Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7644 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

7.4.

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА

433

s^n vs sm

(cos vs cos

2=5

о S , t * = - o o

« /

со

во

a x ,s c o s v s

2 а м.» c o sv ^

g \ s=-oo

t=-o°

a M

s in v s

s *n v 4

d G * (v) =»

t= —oo

j ax (v) a w(v) dG* (v) — min [G* (k), G*(p)],

<39)

gS* (k) S* (p) =

f (

PM cos vs

PM.< COS vt -j-

Q v S——CO

t——OO

PM sin vs

PM.<sin vt)

dG*(v)=

jPx (V) p* (V) dG* (v) =

min [G* (A,),

G* (p)l,

Я /

(40)

gC* (A,) S* (fi) == П

aM cos vs 2

P|*.' COS vt +

\S=-OQ

/=—©

<*K,s Sin v s

Рм.»sin v 4

d G * (v )

/ = —oo

т а к

к а к

(4P

aM.<sinv* = 0»

t——OO

(42)

PM.' COS v t == 0,

t==—oo .

sin vt =

—sin (— vt),

в силу того,

что

ац,< =

ац,_*,

Рц,< = —Рц,_/

и cos vt = cos (—vt). Так как ряды Фурье

для ax (v)

и Рх (v) схо

дятся и непрерывны, за исключением точек —к, 0 , к, то приведенные рассуждения верны, если 0 , к и р являются точками непрерывности G* (v). Для того чтобы сделать доказательства полными, нужно по дробнее рассмотреть пределы под знаком математического ожида ния. Теорема 7.6.4 позволяет вычислить дисперсии и ковариации [см. Дуб (1953, гл. X, разд. 4)].

Предшествующие рассуждения показывают, каким образом мож но построить процессы С* (к) и S*(k), чтобы процесс [у]), стацио

434

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Гл. 7.

нарный в широком смысле, представлялся в спектральной форме. Процессы С*(Я) и S*(A,) определяются единственным образом.

В приведенных выше рассуждениях мы показали, что любой ста ционарный (в широком смысле) случайный процесс можно рассмат ривать как взвешенную сумму или интеграл от тригонометрических функций времени со случайными весами. Эффект этих весов в сред нем определяется их дисперсиями.

7.5.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД

СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

7.5.1.Ковариационные и спектральные функции процессов, полученных линейными операциями над стационарными процессами

Пусть {yt} — случайный процесс со средним %yt = 0, кова риационной функцией %ytys = о (s — t) и спектральной функци ей F (X). (Процесс {yt} стационарен в широком смысле.) Новый процесс {zt} может быть получен с помощью некоторой линейной операции над процессом {yt):

( 1 )	г/ = Ц сгУ<-г, t = • • • , — 1, 0 , 1, . . . ,
	г

где {сг} — последовательность постоянных величин. Если ряд в формуле (1) бесконечен, определим zt как предел в среднем (пред полагая, что он существует). Эта операция иногда называется ли нейным фильтром.

Среднее значение %zt полученного процесса равно 0, а

(2)	8 2		Cryt—rCqys—q =
		r.q
	= 2	W	К* ~ r) ~ ( s — q)] =
	r,q
	= 2	W	l(t — s) — (r — q))
	r,q

является его ковариационной функцией.

Случайная величина zt существует как предел в среднем (когда ряд (1) бесконечен) тогда и только тогда, когда правая часть в (2 ) сходится при s = t (следствие 7.6.1). В этом случае правая часть есть не что иное, как %ztzs (теорема 7.6.4). Равенство (2 ) показыва ет, что процесс {zt) стационарен в широком смысле.

7 .6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 435

(2 )	Спектральная		функция процесса {zt} получается из формулы
(2 )	, которая может быть записана в виде
			Я
(3)	gz,zs =	у. crcq С cos A [(t — s) — (г — <7)1 dF (к) =
		г.Ч
	= f J i y ^ c ^ e '^ - ^ - '^ d F i k ) =
		- Я	Г’?
	=	f	Y c QeiUcre^iKrdF (к) =
		- я	г-ч
		Я

J cos Я (/ — s)

dF(k).

—Я

Таким образом, спектральная функция процесса {г,} имеет вид

{4)

*(*)-

Л 2 СЛivr

! dF (v)

—я 1 г

(5)

&ztzs =

j cos к ( t— s)dH(k).

Если

{yt) имеет

спектральную

плотность

F' (к) =

/ (А,), то

{г,}

имеет спектральную плотность

! с,еi\r

<6 )

Я' (А) =

h (А)

7 W.

Функцию 2 crei%

иногда

называют частотной

характеристикой

| 2 сгеаг |2

на-

линейного фильтра или передаточной функцией,

зывают передаточной функцией мощности.

