- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Глава V
СДВИГ
§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
Ч и с т ы й с двиг . Исследуем частный случай плоского на пряженного, состояния, при котором по граням прямоугольного элемента действуют главные напряжения аι= σ и оз= — о
Фиг. 5.1. Чистый сдвиг.
а — главные нормальные напряжения при чистом сдвиге; б — круг напряжений; в — наибольшие касательные напряжения; г — элемент, выделенный площадками с наибольшими касательными напряжениями; д — деформация сдвига.
(фиг. 5. 1,а), третье напряжение ог=0 является промежуточным. В одном направлении элемент растягивается, а в перпендикуляр ном сжимается с той же интенсивностью. Построим для этого
118
случая круг напряжений (§ 3, гл. IV). Откладывая вправо аг— а (фиг. 5.1,6), а влево σ3= — а, получаем центр круга в начале координат О. По построению этой точке соответствуют наиболь шие касательные напряжения τ =σ, равные радиусу круга. Та кие же напряжения получаются по формуле (9) гл. IV:
Они возникают в площадках, наклоненных под углом в 45° к на правлению главных напряжений (фиг. 5. 1,в). Из круга напря жений ясно, что в этих площадках нормальные напряжения равны нулю:
^а=45°==- 0.
Таким образом при растяжении и сжатии по двум взаимно перпендикулярным направлениям, равными по абсолютной вели чине напряжениями, в элементе существуют площадки, в кото рых возникают только касательные напряжения. Если из рассмат-
'риваемого элемента вырезать квадратную призму, ограниченную площадками, наклоненными под углом 45°, то на ее гранях бу дут действовать только касательные напряжения (фиг. 5. 1,г). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. При чистом сдвиге наибольшие касательные напряжения численно равны главным напряжениям:
|
|
τ = ві = |
— σ3= |
з. |
|
|
|
(а) |
После |
деформации |
элемента |
прямые |
углы |
а, Ь, с |
и d |
(фиг. |
|
5.1,в) |
изменятся на |
величину |
угла |
γ. |
Углы |
b и d |
при |
этом |
уменьшатся до величины (90 — γ), а углы а и с увеличатся до (УО + ч). Эта деформация называется сдвигом. Он характери зуется перемещением As (фиг. 5.1,6) и перекосом прямых углов на угол γ. Перемещение As называется абсолютным сдвигом и измеряется в см. Деля абсолютный сдвиг на длину s, на которой он возник, из треугольника ЬЬ'с (фиг. 5.1,6) нахо
дим, что — — tg γ. При упругих деформациях сдвиг As и свя-
£
занный с ним угол γ весьма малы. Учитывая, что для малых углов tg γ = к, окончательно получаем
Угол γ называется относительным сдвигом или углом сдвига; он является безразмерной величиной и выражается в радианах. Угол сдвига в градусах будет
о__ As _π
^— s 180’
119
З а к о н п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и пр и с д в и г е . Вы ясним зависимость между напряжениями и деформациями при чистом сдвиге. Выделим из прямоугольного элемента квадрат ную призму abed, по граням которой действуют только каса тельные напряжения τ (фиг. 5.1,г). В условиях чистого сдвига одна диагональ призмы укорачивается, а другая удлиняется (фиг. 5. 1,е). Относительное удлинение диагонали определим по формуле (12) гл. IV, принимая во внимание равенство (а):
ει = -)г (Зі —В3з)= J r (τ - К - τ)ί = ~ (1—1*)·
Пусть длина стороны квадратной призмы равна единице, 5=1
(фиг. |
5.1,г). |
Тогда длина |
диагонали квадрата |
1— Ѵ 12+ 1* = |
= ν |
χ а ее |
абсолютное |
удлинение |
|
|
|
М = Ч І= ^ { 1 + ѵ )Ѵ 2 - |
(Ь) |
|
|
|
|
L· |
|
Для простоты предположим, что грань dc призмы непо движна (фиг. 5. 2,д). При деформации противоположная грань
. ab сдвинется в направлении касательных напряжений отно сительно грани dc на величину абсолютного сдвига Δ5= γ5 = γ1. Прямые углы квадрата изменятся на малую величину угла
сдвига γ и угол ab'd будет равен,— (90 —γ) = 45— 4_. Абсо
лютное удлинение диагонали ΔΖ (фиг. 5.1,5) связано с абсолют
ным сдвигом As зависимостью |
A/=Ascos^45— |
. Так |
как |
||||
угол γ в пределах упругих |
деформаций |
очень |
мал, то |
вели |
|||
чиной |
можно пренебречь по сравнению с углом 45° и при |
||||||
нять cos [45— ^-j=>cos45°. Но cos 45= |
Таким образом |
||||||
удлинение |
|
У ~2 |
|
лЛ-2 |
|
|
это с |
диагонали Δ/ = л——- As = |
— γ. Сравнивая |
||||||
выражением (Ь), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ ( 1 + Ю / Т = И ^ - т, |
|
|
||||
откуда |
_ |
Е |
|
|
|
|
|
|
Τ = °7· |
|
|
(2) |
|||
|
Х~ 2(1+μ) |
|
|
Полученная формула выражает закон пропорциональности при сдвиге. Величина G является коэффициентом пропорциональ ности и называется модулем упругости при сдвиге или просто модулем сдвига. Он имеет размерность кгіем2, как и напряже ние т, что следует из уравнения (2), где угол γ является вели-
120
чиной безразмерной. Итак, деформации материалов характери зуются тремя величинами: модулем продольной упругости Е, коэффициентом поперечной деформации μ и модулем сдвига G. Две из этих трех величин являются независимыми. Они могут быть определены только непосредственно из опыта (гл. Ill, §2). Зависимость модуля сдвига от £ и μ имеет вид
G = |
Е |
(3) |
2(1 -М
ипозволяет определить величину G, когда известны значения Е
иμ. Для большинства металлов можно принять μ = 0,25— 0,3.
