книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf7.3. |
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦЙЯ |
423 |
при подстановке к = (v + 2nj)/k. Предположим, что F (Я) абсолют но непрерывна с плотностью / (^). Тогда
(39) |
A(V) » |
4 - |
f |
|
/(^ ± ? 2 L ) = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/=:—ОО |
|
|
|
|
|
||
|
|
= т / ( т ) + X | [ / ( ^ - ) + / ( ^ - ) ] - |
|
|||||||||
|
|
= 4 - ? ( т ) + т | И |
|
^ ) + ' ( ^ ) ] . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— я < V < я |
||
есть не что иное, как |
спектральная |
плотность процесса |
{yt}. Вес |
|||||||||
частоты v/(2 rc) |
в процессе с дискретным параметром представляет |
|||||||||||
собой сумму весов |
частот |
v/(2rck), (2 я — v)/(2 nk) = l/k — v/(2 nk), |
||||||||||
(2n+ v)/(2nk) = |
|
1/& + |
v/(2 rcfe), ... процесса с непрерывным временем. |
|||||||||
Предположим, |
например, |
что температура измеряется |
ежечасно; |
|||||||||
k = |
1, если единица непрерывного параметра времени /есть один |
|||||||||||
час. Период в 4 часа соответствует частоте 1/4 и v = зт/2. Для |
не- |
|||||||||||
прерывного процесса получим выборку частот -1j , 1 — 1 |
3 , 1 |
+ |
||||||||||
, 1 |
5 |
о |
— |
1 |
7 |
0 . |
1 |
9 |
которая соответствует пери |
|||
+ -4 |
= 4-, |
2 |
-4- = |
-4- , 2 + 4- = |
-4 , |
|||||||
одам 4, 4/3, 4/5, 4/7, 4/9, .... Этот эффект называется подменой час тот или свертыванием спектра, а величина 1/(2 Л) называется час тотой Найквиста.
Если выполняется (2), то ряд (1) для / (X) сходится абсолютно и равномерно, следовательно, f (А) непрерывна. Существует много различных условий на / (А,), чтобы выполнялось (2), т. е. чтобы сумма абсолютных величин коэффициентов Фурье была сходящейся. Достаточным условием этого является
(40) |
\f( K ) - f( K ) \< К \Х 1- Х г\а, |
|
верное для |
некоторых /С> 0 и а, |
а <; 1 [Хобсон (1907, |
разд. 359)].
Так как / (А) и cos АЛ — четные функции, a sin АЛ — нечетная, то (1) и (3) можно представить в следующем виде:
(41) |
/(А) = 4 - 2 |
|
h= —00 |
(42) |
о(Л) = J eiUf (A) dX. |
424 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Гл. 7 .
Нормированная спектральная плотность f (X) = / (Х)/а (0) получа ется из (1) или (41) подстановкой pft = а (Н)/о (0 ) вместо в (А). Ин
тегралы Фурье функции / (X) равны рА; в частности, интеграл от
функции / (X) на [—я, я] есть р0 = 1.
Перейдем теперь к спектральной теории случайных величин с
комплексными значениями. |
Пусть pt — и( + ivu |
где |
\ut, vt) — |
|||
двумерный |
действительный |
случайный процесс, |
стационарный |
в. |
||
широком смысле с %ut = %vt — 0 и |
|
|
|
|||
(43) |
о (А) = |
%yt+hyt = g (ut+h + ivt+h) (ut — ivt) = |
|
|||
|
= |
g ut+hut + ^vl+hut + i (gvt+hut — g ut+hvt), |
|
|||
|
|
|
A = ••• , |
- 1 , |
0 , 1, . . . |
, |
Заметим, что {а (А)} есть последовательность комплексных чисел,
таких, что о (—А) = о (А), где о (А) означает комплексное число, сопряженное с а (А). Если %щ+нЩ = &vt+hvt и — —%vt+hUt, то {а (А)} определяет все ковариации процесса {иь vt}.
Определим /г (X) следующим образом:
т
(44) |
h М — |
2яТ |
2 |
и |
|
|
2л Т 2 J |
ViVs6 |
|
|
|
|
/=1 |
|
= — 1— V |
u ~ u e - iM t- s) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(45) |
g h |
{Ц = |
-— Г- 2 |
a (t - |
s) <Ta(' - s>= |
|
|||
|
|
|
|
/,S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
- - s r |
s ' |
|
|
|
|
|
|
неотрицательно |
согласно |
(44). |
[/V (X), вообще говоря, |
не равна |
|||||
fr (—А,).] Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(46) |
|
or (ft) (l — - ф - ) |
= |
J |
eakfT (X) dX, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k = ~ ( T ~ \ ) , . . . . |
(Г — 1), |
|
|
|
|
|
|
0 = |
J eiXkfT (X)dX, |
|
||
|
|
|
|
|
|
* - Я |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
k = ± T, dh (T + 1), . *. * |
||
|
FT (A,) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
J /V (v) dv, согласно (16), монотонно не убываете |
||||||||
|
|
—я |
= а (0). Аналогичные рассуждения приводят |
||||||
FT (—я) = 0 и FT (я ) |
|||||||||
к тому, что предел подпоследовательности F (А) монотонно не убы-
7.3. |
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
425 |
||
вает, |
непрерывен справа, F (—я) |
= О, F (я) = а (0) и |
|
|
(47) |
о(А) = |
J |
eiXkdF (к). |
|
|
|
— Л |
|
|
{Для комплексного процесса в формуле (41) нужно заменить |
на |
|||
е -0*.] |
|
|
|
|
Рассмотрим векторный случайный процесс {у*}, стационарный |
||||
в широком смысле, с р комплексными компонентами. Пусть |
|
|||
(48) |
в д |
= |
gy/+fty;( |
|
где у/ есть транспонированный вектор у*, компоненты которого соответственно комплексно сопряжены компонентам у(. Отметим, что
(49)2 (A) = g yt+hy't = (gy^/’+ft)' = S' (— А).
Для любого фиксированного вектора с случайная последователь ность {с'у*} является комплексным случайным процессом, стацио нарным в широком смысле с математическим ожиданием Jlc'y^ = 0 и ковариационной последовательностью
(50) |
gc'y/+fty£ - с '2 (A)с = j |
eiUldFc VA), |
|
|
|
|
— Л |
|
|
где Fe (А,) — действительная, |
монотонно |
неубывающая |
функция, |
|
непрерывная |
справа, такая, |
что Fc (—я) = 0 и Fc (я) = |
с' 2 (0 )с. |
|
Для вектора с, /-я компонента которого равна 1, а остальные 0, имеем
(51) |
ou (h) = j eiUldFn (А), |
|
|
|
_ _ Л |
|
|
где Fc (А) для таких с записана как Fц (А), / |
= |
1, ..., р. Для вектора |
|
с, /-я и к-я компоненты которого равны 1, а остальные 0 , имеем |
|||
(52) |
оц (А) + akk(Л) + a,k (h) + ok, (А) = |
j |
eiUldFi (А). |
|
|
~л |
|
Для вектора с, /-я компонента которого равна 1, A-я равна t, а осталь ные — нулю, имеем
(53) |
оц (А) + |
otk (А) — io/k (А) + iok, (А) = j eahdFu (А). |
Таким образом, |
—Я |
|
|
||
(54) |
|
o/k (А) = j elV%dFjk (А), / Ф А, |
|
|
—Я |
426 |
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
Гл. 7. |
|
где |
|
|
|
(55) |
F,k(А) = -1- \FX(А) - Fn (А) - Fa (А)] + |
|
|
|
+ |
i I^n (ty — Fa (ty — Fkk(A,)], |
/ Ф k. |
Заметим, что F,k (A,), j Ф k, вообще говоря, не является действи тельной функцией. Выражение
(56) |
|
ajk (h) = |
J elXhdFik(A), /, |
k = 1, |
... , p, |
||||
можно |
переписать |
в |
виде |
|
|
|
|
||
(57) |
|
|
|
|
S (h)= |
| eiXhdF (A). |
|
||
Так как (50) определяет функцию Fc (А) однозначно, то |
|||||||||
(58) |
|
|
|
|
Fc(А) = сТ (А) с. |
|
|||
Так как Fc (А) действительна и монотонно не убывает, то |
|||||||||
(59) |
|
|
, [F(A2) - F ( A 1) ] c > 0 , |
А ^ А ,. |
|||||
Таким образом, матрица F (А) |
и ее приращения эрмитовы [F (А) = |
||||||||
= F* (А)] и положительно |
полуопределены. |
действителен. Тогда |
|||||||
Теперь |
предположим, |
что |
процесс |
{у ,} |
|||||
матрица 2 |
(Л) тоже действительна. Мнимая часть в формуле |
||||||||
|
|
|
Я |
[cos Ah + i sin АЛ] [dJiF (A) + idUF (A)] =. |
|||||
(60) |
2 (Л) = |
j |
|||||||
|
|
= |
| |
(cos TdidJiF (A) — sin AM7F (A) + |
|||||
|
|
|
—Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
i [cos khdUF (к) + sin khdjiF (к)]} |
||||||
должна равняться 0 для каждого h. Если F (к) абсолютно непре
рывна |
и имеет плотность f (X), то действительная часть |
функции |
||
fjk (А,) |
называется коспектралъной плотностью, а мнимая |
часть — |
||
квадратурной спектральной плотностью для j Ф k. Отсюда |
||||
(61) |
&fik ( - А) = |
Jifik (А), |
j Ф k, |
|
(62) |
Ufik (— А) = |
— 7fjk(А), |
/ ф k, |
|
7.4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА 427
a fjj |
(к) действительна и симметрична. Используя обозначения спект |
|||
ральной плотности, (60) можно переписать в виде |
||||
|
|
я |
|
л |
(63) |
О// (ft) = |
j |
cos khfn (к) dk = 2 j cos %hfn (k) dk, |
|
|
|
Я |
|
|
(64) |
o/ft (ft) = |
| |
[cos |
(A) — sin khUf/k (k)] dk = |
|
= |
Л |
|
|
|
2 j |
[cos khJZfjk (к) — sin khUffk (A.)] dk, /# f t . |
||
В терминах спектральных функций формулам (61) и (62) соответ ствует F (к2) — F (kj = F (—Аг) — F (-Л ,) для 0 < кг < к2.
7.4.СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
7.4.1. Стохастические интегралы
Процесс {yt} с непрерывным параметром t можно представить в спектральной форме, используя понятие стохастического интегра ла. Стохастические интегралы случайных процессов связаны с ин тегралами от спектральных функций этих процессов.
Спектральное представление случайного стационарного про цесса позволяет найти связь между спектральными функциями и дисперсиями случайных амплитуд тригонометрических функций, составляющих этот процесс.
Мы не будем излагать теорию спектрального представления ста ционарных процессов с полными выводами ввиду того, что никакие дальнейшие математические построения на ней не основываются. Эта теория нам нужна только для того, чтобы сделать ясными ос
новные статистические идеи. |
Я . Будем счи |
Рассмотрим случайный процесс С (А,), 0 ^ к |
тать известными совместные распределения конечных совокуп ностей С (\), ..., С (кп). Процесс С (к) назовем процессом с некорре лированными приращениями, если
(1) |
g [С (к2) - |
С (Ах)[ [С (А4) - С (А3)[ |
= 0, |
|
|
|
0 А х к 2 ^ А 3 <С к 4 ^ л , |
где |
SC (к) = 0 , |
0 <; к < я. То есть |
приращения процесса С (Я) |
по двум непересекающимся интервалам некоррелированы. Для того чтобы (1) имело смысл, предположим, что
(2) %С2(к) = Н (к)< оо, 0 < А < я .
