книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Система (3.2.1), как и (3.1.1), замыкается после присоединения к ней

и универсальных определяющих соотношений (3.1.3), (3.1.4), которые для тензора Пиолы — Кирхгофа имеют вид

Система (3.2.1)—(3.2.3) содержит 16 скалярных неизвестных (плотность р

из 16 скалярных уравнений (после подстановки (3.2.2) и (3.2.3) в (3.2.1)). Эту систему называют 6 U VF -системой уравнений термоупругости в ма­ териальном описании.

Для твердых сред чаще отдают предпочтение именно этой системе, по­

скольку ее область определения для искомых функций (3.2.5) известна —

о

это V х [0,£тах]. Исключение составляют задачи с фазовыми превращениями,

в которых V изменяется со временем и определяется в процессе решения. Однако и в этом случае система (3.2.1)—(3.2.3) чаще является более предпо­ чтительной, чем соответствующая система (3.1.1)—(3.1.6) в пространственном

описании. ( ,

( п )

Замечание 3.2.1. Хотя в определении (3.2.4) тензорной функции T°G присут­ ствует F -1, она, тем не менее, может быть представлена в виде зависимости от аргумента F. Для этого следует использовать представление F -1 в соб­

РА 0

Аа)

Вид тензоров 1 ^ совпадает с (3.1.9в). Тензоры 4Е£) называют лагранжевыми тензорами энергетической эквивалентности, они связывают тензор

Отметим, что в систему уравнений (3.2.1) входит тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа Р; однако поскольку для заключительного (после реше­ ния системы (3.2.1) с граничными и начальными условиями) анализа поля напряжений в упругом теле обычно нужно знать тензор напряжений Коши Т, в материальном описании, кроме определяющих соотношений (3.2.6), исполь­ зуют также и соотношения (3.1.4).

Замечание 3.2.2. Достаточно сложный и, вообще говоря, не имеющий анали­ тического выражения вид тензорной функции (3.2.6) значительно упрощается для двух исключительных моделей Ау и By, поскольку

— тензорную функцию, имеющую явное аналитическое представление.

V V

Проведя в (3.2.10) замену С —►G, находим тензорную функцию F°B( ¥ ,6 ) для модели By.

Вычислять собственные базисы и собственные значения для моделей Ау и By при построении функций (3.2.10) не требуется. Указанные преимущества выделяют модели Ау и By среди других при использовании материального описания (также, как и модели А\ и В\ в пространственном описании (см. за­ мечание 3.1.3 в § 3.1)). Эти модели наиболее широко используют на практике при численном решении задач теории упругости с конечными деформациями.

Следующими по уровню сложности в материальном описании являются модели А\ и В\. Так, определяющие соотношения (3.2.10) в модели А\ заме­ няют выражениями

В этой модели, хотя можно и не вычислять собственные значения и соб­ ственные векторы, однако дополнительно по сравнению с моделями Ау и By, требуется обращать тензор F -1.

Наиболее сложными для численной реализации, как и в пространственном описании, являются модели Ац, В\\ и А\у и В\у. □

Уравнение баланса энтропии в системе (3.2.1) можно преобразовать по­ добно тому, как это было сделано в п. 3.1.1, используя при этом основное термодинамическое тождество в материальном описании (т. 2, (3.3.19)):

Дифференцируя это тождество по в, а затем используя второе соотношение в (3.2.2), получаем выражение для скорости изменения плотности энтропии в материальном описании:

Подставляя (3.2.2), (3.2.3) и (3.2.13) в уравнение баланса энтропии в си­ стеме (3.2.1), получаем искомое уравнение теплопроводности упругой среды

где теплоемкость се определяется по (3.1.11а). Здесь учтено, что из (3.2.6) следует выражение для производной по в:

3.2.2. 0U V - и 0U -системы уравнений термоупругости в материальном описании

Возвращаясь к общей системе (3.2.1)—(3.2.3), следует отметить, что гра­ диент деформации F можно исключить из этой системы с помощью соотно­ шения (т. 2, (1.2.10))

284 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

состоящую из семи уравнений относительно семи скалярных неизвестных:

Плотность р явным образом не входит в эту систему и всегда может быть вычислена из уравнения неразрывности (3.1.17):

Поскольку в материальном описании скорость v связана с вектором пере­ мещений и явным кинематическим соотношением, то можно исключить ско­ рость v из числа неизвестных, в результате получим OU-систему уравнений термоупругости в материальном описании:

В частности, для исключительной модели Ау 07/-система (3.2.19) с учетом