поперечными се- |
а)
Фиг. 10.29. |
Напряжения в элементе тонкостенной |
балки. |
а — тонкостенная |
балка нагружена поперечной силой; |
б — в верти |
кальных и горизонтальных гранях элемента стенки возникают только касательные напряжения; в — в гранях под 45° возникают растягиваю щие и сжимающие нормальные напряжения.
чениями (фиг. 10.29,а), действуют [формула (3')] |
касательные напряжения |
Q- ч можно считать, что элемент находится в |
условиях чистого сдвига |
Ht |
|
(фиг. 10.29,6). В площадках, наклоненных на 45° к поперечному сечению, прг чистом сдвиге (гл. V, § 1) возникают нормальные напряжения σ = τ В одном направлении они растягивают элемент, а в перпендикулярном направлении сжимают его (фиг. 10. 29,а и в).
Работу такой стенки можно уподобить работе двух диагональных раско сов квадратной панели в шарнирной ферме (фиг. 10.30,а). От поперечной нагрузки квадрат ABCD обращается в ромб, диагональ АС удлиняется, а диагональ DB укорачивается на ту же величину. Если оба перекрещивающихся раскоса изготовлены из одного н того же материала и имеют одинаковую площадь сечения, то в них возникают усилия, равные по величине и противо положные по знаку, при условии что раскос DB, работающий на сжатие, не искривляется или, кад говорят, не теряет устойчивости. Ниже, в главе XIV, рассматривается изгиб стержней от действия продольных сжимающих сил и устанавливается критерий для определения их устойчивости. Здесь же мы пока можем отметить, что искривление стержня сжимающей силой потре бует тем большей нагрузки, чем больше момент инерции поперечного сечения стержня и чем меньше длина стержня. Длинные сжатые стержни должны быть жесткими на изгиб, чтобы они не теряли устойчивости от продольной силы. Их изготовляют из труб, угольников, швеллеров и из других профилей. Растянутые стержни могут быть гибкими, изготовленными из проволоки, лент, тросов и т. д. Таким образом в жестких диагональных раскосах квадратной панели фермы от поперечной силы возникают продольные усилия Ν, которые,
347
так же как и нормальные напряжения а в стенке, работающей на сдвиг, одина ковы по величине и противоположны по знаку: Ν ι——N3—N (фиг. 10.30,6).
Величина усилий определяется из равновесия отсеченной части фермы (фиг. 10.30, б). Составляя уравнение проекций на вертикаль
Νχ sin a-f-TVg sin a·—Q= Q
и принимая во внимание, что усилия в раскосах одинаковые, получаем
2N sina=Q или N = |
О |
------------ . |
|
|
2 sin о |
Совсем другая картина наблюдается, если оба раскоса сделать гибкими, например, проволочными или ленточными. В этом случае сжатый раскос легко искривляется и уже в начале нагружения выходит из работы от незначи тельной сжимающей силы; получается ферма, имеющая в панели только один раскос — растянутый (фиг. 10. 31,а). Вся поперечная сила в сечении воспри нимается только этим раскосом. Растягивающее усилие УѴі в работающем раскосе определяется из уравнения проекций на вертикаль всех сил отсечен
Фиг. 10.30. Работа жестких диагональных рас косов квадратной панели фермы.
а — деформация панели от поперечной нагрузки Q; б — усилия в рас косах равны по величине.
■ой части фермы (фиг. 10.31,6), которое имеет вид
Q
Ni sina—Q=0, откуда 1Ѵ,=------ . sin a
В ферме с гибкими раскосами, быстро теряющими устойчивость от сжимающей силы, усилие Nі в растягивающем раскосе вдвое больше усилия N. возникающего в том случае, когда сжатый раскос не теряет устойчивости.
Если вместо одного диагонального раскоса поставить несколько парал лельных ему раскосов (фиг. 10.32), то при жестких на изгиб поясах и стойках нормальные напряжения во всех этих раскосах будут одинаковы. Объясняется
это тем, что относительные удлинения всех раскосов |
равны между собой. |
Под действием силы Q квадратная рамка, образованная |
шарнирно соединен |
ными поясами и стойками, обращается в ромб (пунктир на фиг. 10.32). Если
пояса и стойки жестки на изгиб |
настолько, |
что их |
можно считать прямыми |
и после деформации, то из подобия треугольников |
(фиг. 10.32) легко соста |
||
вить следующие соотношения: |
|
|
|
Δ/ι |
δ, a, |
/, |
|
Δ/о |
«2 |
Δ/, Μη |
или ει= ε2· Так как относительные удли- |
Отсюда получается, что — · = — |
h ‘2
нения любых двух параллельных раскосов одинаковы, то, учитывая закон
Со о
пропорциональности при растяжении (гл. Ill, § 2), получаем —
Е Е Е
348
Н параллельных раскосах, сделанных из одного материала, возникают оди наковые нормальные напряжения σ.