428 |
|
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
Гл. 7. |
||
Потребуем, |
чтобы С (0 ) было не коррелировано с |
С (Х2) — С (Хх), |
|||
0 < |
А,х <; Х2 |
< я. Для Хх < |
Х2 из (1) вытекает |
|
|
(3) |
Н (Яа) == gС2 (Ха) = |
g {С(Хх) + |
[С(Я,) - С (Хх))}2 = |
||
|
|
= ^(X 1) + g(C(X2) - C ( X 1)J2. |
|
||
Таким образом, |
|
|
|
||
(4) |
|
//(Х2)> Я (Х 1), |
Х2 > Х х, |
|
|
т. е. Н (X) должна быть монотонно неубывающей. Более того, для
Хх < |
Х2 |
|
|
(5) |
g С(Хх) С (Х2) = |
gС (Хх) {С(Хх) + |
[С (Х2) - С (Хх)]} = |
|
= |
gC2 (Xx) = ^(X x), |
Хх< Х 2. |
Говорят, что процесс С (X) является |
процессом с независимыми |
||
приращениями, если его приращения по каждому конечному на бору непересекающихся интервалов взаимно независимы. В таком случае С (X) для любого X представляет собой сумму независимых
случайных величин. |
определить |
Теперь мы попытаемся |
|
(6 ) |
| A (X) d,C(X) |
|
о |
по аналогии с интегралом Римана — Стильтьеса
(7) |л(Х)<Ш(Х),
э
где А (X) непрерывна на отрезке [0 , я], а функция Н (X) — монотонно неубывающая. Предположим, что Н (X) непрерывна в точках 0 и я. Тогда (7) аппроксимируется выражением
(8) |
5 = 2 |
А(Х;)[Я(Х/)-Я(Х/_ 1)1, |
где |
/=i |
|
|
|
|
0 = |
Хв Хх |
Хп_| <С Х„ = я, |
(9) |
Xi ^ |
Хх, .. • , Х„ —1 ^ Хп ^ х„. |
Хо |
Мы хотим доказать, что если шах | X/+i — Х;- | достаточно мал, то <К/<л
сумма (о) слабо зависит от используемого разбиения.
Так как функция A (X) непрерывна на отрезке [0, я], то она и рав номерно непрерывна на этом же отрезке. То есть для любого е > О существует такое б, что
(10) |
|А (v) — A (pi) | < е, |
|v — р | < 8 . |
7.4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА 4ЯГ
|
Лемма 7.4.1. Если S определено по формуле (8) |
и |
|
||||||||
(11) |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# « = 2 ft(v /)|fl(v ,)-tf(v ,_ ,)]. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
где л>0, |
vlf |
vm, |
vj, |
vm — некоторое новое разбиение отрезка^ |
|||||||
10, я], и если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(12) |
max |
(X, — X,_i) < 4 - 6 , |
max |
(v, — v,wi) < 4 - S |
|
||||||
для некоторого 6 , |
такого, что (10) имеет место для заданного в, |
та- |
|||||||||
(13) |
|
|
| S — /? | < |
в [Я (я) — Н (0 )]. |
|
|
|||||
|
Д оказательство. Пусть 0 = |
р0 < |
рд < |
... < р, = я отличны от |
|||||||
К, |
•••, К> vo. •••, vm. Пусть kk равно |
Х'{, если (p*_i, pfc) CZ (Ц -и^), |
|||||||||
и v* равно V/, если (p*_t, рА) cz (v,_i, |
v/). Тогда имеет место соотно* |
||||||||||
шение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
| 5 - / ? | |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
i |
h (Kk) [Н (pft) - |
Н (р*_,)] - 2 |
h Ы |
\H (pfc) - |
Н (p*_,)J |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
< |
2 |
