Раздел 1. Формирование оптимального производственного плана предприятия

1.1. Поиск оптимального производственного плана предприятия по критерию балансовой прибыли

Найти оптимальный по критерию балансовой прибыли (цена – себестоимость) план предприятия, используя пошаговый алгоритм перехода от одного симплекса к другому.

Математическая формулировка задачи (МФЗ):

= (360, 105, 100, 95, 190) – вектор наличного запаса производственных ингредиентов.

= (2,12;4,11;1,22;0,86;0,59;0,82)

= (1,98;4,82;0,92;0,6;0,48;0,63)

= (2,4;3,93;1,51;1,13;0,86;0,92)

= (2,29;4,5;1,16;0,71;0,6;0,6)

= (2,1;2,41;1,52;0,5;1,02;1,51)

= (2,18;2,17;1,83;0,62;1,12;1,42)

= (2,36;2,9;1,17;0,83;0,98;1,18)

= (3,19;3,12;2,5;1,12;2,15;3,15)

= (2,4;8;3,9;2,41;1,43;2,71;3,25)

=(2,59;3,56;2,2;1,35;2,43;3,1)

=(1,9;3,45;2,82;1,01;2,32;3,56)

В данных векторах первая координата характеризует балансовую прибыль от производства единицы соответствующего продукта, остальные координаты показывают удельные затраты соответствующего ресурса на производство соответствующего продукта.

=(2,12;1,98;2,4;2,29;2,1;2,18;2,36;3,19;2,48;2,59;1,9) – вектор балансовой прибыли, каждая координата которого рассчитана как разность между рыночной ценой и себестоимостью соответствующих продуктов.

Канонический вид задачи:

Экономический смысл группы новых дополнительных переменных t_j – остаток неиспользованных ресурсов.

Перейдем к симплекс-процедуре нахождения оптимального плана.

1-я итерация:

На первом шаге симплекс-процедуры предполагается, что предприятие пока ничего не производит, т.е. значение целевой функции равно нулю, остатки ресурсов совпадают с первоначальными запасами, элементы первой строки показывают значение изменения целевой функции от введения соответствующей переменной в оптимальный план.

Выбираем объект для строительства, который обладает наибольшей по абсолютному значению двойственной оценкой (среди отрицательных), т. е. имеет наибольшую упущенную выгоду. Таким объектом является х₈ – коттеджи, строящиеся 1-м технологическим способом.

Таблица 1

T1	Прямые оценки	Дороги					Усадьбы				Коттеджи					К/З
		x1	x2	x3	x4	x5		x6	x7	x8		x9	x10	x11
F	0,00	-2,12	-1,98	-2,40	-2,29	-2,10		-2,18	-2,36	-3,19		-2,48	-2,59	-1,90
	165,88	1,56	1,17	1,93	1,48	1,94		2,34	1,49	1,28		3,08	2,81	3,60
t1	420,00	4,11	4,82	3,93	4,50	2,41		2,17	2,90	3,12		3,90	3,56	3,45	134,62
	-162,24	-1,52	-1,15	-1,88	-1,45	-1,90		-2,28	-1,46	-1,25		-3,01	-2,75	-3,52
t2	130,00	1,22	0,92	1,51	1,16	1,52		1,83	1,17	2,50		2,41	2,20	2,82	52,00
	52,00	0,49	0,37	0,60	0,46	0,61		0,73	0,47	0,40		0,96	0,88	1,13
t3	100,00	0,86	0,60	1,13	0,71	0,50		0,62	0,83	1,12		1,43	1,35	1,01	89,29
	-58,24	-0,55	-0,41	-0,68	-0,52	-0,68		-0,82	-0,52	-0,45		-1,08	-0,99	-1,26
t4	120,00	0,59	0,48	0,86	0,60	1,02		1,21	0,98	2,15		2,71	2,43	2,32	55,81
	-111,80	-1,05	-0,79	-1,30	-1,00	-1,31		-1,57	-1,01	-0,86		-2,07	-1,89	-2,43
t5	270,00	0,82	0,63	0,92	0,60	1,51		1,42	1,18	3,15		3,25	3,10	3,56	85,71
	-163,80	-1,54	-1,16	-1,90	-1,46	-1,92		-2,31	-1,47	-1,26		-3,04	-2,77	-3,55