Стенка, работающая на сдвиг, заменяет собой два жесткие перекрещи вающиеся раскоса фермы. Подобно этому два гибкие раскоса или один растя нутый раскос могут быть заменены очень тонкой стенкой, которая искрив ляется и теряет устойчивость в самом начале нагружения, при весьма малых сжимающих напряжениях. В такой стенке будут возникать только диагональ-
Фиг. |
10.31. |
Работа гибких |
раскосов |
Фиг. 10.32. Несколько |
||
|
|
фермы. |
|
|
параллельных раско |
|
а — сжатый |
раскос выходит из |
работы; |
сов, заменяющих один |
|||
диагональный. |
||||||
б — поперечная нагрузка воспринимает |
||||||
ся |
одним |
(растянутым) |
раскосом. |
|
||
но направленные |
растягивающие |
напряжения |
я (фиг. 10. 33,а). Самые незна |
чительные касательные напряжения, возникающие в поперечных и продоль ных сечениях (фиг. 10.29), обязательно создают в одном диагональном на
правлении сжатие, |
а в другом — растяжение |
выделенного элемента. Вслед- |
а) |
б) |
6) |
Фиг. 10.33. Балка с очень тонкой стенкой.
а — от поперечной нагрузки в стенке возникают только растягивающие напряжения, направленные по диагонали; б — образование складок (волн) в направлении растягивающих напряжений стенки; в — схема равновесия отсеченной части балки.
ствие быстрой потери устойчивости в очень тонкой стенке не могут появиться сколько-нибудь значительные сжимающие напряжения, а следовательно, стен ка не может сопротивляться касательным напряжениям, вызывающим сжатие, как говорят, стенка не работает на сдвиг. Это не означает, что ни в одном сечении стенки нет касательных напряжений. Они имеются, так же как и в брусе, испытывающем одноосное растяжение. Слова, что «стенки не работают на сдвиг», следует понимать в том смысле, что напряженное состояние эле-
349
ментов стенки не является чистым сдвигом. Модель такой стенки представ ляет собой прямоугольную рамку из четырех стержней, соединенных шарнира ми в углах с натянутой на ней мягкой обшивкой, хотя бы из материи. Как показывают опыты, при действии изгибающей балку силы Q (фиг. 10.33,6) уже в самом начале нагружения в тонкой стенке появляется ряд параллель ных складок или волн, направленных вдоль растягивающих напряжений, и возникает так называемое поле диагональных растяжений. Угол а наклона складок к поясам зависит от общих размеров балки, от поперечных сечений окаймляющих стенку стержней и от толщины стенки. Для употребительных в практике размеров угол а часто получается в пределах от 40 до 45°. Описан ная здесь схема тонкостенной балки очень близко подходит к некоторым видам авиационных конструкций со стенками из тонких металлических листов. Однако в отдельных случаях, когда листы стенки не очень тонкие, сжимаю щие напряжения в диагональном направлении оказывают заметное влияние на работу балки и в точных расчетах их следует учитывать.
Чтобы определить нормальные напряжения в стенке, не работающей на сдвиг, проводим вертикальный разрез балки ступеньками, перпендику лярными направлению σ (фиг. 10. 33, в), т. е. наклоненными на угол а к вер тикали. Именно в этих площадках возникают растягивающие напряжения; в перпендикулярных площадках, параллельных направлению складок, ника ких напряжений не будет. Стенку можно представить в виде сплошного ряда растянутых полос, подобных раскосам, изображенным на фиг. 10.32.