Теорема

7.5.1.

Если

{у(}

имеет спектральную функцию F (А),

то процесс

{zt},

определенный формулой (1), имеет спектральную

функцию (4). Если {yt}

имеет

спектральную плотность f (А), то

спектральной плотностью процесса {zt} является (6 ).

7.5.2.

Процессы

скользящего среднего

Предположим,

что

{yt} — процесс

скользящего

среднего

не

коррелированных случайных величин

(7)

yt =

2 4rvt-r,

436 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Г л. 7„

где %vt = О,	= 1 и %vtvs = 0, t Ф s. Для сходимости в среднем
ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы
<8)	2Г Y r< оо

(следствие 7.6.1). Процесс {vt} имеет спектральную плотность, рав ную 1/(2 я), а спектральной плотностью процесса {у(} является

(9)	г	'
I

Процесс {у/} называется процессом скользящего среднего. Ковариа ционной функцией для {у(} является величина

(10)	%ytyt+h =	g 2	yrVsvt-rVi+h-s =
		r,s
	= ^УгУг+h,
		г
так как	%Vt-.rVt+h-s = 1,	если	t — г — t + h — s,	и равно О
в остальных случаях.			процесс {yt} им^ет	спектральную
Обратно, если стационарный			процесс {yt} им^ет	спектральную

плотность / (^), его можно представить в виде (7). Квадратный

корень из яg			=	2 я/ (X) можно представить следующим образом:
( 11)				V ^ g W	=	2	y>iKr =
					=	fl0 +	2 ( flr cos ^r +		brsin Ar),
							r=l
где	an =	Yo>	ar =	Y* + У-r	и	br =	i(yr — y lr),		r =	1, 2,	; .. .
Так	как	g (A,) = 2/ (A,) — четная				функция, то br = 0,				Y* =	Y-/ и
Y* = ~Y аГ(г Ф 0) вещественные. [Заметим, что в								том случае,			когда
уг =	у-г	не выполняется, a yt			определяется (7),			2	У /Хг является
								Г

комплексной величиной.] Существует последовательность некорре

лированных случайных величин			{Vt}, такая, что yt могут быть пред-
	оо
ставлены как	2 Y	&Vt =	0 и	= 1.
Определим {Vt},		используя	спектральное		представление про
цесса {yt}. Предположим, чтоg (А.) >				0, 0 < А, <; п. Пусть
(12)	Vt =	~ dC (А) +		(■ 7sig if .	dS (А).

У ng (А)

7.5.

Тогда

(13)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

437

2	Y* cos к (t—г)
I	dC (I) +
I	Yng (к)
	Y* sin X (t — г)
	dS (к) =
	V ng w
Я 2	V* (cos Xt cos Xr + sin Xt sin Xr)

dC (A) -f-

V ng (k)

V* (sin kt cos kr — cos ki sin kr)

dS(k) =

Vng(k)

71 ill

=^ cos ktdC (к) 4“ { sin ktdS (A) = y^f

так как	oo	_______	oo

(14)	2	V*cos kr = V n g (A),	v y‘ s in A /^ 0
ввиду у* =	у-r-	Таким образом, из формулы (12) получаем требуе

мое равенство. Более подробное изложение см. в книге Дуба (1953, гл. X, разд. 8 ).

Если	{yt} имеет спектральную плотность f (А), / (А) > 0 почти
везде на [0 , я] и
	Л
(15)	jlo g /(A )d A > — оо,

—Я

то существуют (действительные) постоянные {уг} и последователь ность случайных величин {vt}, такие, что

О 6)	yt = 2 4rvt-r> t = ••• , — i, о, i, . . . .
	r = О

Сумма (16), вообще говоря, бесконечна (см. разд. 7.6.3).

438	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ							Гл. 7.
Теперь рассмотрим процесс скользящего среднего с конечными
пределами суммирования !>
<17)			yt = i i	aPt-r,
			r=О
где а 0 =	1 и %v] — а2. Тогда
<18)	-	°2		2	а2	s ^
	-	°2			а2		~	iXr
		2л	г=0		2л		~	iXr
			г=0			г=0
	и	\|сЗ Ъ		-г)	2	1 Э*	<4.	1
	и	\|сЗ Ъ	г—0			1 Э*	<4.	1
где ги ..., zq — корни уравнения
<19)			г= 0	=	0.
			г= 0

Если aq Ф 0, то все q корней’отличны от нуля. Для конечного qбудем

Я	2 "
использовать 2 аге‘к^-г)	, а 0 = 1, как стандартную форму в / (Я).
г=о

Как было показано в разд. 5.7.1, любой процесс с конечным числом отличных от нуля ковариаций имеет ту же самую последовательность ковариаций, как выбранный соответствующим образом конечный процесс скользящего среднего. Тогда спектральную плотность мож

но записать в		виде (18).
Если <7=1,
-(2 0 )		yt = vt + а & -и
421)	/ (Я) =	\| «+ ах \| = -\|1- (ва + ах) (<ГА + ах) =
	=	(1 + а? + 2ах cos Я).