Выбираем наименьший коэффициент замены, который равен 52 тыс. м² (130 тыс. т: 2,5 т/ м² = 52 тыс. м²)

Коэффициент замены является тривиальным, т.е. мы меняем 130 тыс. т строительного материала 2-го типа на 52 тыс. м² коттеджей, построенных 1-м технологическим способом.

Полученный план является допустимым (все элементы первого столбца положительные), но не оптимальным (двойственных оценок первой строки отрицательны), следовательно, существует потенциал для дальнейшего улучшения плана.

Экономические потоки:

F⁺= (52-0)*3,19 = 165,88 тыс.руб.

F^- = 0

F₁= F₀ + F⁺ - F^- = 0 +165,88 – 0 = 165,88 тыс. руб.

(F₁ - результат полученного плана на 1-м шаге).

2-я итерация:

Наибольшей упущенной выгодой от непроизводства обладает х₇ – строительство усадьбы 3-м технологическим способом.

Таблица 2

T2	Прямые оценки	Дороги					Усадьбы				Коттеджи					К/З
		x1	x2	x3	x4	x5		x6	x7	t2		x9	x10	x11
F	165,88	-0,56	-0,81	-0,47	-0,81	-0,16		0,16	-0,87	1,28		0,60	0,22	1,70	-191,31
	96,34	0,90	0,68	1,12	0,86	1,13		1,36	1,85	0,74		1,79	1,63	2,09
t1	257,76	2,59	3,67	2,05	3,05	0,51		-0,11	1,44	-1,25		0,89	0,81	-0,07	179,02
	-159,98	-1,50	-1,13	-1,86	-1,43	-1,87		-2,25	-3,08	-1,23		-2,97	-2,71	-3,47
x8	52,00	0,49	0,37	0,60	0,46	0,61		0,73	0,47	0,40		0,96	0,88	1,13	111,11
	111,11	1,04	0,79	1,29	0,99	1,30		1,56	2,14	0,85		2,06	1,88	2,41
t3	41,76	0,31	0,19	0,45	0,19	-0,18		-0,20	0,31	-0,45		0,35	0,36	-0,25	136,54
	-33,98	-0,32	-0,24	-0,39	-0,30	-0,40		-0,48	-0,65	-0,26		-0,63	-0,58	-0,74
t4	8,20	-0,46	-0,31	-0,44	-0,40	-0,29		-0,36	-0,03	-0,86		0,64	0,54	-0,11	-312,98
	2,91	0,03	0,02	0,03	0,03	0,03		0,04	0,06	0,02		0,05	0,05	0,06
t5	106,20	-0,72	-0,53	-0,98	-0,86	-0,41		-0,89	-0,29	-1,26		0,21	0,33	0,01	-360,98
	32,69	0,31	0,23	0,38	0,29	0,38		0,46	0,63	0,25		0,61	0,55	0,71

Наименьший коэффициент замены, соответствующий х_7, равен 111,11 тыс. м² (52 тыс. м²: 0,47 тыс. м² = 111,11 тыс. м²).

Коэффициент замены является нетривиальным, т.е. мы отказываемся от строительства 52 тыс. м² коттеджей 1-м технологическим способом, в пользу строительства 111,11 тыс. м² усадеб 3-м технологическим способом.

Экономическая интерпретация 2-го шага:

Совокупный рыночный после 2-го шага составляет 165,88 тыс. руб., который достигается за счет строительства 52 тыс. м² коттеджей 1-м технологическим способом.

