- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
§ 7. |
Сложная нагрузка |
С л о ж е н и е эпюр. |
Иногда приходится, особенно для |
изгибающих моментов, производить построение эпюр не сразу от всей приложенной нагрузки, а отдельно от сил, от сосре доточенных моментов, от сплошной нагрузки и т. д. и затем со ставлять общую или, как гово рят, суммарную эпюру от их сов местного действия. В примере, изображенном на фиг. 8.14, был дан простой случай сложения эпюр от ряда сосредоточенных грузов. Покажем, как получает ся суммарная эпюра в более сложных случаях, если известны эпюры от отдельных силовых факторов. Пусть, например, кон сольная балка нагружена равно мерной нагрузкой q в пределах пролета I (фиг. 8.30, а). Из при мера 4 предыдущего параграфа (фиг. 8. 24) известно, что эпюра Mq от этой нагрузки положи тельна и имеет вид выпуклой параболы второй степени с наи
|
|
|
большей |
ординатой по середине, |
|||||||
|
|
|
•М<7тах= |
О |
Кроме того, |
пусть |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эта же балка нагружена еще и |
||||||||
|
|
|
сосредоточенной |
силой |
|
Р |
на |
||||
|
|
|
конце консоли (8. 30, б). |
Найдем |
|||||||
|
|
|
от нее опорные |
реакции: |
|
||||||
|
|
|
А = Р(а+1) |
В = — ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
' |
|
|
|
затем построим |
эпюру |
МР, |
ко |
|||||
|
|
|
торая |
получается отрицательной |
|||||||
Фиг. |
8.30. |
Сложение эпюр |
и имеет вид |
треугольника с на-· |
|||||||
|
|
усилий. |
ибольшей |
ординатой |
на |
левой |
|||||
а — эпюра М от равномерной на |
опоре; МРт31= —Ра. |
|
|
|
|
||||||
грузки q; б — то же от сосредото |
Чтобы получить общую эпюру |
||||||||||
ченной |
силы |
Р; в — суммарная |
от совместного действия нагрузок |
||||||||
эпюра М при совместном действии |
|||||||||||
|
нагрузок. |
q и Р |
(фиг. |
8. 30,в), |
нужно |
сло |
|||||
|
|
|
жить |
эпюры |
Mq и Мрили, |
ина |
че, наложить их друг на друга. В пределах консоли от нагрузки q изгибающий момент не возникает, эпюра Мд имеет здесь нуле вые ординаты. При наложении на этом участке остаются только отрицательные ординаты эпюры МР без изменений. На участке
238
между опорами к отрицательным ординатам треугольной эпю ры Мр нужно приложить положительные ординаты эпюры разность между ними и будет давать ординаты суммарной эпю ры. У левой опоры, где ординаты МР по абсолютной величине больше ординат M q, суммарная эпюра получается отрицатель ной; в сечениях, где МР меньше M q, суммарная эпюра положи тельная; по середине пролета
Мсум = = ^
Ра
2
Если параболическую эпюру Мд разбить на некоторое число вертикальных тонких полосок, то при сложении эти полоски как бы передвигаются по вертикали и размещаются своим основанием на прямой А ' В треугольной эпюры М р , оставаясь попрежнему вертикальными и плотно заполняя весь участок между опорами. При этом симметричная относительно середины парабола (фиг. 8.30, а) перекосится и не будет симметричной (фиг. 8.30, в), но число полосок, ограничен ных ею, и их расстояния по горизонтали не изменяются. Поэтому площадь такой перекошенной параболы второй сте
пени остается прежней, Ω = — , и ее центр тяжести лежит
на средней вертикали, как и в симметричной параболе. Исходя из этого построения, легко определить площадь суммарной эпюры Л/Сум. В пределах консоли она не изменилась и равна площади ДСДЛ'. На участке А В она состоит из положитель ной площади параболы и отрицательной площади / \ А ' А В :
=Эту же эпюру можно получить и общим
путем: сначала определить опорные реакции от всей нагрузки, а затем составить уравнения эпюр Q и М для каждого участка,, как это делалось в примерах § 5 и 6.
С п л о ш н а я н а г р у з к а п е р е м е н н о й и н т е н с и в ности. В инженерных сооружениях часто приходится иметь де ло со сплошной нагрузкой, интенсивность которой подчинена, сложному закону распределения ее по длине балки, нередко за данному лишь графиком. Например, воздушное давление рас пределено по площади крыла самолета неравномерно. Средние по каждой хорде величины давлений меняются по размаху (фиг. 8. 31,а). Для получения в каждом намеченном сечении интенсивности q [кгісм], приходящейся на единицу длины по раз маху крыла, нужно среднее (по хорде) значение давления, дей ствующее в данном сечении, умножить на хорду сечения Ь. Ь ы- числяя величины q=pb для ряда сечений, взятых через равные промежутки а х , и откладывая их на графике в виде ординат, со единенных плавной кривой, получаем эпюру нагрузки q распре деленной по размаху (на фиг. 8.31,6 изображена такая эпюра для полуразмаха I).