Так как cos X монотонно изменяется от —1 до 1 на отрезке [—л, 0]

и от	1 до —1 на отрезке		[0,	я], то функция / (Я)	возрастает от
<х2 (1	— а х)2/(2 я)	до о2 (1 +	а х)2/(2 я) на отрезке!—я, 0 ] и убывает до
о2 (1	— ах)2/(2 я)	на отрезке [0 ,		я] для ах > 0 ; если	же а х < 0 , то

/ (Я) убывает на отрезке [—я, 0] и возрастает на [0, я]. Таким обра

зом,	если а х > 0 , то большую	плотность	имеют	нижние частоты,
•если	ах <; 0 — верхние. Ввиду	того что	\| ел\| =	1, спектральную

* В дальнейшем вместо процесса скользящего среднего с конечными пре-

.делами суммирования будем писать просто конечный процесс скользящего сред него. — Прим, перев.

7.5.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

439*

плотность можно записать следующим образом:

( 2 2 )

	a 2 a 2
~ ~	2 n

f t +		a i i 2	=	- £ - i
~	_ __	+	T	СЛ
1	1			и
8	H
	H

1 + а

a 2 a 2

2 n

х е - л | 2 =

1 +

Последняя форма соответствует процессу щ + (Vax) i, v) име

ет дисперсию а2а?. Ковариационные функции этого процесса и процесса, определенного формулой (20), совпадают. Если ах Ф ±1» то последний процесс скользящего среднего отличается от преды

дущего. [Спектральную плотность, соответствующую axvt + vt—\у

можно записать в виде а2 \ а					+ 1 \|2/(2 я), где vt имеет дисперсик>
а2.]		2, то
Если q =		2, то
(23)			yt =	vt +	+	а 2£//_2,
(24)	=	\| ^	W	* +	<*2\|2==
	=	^		+ а ^		+ «1^ + а 2) =
	=	1 11	o&i -f- ct2 ”Ь 2 otj (1			-f- а 2) cos К-f* 2 с&2 cos 2 Я] =
	=	[а? + (1 — a 2)2 + 2 a x (1 + a 2) cos A.+ 4a2 cos2 A,] =

Если a x (1	+ a 2) >		4 \| a 2\|	, то / (0)		= a2 (1 +		a x + а 2)2/(2я)	есть
максимум функции /			(А,), а	/ (± я)	=	a2 (1	— а х + а 2)2/(2 я) —		ми
нимум; если а х (1		+	а 2) < —4 \| а 2\|,		то / (0 ) — минимум, а / ( ±				я ) —
максимум.	Если	\|a x (1 +		а 2) \| <	4 \| а 2\|,		то	cos А, = —а х (1 +
+ а 2)/(4а2) для значения А, на отрезке [0,							л] и в точке А,		А0;,
если а 2 >	0 (подразумевая, что а? <					4а2 и корни соответствующего'

полинома комплексны), то / ( ± ^ 0) есть минимум, а /( 0 ) и / (± л) —

относительный	максимум; если а 2 <	0 (подразумевая, что 4а2 <
< af и корни действительны), то f (±		А0) есть	максимум, а / (0) и
/ (± я) — относительный минимум. Если zx и z2			— корни уравнения.
(25)	г2 -f a xz + a 2 = 0,
то

(26)	M ) = - ^ l ^ - z x \|2 \| e a - Z 2 l2-

440

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Г л .

Так как |еа | =

то

множитель

| е1к — гх |

можно заменить

на

ij 1 — zxe~iX| = 1 1 — zx^ \ = | гх ||

— l/2x|, где_2х

сопряжено

а | eiX— z2|

можно

заменить

на | г21| ё х — l/z2 1.