Так же как и в раскосах, |
растягивающие |
напряжения о во всех |
полосах, |
||
т. е. по всей тонкой стенке, одинаковы. Общая |
ширина ступенек, которые |
||||
попадают |
в вертикальный |
разрез балки, |
равна |
Н cos а. На этой |
ширине |
действуют |
постоянные напряжения о, обнаруженные в разрезе; |
при тол |
|||
щине стенки I они дают |
равнодействующую, равную otHcos*. Уравнение |
проекций на вертикальную ось всех сил оставшейся части балки с очень тонкой стенкой получается в следующем виде:
|
|
(чШ cos a) sin а — |
0. |
|
|
||
|
|
sin 2з |
|
|
|
|
|
Подставляя сюда cos a sin а— |
, после преобразования находим |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
о = ___2<? |
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
Ht sin 2α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
При αα^45° можно считать sin 2α = sin 90°= 1. Тогда |
|
|
|||||
|
|
|
2Q |
|
|
(16-) |
|
|
|
|
σ= --- . |
|
|
||
|
|
|
Ht |
|
|
|
|
Как и следовало ожидать, по аналогии с жесткими и гибкими диагональ |
|||||||
ными раскосами растягивающие напряжения стенки, не |
работающей |
на |
|||||
сдвиг, |
вдвое |
больше соответствующих напряжений стенки, |
работающей |
на |
|||
сдвиг. |
|
|
|
|
|
|
|
До сих пор рассматривалась одна близкая к квадрату панель балки с |
|||||||
очень |
тонкой |
стенкой. Обычно |
такие |
балки |
имеют несколько панелей |
||
(фиг. |
10. 34,а). При постоянной по длине |
балки |
поперечной |
силе Q нормаль |
|||
ные напряжения во всей стенке |
одинаковы [формулы (16) |
и (16')]. |
|
||||
Для определения усилий в поясах балки разрежем ее в каком-нибудь се |
чении на расстоянии х и заменим действие отброшенной части равнодействую щей напряжений стенки σ tH cos а и усилиями в поясах: U в нижнем поясе и О — в верхнем. Составляем уравнение моментов относительно точки А верх него пояса всех сил оставшейся части балки (фиг. 10.34,6):
Н cos а UH — Q x+чіН cos а ----- ------ = 0.
350
Учитывая, что произведение Qx=M является изгибающим моменто
в данном сечении |
балки, |
и подставляя |
приближенное значение σ по фор |
||||
муле (16') при о=45° ^следовательно, |
cos* a=cos2 45= — j , после преобра |
||||||
зования |
уравнения моментов получаем тоже |
приближенную |
формулу для |
||||
усилия |
в нижнем |
поясе |
|
|
|
|
|
|
|
,, |
Q-* |
а— |
М |
Q |
(17) |
|
|
ϋ |
= ----— Q cos2 |
|
— — |
ЯЯ 2
Составляя аналогичное уравнение моментов всех сил относительно точки В, находим приближенное значение усилия в верхнем поясе:
0 |
= - |
М _ 0 _ |
(17') |
|
Я “ 2 |
||||
|
|
· |
Усилия в поясах балки с очень тонкой стенкой зависят от изгибаю щего момента и поперечной силы балки и изменяются по прямолинейному закону в пределах панели от нагруз ки сосредоточенными силами в уз лах.
Растягивающие напряжения от стенки создают нагрѵзку поясов и вызывают их изгиб. На единицу дли ны пояса приходится погонная на грузка (фиг. 10. 34, б)
q=at 1 sin а.
Ее вертикальная составляющаяравна qy = q sin a= at sin2 а.
Таким образом пояса балки находят ся в условиях одновременного изги ба равномерной нагрузкой qy и рас
тяжения |
или |
сжатия |
продольными |
|
||||||
силачи |
U |
и |
О [формулы |
(17) |
и |
|
||||
(І7')[. |
Растяжение и |
изгиб, |
а |
для |
|
|||||
коротких стержней |
также |
|
сжа |
|
||||||
тие |
и |
изгиб |
рассматриваются |
|
||||||
ниже |
в |
главе |
XIII. |
Сжатие |
с |
|
из |
|
||
гибом |
|
длинных |
стержней |
|
рас |
|
||||
сматривается в главе XIV,§6. При |
|
|||||||||
нимая |
приближенно |
о = 45°, |
т. |
е. |
|
|||||
sin* α= |
|
и |
подставляя значение |
|
||||||
σ по |
формуле |
(16'), |
получаем |
вер |
|
|||||
тикальную |
нагрузку |
поясов |
в сле |
|
||||||
дующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2Q |
t |
Q |
|
|
Фиг. |
10.34. Тонкостенная балка |
|
|
|
Чу |
Ht |
Т = 7 Г |
|
(18> |
с тремя панелями. |
Кроме изгиба, нагрузка qy стре мится сблизить пояса друг с другом. Этому препятстнуют стойки, и в них возникают сжимающие усилия Счи тая, что нагрузка qy каждой панели по овну распределяется на ограни
чивающие ее стойки, получаем, что на каждую сіойку приходится нагрузка, расположенная на половине левой и правой от стойки панелей (фиг. 10.34),8. Таким образом при одинаковых длинах панелей d и постоянном напряже-
351
яии о сжимающее усилие в каждой промежуточной стойке |
равно |
V = - q yd=- О d. |
(19) |
Н |
|
Формулы (16') — (19) являются приближенными, так как получены и предположении <х=45°. Фактически а зависит от размеров балки и для каждой балки имеет свое значение. Если вместо 45° взять а=40°, то эти формулы изменятся на следующие:
2,03(3 „ _ , М Q |
Q |
Q |
- т : U И0 = ± Н * 2 |
|
Ѵ = - ■0,84 — d. |
|
Η |
Значительные изменения получают только погонная нагрузка qv и
усилие в стойках V и при этом в сторону уменьшения, следовательно, неточность расчета по формулам (16') — (19) идет в основном в запас прочности балки.
Пример 1. Тон костенная балка |
с |
жесткими на изгиб поясами нагру |
||||
жена четырьмя силами Р = 200 |
кг |
в |
каждом узле (фиг. |
10.35). Подо |
||
|
|
брать толщину |
стенки |
і из материа |
||
|
|
ла |
с допускаемым |
напряжением |
||
|
|
[σ]= 1000 кг/см- |
и определить |
наи |
||
|
|
большие усилия в поясах и стойках |
||||
|
|
|
Наибольшая |
поперечная |
сила |
|
|
|
возникает в четвертой панели у за |
||||
|
|
делки Q=4P=800 кг. По формуле |
||||
|
|
(16') |
для этой панели |
получаем |
-Фиг. 10.35. К расчету тонкостенной балки, нагруженной несколькими силами в узлах.
(=- 2Q |
2-800 =0,04 с.и. |
Я[а] |
40-1000 |
Во всех остальных панелях стенка может быть тоньше. Выполняя ее из одного листа толщиной 1=0,4 мм для всех панелей, получаем по фор муле (16') напряжения соответст венно в первой, второй и третьей панелях, равные oj = 250 кг/смг, а2 = 500 кг)смг и σ8 = 750 кг/см*.
Наибольшие усилия поясов воз никают в сечении у заделки, где изгибающий момент имеет макси мальное значение:
Λί=Ρ (4rf+3rf+2d+d)= 10Prf=
=10-200-35=70 000 кгсм.
По формулам (17) вычисляем усилия в поясах:
М |
Q |
70 |
000 |
800 |
___ |
ί / = — . - |
— = |
- |
^ - _ |
— =1750-400=1350 «г; |
0 = - — — — = - 1750 — 400=— 2150 кг.
Н2
Кроме этих усилий, в поясах возникают изгибающий момент и поперечная сила от равномерной нагрузки qy , которая имеет различные значения в каж-
-352
дой панели в зависимости от изменения поперечной силы балки. Например, в третьей и четвертой панелях она равна
3 Р |
600 |
4Р |
800 |
|
Уг Н |
40 |
уА Н |
40 |
' |
Вследствие разницы между нормальными напряжениями в стенках смеж ных панелей на стойки передается погонная нагрузка, горизонтальная состав ляющая которой вызывает изгиб стойки, а вертикальная изменяет сжимаю щее усилие стойки по высоте. Поэтому сжатие стойки у верхнего узла меньше, чем у нагруженного нижнего узла. Чтобы найти усилия в стойке 4, вырежем верхний узел вместе с участком пояса до середины третьей и четвертой пане лей (фиг. 10.35). Погонная нагрузка qy, приходящаяся на этот участок, пе
редается на стойку и сжимающее усилие в ее верхнем конце равно
-^ - = (15+20) 17,5=625 кг.
Усилие у нижнего конца стойки найдем из равновесия вырезанного таким же образом нижнего узла, который, кроме того, нагружен силой Р:
^ = ^ + ( ^ 3 + 9^ 4) - ^ - = 200+ 625=825 к г -
Вдоль стойки сжимающее усилие изменяется по прямолинейной зави симости от Ѵн до Ѵв.
Контрольные вопросы
1.Какие балки называются тонкостенными?
2.Что называется центром изгиба?
3.Как распределяются касательные напряжения в тонко стенном открытом профиле при изгибе?
4.Объясните, почему происходит закручивание несиммет ричного открытого профиля от поперечной силы, проходящей через центр тяжести?
5.Изменится ли распределение касательных усилий по сече нию открытого профиля, если поперечную силу перенести из центра тяжести в другую точку, например, в центр изгиба и по чему?
6.Какое уравнение нужно составить, чтобы найти центр из гиба открытого профиля?
7.По какой формуле вычисляются погонные касательные усилия при изгибе замкнутого профиля? Что представляет со
бой начальное усилие q j Чему оно равно?
8.В каком случае центр изгиба замкнутого профиля совпа дает с центром тяжести?
9.Как вычисляются начальные усилия (многоконтурного профиля?
10.Напишите уравнения замкнутости при изгибе для чеіырсхконтурного профиля.
2 3 Основы строительной механики