239·
Обычно для построения эпюр и вычисления усилий Q и М от такой сложной нагрузки применяют приближенный способ. Он состоит в том, что эпюру q, ограниченную произвольной кривой, разбивают на п вертикальных полос с одинаковой шириной Ах=
= — и заменяют ее ступенчатой эпюрой, имеющей в пределах
п
каждого интервала Дд; постоянную интенсивность, равную дей ствительной интенсивности q=pb, вычисленной для среднего се-
6)
Фиг. 8.31. Сплошная нагрузка переменной интенсивности.
а — распределение средних давлений р по размаху крыла; |
б — |
||
сплошная |
нагрузка |
переменной интенсивности заменяется |
сту |
пенчатой |
нагрузкой |
крыла; в — ординаты эпюры поперечных |
|
|
сил; г — эпюра изгибающих моментов. |
|
'чения данного интервала (пунктир на фиг. 8.31,6). Эти средние сечения интервалов расположены на равных расстояниях Дхдруг от друга, причем сечения в первом и последнем интервалах по
лучаются на расстоянии — Ах от краев. Близкие по форме к тра
пеции вертикальные полосы действительной эпюры q, площадь которых равна нагрузке, расположенной в пределах интервала, заменяются почти равновеликими им прямоугольными полосами площадью qАх. Рассматривая крыло самолета как консоль, за щемленную корневым сечением на фюзеляже, и идя от свобод-
240
ного конца, можно опорные реакции при определении усилий не вычислять. Тогда поперечная сила в любом сечении на границе между интервалами равна сумме площадей полос эпюры нагруз ки, расположенной в данном случае слева от сечения. Эти полосы имеют разную высоту q и одинаковую ширину Δχ, которая при суммировании выходит за скобки. Например, в четвертом сече нии (фиг. 8. 31,в)
' Q * = ( q i + q i + d t + Q t ) ь х .
Для вычисления Q достаточно сложить средние ординаты эпюры q для интервалов, расположенных слева от сечения, и умножить сумму на длину интервала Δχ. Чтобы вычислить изгибающий момент в каком-либо сечении на границе между интервалами, нужно нагрузку каждого интервала qHx умножить на ее рас стояние до сечения и сложить эти произведения. Принимая во внимание, что длина всех интервалов одинаковая и выходит за скобки, то, например, для того же четвертого сечения получается
М4= (3,5^+2,5(72+1,5(73+0,5^4) (Δχ)2.
Здесь в скобках стоит сумма произведений левых ординат эпюры q на число интервалов, заключенных между соответствующей ординатой и сечением. Вся сумма умножается на квадрат интер вала δ χ . По вычисленным таким образом ординатам строятся эпюры Q и М (фиг. 8 . 31,в и г).
Рассмотренный приближенный способ, пригодный для любой нагрузки, дает результаты, которые будут тем точнее, чем мельче будут интервалы Δχ, т. е, чем больше будет взято промежуточ ных сечений. Это позволяет производить расчет с любой степенью точности, которая может быть признана целесообразной. Доста точно удовлетворительная для целей практики точность расчета получается, если разделить полуразмах I на п = 6 или больше частей.
Задачи. 1. Простая балка пролетом 1=4 м нагружена равно мерной нагрузкой (7 = 2 0 0 кг/м, направленной вниз. Добавить к этой балке в опорных сечениях два одинаковых отрицательных момента М0, вызывающих изгиб ее выпуклостью вверх, и по добрать их величину так, чтобы площади эпюр изгибающих мо ментов отдельно от нагрузки q и от опорных моментов М0 были равны. Построить эпюру Л4сум от совместного действия нагрузки q
аІг
и моментов М0. Ответ: М0= ^ .
2. Для крыла, длина которого от корневого сечения до сво бодного конца /=5,4 м, известны ординаты эпюры q для средних сечений интервалов (фиг. 8.31,6): qx = 24Q\ <72= 580; qz= 820; (74=
=980; <75= 1100; <7„=1160 кг/м. Вычислить усилия Q и М во всех сечениях и построить их эпюры. Ответ: в корневом сечении Q=
=4392 кг; А/=9300 кгм.
16 Основы строительной механики |
241 |