Упущенной выгоды от строительства коттеджей 1-м технологическим способом нет. Компания не строит дороги ни одним из 3-x технологическими способами, упущенные выгоды от строительства дорог равны соответственно -0,56 тыс. руб./м², - 0,81 тыс. руб./м², - 0,47 тыс. руб./м², -0,81 тыс. руб./м², т. е. при увеличении строительства дорог 1-м, 2-м, 3-м, 4-м технологическими способами на 1 м² совокупный рыночный результат увеличится на 0,56 тыс. руб./м², 0,81 тыс. руб./м², 0,47 тыс. руб./м², 0,81 тыс. руб./м² соответственно. Так же не строятся усадьбы ни одним из трех технологических способов, упущенные выгоды от их строительства равны соответственно -0,16 тыс. руб. /м², 0,16 тыс. руб. /м², -0,87 тыс. руб. /м². Коттеджи не производятся 2-м, 3-м и 4-м технологическими способами, упущенные выгоды от их строительства равны соответственно 0,6 тыс. руб./м², 0,22 тыс. руб./м², 1,7 тыс. руб./м².

Ресурс t₂ (строительные материалы 2-го типа) является дефицитным (его остаток равен нулю). Его предельная отдача равна 1,28 тыс. руб./т, т.е. при увеличении наличного запаса строительных материалов 2-го типа на 1 т. Совокупный рыночный результат увеличится на 1,28 тыс. руб.

Ресурсы t₁,t₃,t₄,t₅ дефицитными не являются. Их остатки равны 257,76 тыс. т, 41,76 тыс. маш.-час, 8,2 тыс. маш.-час, 106,2 тыс. чел.-час соответственно. Их предельная отдача равна нулю.

Полученный план получился допустимым (все элементы первого столбца положительные), но не оптимальным (среди двойственных оценок первой строки есть отрицательные), следовательно, существует потенциал для дальнейшего его улучшения.

Экономические потоки:

F⁺ = (111,11-0)*2,36=262,22

F- = (52-0)*3,9=165,88

F₂=F₁+ F⁺-F^-= 165,88+262,22-165,88=262,22

F₂ – результат полученного плана на 2-м шаге.

Проверка полученного результата по теоремам двойственности:

1-я теорема двойственности

F_1пр. = 0*2,12+52*3,19+0*2,4+0*2,29+0*2,1=165,88

F_1дв. = 420*0+130*1,276+100*0+120*0+270*0=165,88

2-я теорема двойственности

t₁ = 420 – (3,12*52) = 257,76

t₂ = 130 – (2,5*52) = 0

t₃ = 100 – (1,12 *52) = 41,76

t₄ = 120 – (2,15 * 52) = 8,2

t₅ = 270 – (3,15 * 52) = 106,2

d₁ = (1,28*1,22) – 2,12= -0,56

d₂ = (1,28*0,92) – 1,98 = -0,81

d₃ = (1,28*1,51) – 2,4 = -0,47

d₄ = (1,28*1,16) – 2,29 =-0,81

d₅ = (1,28*1,52) – 2,1 =-0,16

d₆ = (1,28*1,83) – 2,18 =0,16

d₇ = (1,28*1,17) – 2,36 =-0,87

d₈ = (1,28*2,5) – 3,19 =0

d₉ = (1,28*2,41) – 2,48 =0,6

d₁₀ =(1,28*2,2)- 2,59 =0,22

d₁₁ =(1,28*2,82) – 1,9 =1,7

Проверки по двум теоремам двойственности сошлись, что подтверждает правильность полученного результата.

3-я итерация:

Наибольшей упущенной выгодой от непроизводства обладает х₂ – строительство дороги 2-м технологическим способом.

Таблица 3

T3	Прямые оценки	Дороги					Усадьбы				Коттеджи					К/З
		x1	x2	x3	x4	x5		x6	x8	t2		x9	x10	x11
F	262,22	0,34	-0,12	0,65	0,05	0,97		1,51	1,85	2,02		2,38	1,85	3,79
	4,78	0,05	0,05	0,01	0,08	0,00		-0,12	-0,15	-0,12		-0,10	0,00	-0,17
t1	97,78	1,09	2,54	0,19	1,62	-1,36		-2,37	-3,08	-2,46		-2,07	-1,89	-3,54	38,50
	38,50	0,43	0,39	0,07	0,64	-0,53		-0,93	-1,21	-0,97		-0,82	-0,75	-1,39
x7	111,11	1,04	0,79	1,29	0,99	1,30		1,56	2,14	0,85		2,06	1,88	2,41	141,30
	-30,27	-0,34	-0,31	0,00	-0,50	0,42		0,73	0,95	0,76		0,64	0,59	1,10
t3	7,78	0,00	0,00	0,06	-0,11	-0,58		-0,68	-0,65	-0,71		-0,28	-0,21	-0,99	-147,73
	2,03	0,02	0,02	0,00	0,03	0,03		0,03	0,03	0,03		0,03	0,03	0,03
t4	11,11	-0,43	-0,29	-0,40	-0,37	-0,25		-0,32	0,06	-0,84		0,69	0,59	0,00	-38,24
	11,19	0,12	0,11	0,02	0,19	-0,16		-0,27	-0,35	-0,28		-0,24	-0,22	-0,41
t5	138,89	-0,41	-0,30	-0,60	-0,57	-0,02		-0,43	0,63	-1,01		0,82	0,88	0,72	-466,28
	11,47	0,13	0,12	0,02	0,19	-0,16		-0,28	-0,36	-0,29		-0,24	-0,22	-0,42

Коэффициент замены, соответствующий х_2, равен 38,5 тыс. м².

Коэффициент замены является тривиальным, т.е. мы меняем 0,12 тыс. м² дороги, построенной 2-м технологическим способом на 97,78 тыс. т. строительного материала 2-го типа.

Экономическая интерпретация 3-го шага:

Совокупный рыночный после 3-го шага составляет 262,32 тыс. руб., который достигается за счет строительства 111,11 тыс. м² усадеб 3-м технологическим способом.

Упущенной выгоды от строительства усадеб 3-м технологическим способом нет. Компания не строит дороги ни одним из 3-x технологическими способами, упущенные выгоды от строительства дорог равны соответствен но 0,34 тыс. руб./м², - 0,12 тыс. руб./м², 0,65 тыс. руб./м², 0,05 тыс. руб./м². Упущенные выгоды от строительства усадеб 1-м и 2-м технологическими способами равны соответственно 0,97 тыс. руб. /м², 1,51 тыс. руб. /м². Коттеджи не производятся ни одним их технологических способов, упущенные выгоды от их строительства равны соответственно 1,85 тыс. руб./м², 1,85 тыс. руб./м², 3,79 тыс. руб./м².

Ресурс t₂ (строительные материалы 2-го типа) является дефицитным (его остаток равен нулю). Его предельная отдача равна 2,02 тыс. руб./т.

Ресурсы t₁,t₃,t₄,t₅ дефицитными не являются. Их остатки равны 97,78 тыс. т, 7,78 тыс. маш.-час, 11,11 тыс. маш.-час, 138,89 тыс. чел.-час соответственно. Их предельная отдача равна нулю.

Полученный план получился допустимым (все элементы первого столбца положительные), но не оптимальным (среди двойственных оценок первой строки есть отрицательные), следовательно, существует потенциал для дальнейшего его улучшения.

Экономические потоки:

F+ = (38,5 – 0) * 1,98 = 76,2

F- = (111,11- 80,84) * 2,36 = 71,4

F³=F²+F⁺ - F^- = 262,22 + 76,2 -71,44 =267,01

F₃ – результат полученного плана на 3-м шаге.

Проверка по двум теоремам двойственности:

1-я теорема двойственности

F_1пр. = 111,11*2,36=262,22

F_1дв. = 420*0+130*2,02+100*0+120*0+270*0= 262,22

2-я теорема двойственности

t₁ = 420 – (111,11*2,9) = 97,78

t₂ = 130 – (111,11*1,17) = 0

t₃ = 100 – (111,11*0,83)=7,78

t₄ = 120 – (111,11*0,98)=11,11

t₅ = 270 – (111,11*1,18)=138,89

d₁ = (1,22*2,02) – 2,12= 0,4

d₂ = (0,92*2,02) – 1,98 = -0,12

d₃ = (1,51*2,02) – 2,4 = 0,65

d₄ = (1,16*2,02) – 2,29 =0,05

d₅ = (1,52*2,02) – 2,1 = 0,97

d₆ = (1,83*2,02) – 2,18 = 1,51

d₇ = (1,17*2,02) – 2,36 =0

d₈ = (2,5*2,02) – 3,19 =1,85

d₉ = (2,41*2,02) – 2,48 =2,38

d₁₀ = (2,2*2,02) – 2,59 =1,85

d₁₁ = (2,82*2,02) – 1,9 =3,79

Проверки по двум теоремам двойственности сошлись, что подтверждает правильность полученного результата.

4-я итерация:

T4	Прямые оценки	Дороги				Усадьбы			Коттеджи
		t1	t2	x1	x3	x4	x5	x6	x8	x9	x10	x11
F	267,01	0,05	1,90	0,39	0,65	0,13	0,90	1,40	1,70	2,28	1,75	3,61
x2	38,50	0,39	-0,97	0,43	0,07	0,64	-0,53	-0,93	-1,21	-0,82	-0,75	-1,39
x7	80,84	-0,31	1,62	0,71	1,23	0,49	1,72	2,30	3,09	2,70	2,47	3,51
t3	9,80	0,02	-0,76	0,02	0,06	0,00	-0,61	-0,73	-0,72	-0,32	-0,25	-1,06
t4	22,30	0,11	-1,12	-0,31	-0,38	-0,19	-0,41	-0,59	-0,30	0,45	0,37	-0,45
t5	150,36	0,12	-1,30	-0,28	-0,58	-0,38	-0,18	-0,70	0,27	0,58	0,66	0,30

В итоге, строим 75 5/424 тыс. м² дорог 4-м технологическим способом и 7 64/329 тыс. м² коттеджей 1-м технологическим способом. Строительные материалы 1-го типа (t₁) и строительные материалы 2-го типа (t₂) израсходованы полностью.

Мы получили оптимальный план (все двойственные оценки первой строки являются неотрицательными).

Проверка полученного результата:

1 теорема двойственности

F₃ = 38,5*1,98+80,84*2,36 = 267,01

F_3дв. = 420*0,05+130*1,9+100*0+120*0+270*0=267,01

2 теорема двойственности

t₁ = 420 – (4,82*38,5+2,9*80,84) = 0

t₂ = 130 – (0,92*38,5+1,17*80,84) = 0

t₃ = 100 – (0,6*38,52+0,83*80,84) =9,8

t₄ = 120 – (0,48*38,52+0,98*80,84)=22,3

t₅ = 270 – (0,63*38,52+1,18*80,84)=150,36

d₁ = (0,05*4,11+1,9*1,22) – 2,12= 0,4

d₂ = (0,05*4,82+1,9*0,92) – 1,98 = 0

d₃ = (0,05*3,93+1,9*1,51) – 2,4 = 0,65

d₄ = (0,05*4,5+1,9*1,16)) – 2,29 =0,13

d₅ = (0,05*2,41+1,9*1,52)) – 2,1 = 0,9

d₆ = (0,05*2,17+1,9*1,83)) – 2,18 = 1,4

d₇ = (0,05*2,9+1,9*1,17)) – 2,36 =0

d₈ = (0,05*3,12+1,9*2,5)) – 3,19 =1,7

d₉ = (0,05*3,9+1,9*2,41) – 2,48 =2,28

d₁₀ = (0,05*3,56+1,9*2,2) – 2,59 =1,75

d₁₁ = (0,05*3,45+1,9*2,82) – 1,9 =3,61

Проверки по двум теоремам двойственности сошлись, что подтверждает правильность полученного результата.