Тогда Gm0,4 Е. Для стали G= 800 000 кг/см2, для дуралюмина
G = 270 000 кг/см2.
Фиг. 5. 2. Брус |
в условиях |
сдвига. |
а — сила Р действует поперек |
оси бруса; |
б — деформация бруса; |
в — средние касательные напряжения в поперечном сечении. |
П р а к т и ч е с к и е с л у ч а и с д в и г а . Срез . С к а л ы в а ние. Чистый сдвиг встречается как элемент других деформаций, например, при растяжении и окатии по двум направлениям, при кручении и т. д. Деформация сдвига обычно осложнена рядом побочных явлений. Такой «осложненный» сдвиг встречается при работе болтов, заклепок и т. п. металлических соединений; в этом случае он называется срезом; в случае деревянных соеди нений, где разрушение можно ожидать вдоль волокон, сдвиг на зывается скалыванием. Расчеты подобных соединений будут рас смотрены ниже. Простейшим примером практического осуще ствления сдвига может явиться следующий.
Пусть дан брус, защемленный одним концом в неподвижный блок. На небольшом расстоянии s от защемления (не превосхо дящем, например, высоту бруса) приложена перпендикулярно к оси бруса сила Р (фиг. 5. 2,а). Под действием этой силы сече ние BB' перемещается относительно сечения АА' (фиг. 5. 1,6).
121
Практически сечение ВВ' не только перемещается вдоль силы, но и поворачивается. Эта деформация рассматривается ниже в гл. IX об изгибе стержней. Однако при малом расстоянии s по ворот мал и им пренебрегают. Таким образом характер дефор мации совпадает с рассмотренным в случае чистого сдвига.
Напряжения, возникающие при этом в поперечном сечении, выясним, применяя метод сечений. Мысленно проведя разрез бруса по пп и отбросив, например, левую часть, заменим ее действие на оставшуюся правую часть внутренними силами взаимодействия между частицами материала и рассмотрим рав новесие правой части (фиг. 5. 2,в). По условию равновесия внеш ние и внутренние силы, действующие на оставшуюся часть, долж ны давать одинаковые проекции на любую ось. Чтобы сумма проекций на ось у равнялась нулю, в сечении должны иметься внутренние силы, которые должны быть направлены по каса тельной к поперечному сечению и давать равнодействующую Q, направленную противоположно силе Р и равную ей, Q=P. Обыч но в расчетах на сдвиг определяют не действительные касатель ные напряжения, которые будут различны в различных точках сечения, а их среднее значение
—постоянное для всех точек сечения. Другими словами, прини мают, что при сдвиге касательные напряжения распределяются равномерно по сечению (фиг. 5. 2,в). Этот условный расчет при меняется к таким деталям конструкций, которые работают глав ным образом на сдвиг и у которых в основном только напряже ния τ уравновешивают нагрузку. Из фиг. 5.2,в видно, что осталась не уравновешена пара с моментом РІ,— ею, по малости, пренебрегают.
У с л о в и е п р о ч н о с т и . Для обеспечения прочности и дол говечности детали, работающей на сдвиг, необходимо, чтобы средние касательные напряжения не превосходили допускаемого касательного напряжения [т]. Условие прочности на сдвиг имеет вид
- f < M . |
(5) |
Допускаемое напряжение [τ] зависит от тех же факторов, что и допускаемое напряжение при растяжении [о]. Напряжение [τ] должно составлять некоторую часть от временного сопротивле ния на сдвиг, при котором наступает разрушение.
Если известно допускаемое напряжение на растяжение и сжатие [о], то можно определить допускаемое напряжение на сдвиг [τ], пользуясь той или иной теорией прочности. При этом результаты получаются различными в зависимости от принятой теории прочности. Выбор теории прочности зависит, как указы валось в § 4 гл. IV, от материала детали.
122