\h(X"k) — h (у*) | [H (p*) - |
|
H (p*_,)] < |
e [H (я) — H (0)1, |
|
|||||
|
fe=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ввиду |
ТОГО что I Xk — v* 1< |
б.я |
|
|
|
|
|||||
|
Если мы возьмем последовательность разбиений {^/n), |
|
|||||||||
таких, что max |
[Ajn) — |
->• 0 , то совместные |
суммы S(n) |
схо |
|||||||
дятся и их пределом является интеграл (7). По лемме 7.4.1 частич ные суммы Rim), определенные любой другой последовательностью
разбиений {vjm), Vy(m>} , сходятся к той же самой величине. Определим стохастический интеграл (6 ), как предел в среднем1)*
аппроксимирующих сумм
(15) S = 2 f t ( ^ ) [ C ( ^ ) - C ( V . ) ] -
/= 1
Заметим, что сумма является линейной комбинацией некоррели рованных случайных величин. Математическое ожидание аппрок симирующей суммы (15) равно нулю, а дисперсия равна
(16) gK; л(ь;мс(я/)-с (х /_,)]Г = 2 к2(к'/)1Н(%,)-Н(хм %
i/=i |
j |
/=1 |
Н апомним, что так автор назы вает сходимость в среднеквадратичном,
— П рим , р е д .
7.4. |
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА |
431 |
7.4.2.Спектральное представление
Пусть С (к) |
и S (А,) — некоррелированные случайные процессы |
|||||||
с непрерывным параметром А, 0 <. А < |
я, |
и |
некоррелированными |
|||||
приращениями. Предположим, что ЛС (А) = |
%S (А) = 0 |
и |
|
|||||
(22) |
g [С(А2) - |
С (А,)] 2 = g [S (Аа) - |
S (Ах) |2 = |
G(А2) - |
G(Ах), |
|||
|
|
|
|
|
|
О |
Ах |
А2 ^ я |
для некоторой монотонно неубывающей функции G (А). Определим |
||||||||
процесс {yt}, как |
|
|
|
|
|
|
||
(23) |
у, = j cos ШС (А) + J sin XtdS (A), |
t = |
, - |
1, 0 , |
1, |
|||
Согласно разд. 7.4.1, %yt = 0 и |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я |
Я |
|
|
|
|
|
(24) |
g ytys — j* cos At cos AsdG (A) + |
j* sin Xt sin AsdG (A) |
|
|||||
=j cos A (t'— s) dG (A),
о
Таким образом, G (А) является |
спектральной функцией (на [0, я)) |
|
процесса, определенного формулой (23). |
{у)}, стационарный, |
|
Обратно, пусть дан случайный процесс |
||
в широком смысле с функцией |
распределения |
G* (А) (на [0, я}). |
Мы можем построить два некоррелированных процесса с некорре
лированными приращениями С* (А) и S* (А), таких, |
что (</<} |
мо |
||
жет быть представлен как интеграл (23) и |
|
|
||
(25) |
g [С* (А2) - С* (Ах)]2 = |
g [S* (А2) - S* (Ах)]2 = |
|
|
|
= |
G*(А2) - G*(Ах), 0 ^ |
Ах < А2 |
я.. |
Эти процессы по существу являются пределами интегралов пре
образований 2 у] cos Xt и 2 у) sin Xt. Исходя из наблюдений у*-т, ... |
||||||
|
t |
|
t |
|
|
|
..., |
у*о, ..., Ут, имеем |
|
т |
|
|
|
(26) |
Cf (v) — -jj- |
yt cos vt, |
0 0 < я , |
|||
2 |
||||||
|
|
|
t — ~ T |
|
|
|
(27) |
Sr(v) = |
-i- |
T |
yt sin v/, |
0 < . у < я, |
|
2 |
||||||
|
|
|
t=*—T |
|
|
|
(28) |
C T (A) = |
f cT (V) d\ = 2J |
|
|||
|
|
* |
|
Г |
|
|