Таким образом,

для функции / (X) верно любое из следующих выражений:

0 *1»! I»

- z, I2

/(*)=»

2я

iЧ I V '

о2I г1 1*

2л

{27)

/(*)

р2 I г2 I8

ЛА

— Г

2я

— *1

ЧI

о2 1Ч I2

2я

М ) = :

2я

е&

___1_ 2 А ___1_

2я

е/2Х +

. еа +

- L

а2

Если гх

и г2

действительны,

то каждое

из

приведенных

выра

жений / (к) соответствует спектральной плотности процесса сколь зящего среднего. Четыре процесса скользящего среднего различны, -если гх Ф гг и г( Ф ± 1; три процесса скользящего среднего различ ны, если z1 = z2 Ф ± 1; два процесса скользящего среднего различ ны, если гх = ± 1 и z2 Ф ± 1 или если гг Ф ± I и z2 = ± 1; нако нец, существует только один процесс скользящего среднего, если

Ч = ± 1	и z2 = ± 1. Спектральная		плотность	является	произ
ведением двух плотностей указанного типа для q= 1 .					и г 2 =
Если гх и г2		комплексно сопряжены, скажем гх = у№
= уе~т (0	< 0	< я), то z2 + l/z1 и	zx + 1/г2 не	действительны,
если у Ф	1, и первые два выражения функции / (к) в (27) не могут

соответствовать процессу скользящего среднего с действительными коэффициентами. Два процесса скользящего среднего с действи тельными коэффициентами различны. Все выражения для f (к) и процессы скользящего среднего совпадают, если у = 1 (т. е. а 2 = 1).

Когда корни	комплексно сопряжены,
.(28) / (X) =	1еа -		ует\|2 1еа -	уе~т\|2 =
=	^ \| /	a -	2 / cos6	+ y2r =
=	1(1	— у2)2 -(- 4у2 (cos 0 — cos X)2—

7.5.	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ			44*
		— Ау (1 — у)2cos 0 cos Х\ =
	-	Т Г	[4y2 (cos^ ----- ' cos 0)2 + (! — V2)2 sin2 0].
Если v близко к			1, то минимальное значение / (X) достигается для
значений	X,	близких ± 0 . Действительно, минимум функции		(28)

достигается при cos X = (1 + у2) cos 0 /(2 у), если последнее выраже ние меньше 1 по абсолютной величине.

Для произвольного q спектральная плотность есть произведение»

аналогичное формулам		(21) и	(28). Пусть 2/ = у/е1вК (Если 0 <
< 0,- <	я, то 0/ = — 0* и у/ =		yk для некоторых к.) Тогда
(29)	2	агу Г гет1{<,- г) = 0 .

Если у/ близко к 1 (т. е. если 2/ лежит близко к единичному кругу в комплексной плоскости), то

(30)

будет близко к 0. Таким образом, частоты вблизи 0/ будут иметь ма лую интенсивность.

В общем случае множитель \е‘х — 2/ 1 в f(X), как показано в формуле (18), можно переписать так:

(31)

где 2/ комплексно сопряжено Zj. Если все корни действительны,

различны и отличны от ± 1, то существует 2q различных представ лений функции / (А,), соответствующих различным процессам сколь зящего среднего. Число различных процессов скользящего сред него в общем случае зависит от числа корней, абсолютные значе ния которых равны 1, а также от кратности различных корней и числа комплексно сопряженных корней. Мы не будем перечислять все возможности для случая q > 2 .

Нам будет удобно представить процесс скользящего среднего в таком виде, чтобы ни один корень формулы (19) не был больше еди ницы по абсолютной величине. (Заметим, что корень, абсолютное значение которого есть 1, допускается для процесса скользящего среднего.)

Процесс скользящего среднего (17) можно записать в виде

(32)


442	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ		Гл. 7.
где операторы ^ и определены так, что		vt~i и &vt —	Если

корни в (19) меньше 1 по абсолютной величине, то из (32) следует

<33)	vt =	( 2	а х ) ~ '		yt =		П (1 - 2/^ Г ‘ yt =
		Wo		/			/«I
	=	п	2		у?
Если		/=1	г=0
Если
<34)			( 2	«	/ Г	= 2 т / .
			\г=0		/		г=0
то (33) перепишем в виде
(35)				о, = 2			yryt-r
или для у0 =					г=О
или для у0 =	1
(36)			yt =			2	Тг№^г-
						Г=1
Таким образом,
(37)	g (У, \| y t-и			yt-2,		. . . ) = — 2
							r=l

является наилучшим прогнозом величин yt по значениям yt—\, yt-ч, ... в том смысле, что минимизируется среднеквадратичная ошибка.

7.5.3. Процессы авторегрессии

В гл. 5 мы изучали стационарный процесс {yt}, который удов летворяет уравнениям

(38)	ij ^yt-r = щ,
где {ut} — процесс	г—0
где {ut} — процесс	некоррелированных случайных величин с дис

персией а2. (Для рассмотрения свойств, определяемых вторыми моментами, нет необходимости предполагать щ независимыми и одинаково распределенными величинами.) Для удобства допустим,

что %щ = 0 =	%yt и ро = 1.	Если	все р корней хи ..., хр урав
нения
(39)	2	Р у - ' =	0
	/■=0

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7644 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб8Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб28Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб7Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб5Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб1Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб14Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб5Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб28Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб8Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб8Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб6Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf