книги / Прочность и колебания элементов конструкций

§35. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ 641

сительно о0 или aw, найдем допускаемые постоянную и переменную составляющие напряжения для данного их отношения:

При пространственном напряженном состоянии и переменном нагружении для пластичных материалов можно применить теорию максимальных касательных напряжений г).

Если нагрузка изменяется между двумя равными пределами противоположных знаков, то для назначения прочных размеров бу­ дем иметь следующую формулу:

Для других отношений между пределами переменной нагрузки можно составить уравнения, аналогичные уравнениям (119). Если обозначить через <г1ш и <х3ш переменные составляющие, а через <r0i

где при вычислении о1ш и a3w нужно принять во внимание концент­ рацию напряжений.

Случается, что при переменной нагрузке меняется не только ве­ личина, но и направление главных напряжений. В этом случае, прежде чем применить уравнение (122), нужно определить положе­ ние самых неблагоприятных плоскостей, в которых действуют наи­ большие касательные напряжения и пределы, между которыми они меняются. Например, случай, изображенный на рис. 40, имеет ме­ сто, если к переменному изгибающему моменту добавить постоян­ ный крутящий момент.

in compound stress and endurance under repetition of stress. Engineering, 1911,

213; S t a n t o n T. E., B a t s o n G. G. On the fatigue resistance of mild steel under various conditions of stress distribution. Engineering, 1916, vol. 102. Septem­ ber 15, № 2646, pp. 269—270; О n о A. X-ray examinat of inner structure of strained metals. Part 1. Chriefly on copper wires. Memoires of the College of Engineering Kyu­

vol. 122, № 3162, August 20, pp. 242—245. Допускаемые напряжения при перемен­

Для at= + a положение плоскости тп максимальных касатель­ ных напряжений определяется уравнением tg 20=а/2т. Действую­ щее в этой плоскости максимальное касательное напряжение

равно

методом, указанным на рис. 39, и теорией максимальных каса­

Отсюда для назначения прочных размеров найдем следующие формулы:

При этом следует иметь в виду, что для вычисления а необходимо принимать во внимание концентрацию напряжений. Иногда для случаев совместного действия изгиба и кручения при переменной нагрузке пользуются уравнением (37), выведенным в § 9 в предпо­ ложении постоянной нагрузки. В этом случае изменение изгибаю­ щего момента можно учесть следующим образом: вместо изгибаю­ щего момента М подставляют в уравнение величину кМ, где к — отношение допускаемых напряжений для статического нагружения и случая перемены знака; если не производится особого исследова­ ния концентрации напряжений, то к обыкновенно приравнивают двум. Тогда уравнение для назначения прочных размеров вала

§ 35. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ 643

принимает вид

В изложенном выше исследовании допускаемые напряжения оп­ ределялись из рассмотрения самих напряжений. Бывают случаи, при рассмотрении которых необходимо принимать во внимание мак­ симальную деформацию или упругую устойчивость частей машин. Этот случай рассмотрен в нашей статье «Вопросы упругой устой­ чивости» *).

^ T i m o s h e n k o S. Stabilitatsprobleme der Elastizitat. In: Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik. Bd. 4, Lieferung 1, Leipzig, J . A. Barth, 1929, SS. 81— 145. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Вопросы устойчивости упругих систем. Л ., Кубуч, 1935, 119 стр. Перепечатка: Т и м о ­ ш е н к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., изд-во «Наука», 1971, стр. 553—643.]

Д. И. ЖУРАВСКИЙ И ЕГО ВКЛАД В ТЕОРИЮ СООРУЖЕНИЙ

D . I. Jouraw ski and h is contribution to theory of structures. Federhofer— G irkm ann—

Д. И. Журавский (1821—1891 гг.) закончил Институт инженеров путей сообщения в С.-Петербурге в 1842 г. Этот институт, основан­ ный в 1809 г., был организован в сотрудничестве с французскими инженерами, и его программа была подобна французской школе мостов и дорог в Париже. Такое сотрудничество оказало большое влияние на развитие науки о сопротивлении материалов и теории сооружений в России. Первыми профессорами этого института были французские инженеры. С 1820 по 1830 г. профессорами по меха­ нике в ней были Г. Ламэ и Б. Клапейрон. В это время эти ученые опубликовали свой известный труд «Внутреннее равновесие сплош­ ных однородных тел» 1), который оказал большое влияние на раз­ витие теории упругости. В связи со строительством собора Святого Исакия в С.-Петербурге они создали свою теорию арок и провели обширное экспериментальное исследование механических свойств русского железа, которое использовалось для висячих мостов 2) в этом городе. Во времена Д. И. Журавского (1838—1842 гг.) в Институте не было французских профессоров и преподавание было сосредоточено в руках русских. Математику преподавал М. В. Ост­ роградский, хорошо известный математик 3) и выдающийся профес­ сор. В своих лекциях он обычно шел далеко за пределы требований программы и, несомненно, Д. И. Журавский имел возможность по-

С. Пуассона и Фурье — в основном известен своей работой по вариационному ис­

tory of the progress of the calculus of variations dining the nineteenth century. MacMillan and Co., London, 1861).

M. В. Остроградскнй работал также в области механики и опубликовал важ­ ные статьи по баллистике, гидродинамике и теории упругости. Его работа по тео­ рии упругости обсуждалась в томе I «Истории теории упругости» И. Тодхантера и К- Пирсона [ T o d h u n t e r I., P e a r s o n К. A history of the theory of elasti­ city and of the strength of materials. From Galilei to the present time. Cambridge, University Press, vol. 1. Galilei to Saint-Venant, 1639—1850, 1886, pp. 404—407.]

лучить очень хорошую математическую подготовку. Упругие свой­ ства материалов Д. И. Журавский изучал под руководством А. Т. Купфера, который особенно интересовался экспериментальным оп­ ределением упругих констант различных материалов и написал выдающуюся в этой области работу г).

Карьера Д. И. Журавского после получения образования была тесно связана с развитием железнодорожного строительства в Рос­ сии. Первые русские железные дороги были предложены в 1838 г. Это были две короткие линии, Петербург—Царское Село и Петер­ бург—Петергоф, в строительстве которых принимал участие из­ вестный австрийский инженер Франц Герстнер. В 1842 г. началось строительство железной дороги между Петербургом и Москвой. Сразу же после окончания института Д. И. Журавский был направ­ лен на эту важную работу. Его выдающиеся способности вскоре бы­ ли замечены, и в 1844 г. он получил задание по проектированию и строительству одного из важнейших сооружений на линии моста через реку Веребье (девять пролетов длиной каждый 54 ж с проез­ жей частью, возвышавшейся на 51 м над поверхностью воды).

В условиях России наиболее экономичными были деревянные мосты и для Веребье был выбран мост типа Гау, который применял­ ся в течение нескольких лет при строительстве американских желез­ ных дорог. Однако в это время не существовало какой-либо тео­ рии анализа ферм *), и Д. И. Журавский должен был не только кон­ струировать мост, но также найти метод расчета напряжений в его элементах. Д. И. Журавский преуспел в этой работе и дал общий метод анализа ферм с параллельными поясами.

Рассматривая-ферму (показанную на рис. 1, а) Д. И. Журав­ ский замечает, что тип связи в системе Гау такой, что диагонали мо­ гут работать только на сжатие, и в случае равномерно распределен­ ной нагрузки будут работать только элементы, показанные сплош-

^ И . Т о д х а н т е р и К - П и р с о н в своей «Истории» (см. том 1, стр. 750) делают следующее замечание относительно работы А. Т. Купфера: «Вероятно, нет более исчерпывающих и тщательных экспериментов, чем те, которые выполнены А. Т. Купфером по определению вибрационных постоянных упругости и темпера­ турного эффекта». За свой мемуар в 1852 г. А. Т. Купфер получил премию в Коро­ левском научном обществе в Геттингене.

*) Первые расчеты напряжений в фермах были опубликованы С. У и п п л о м в его книге «Описание конструкций моста». ( W h i p p l e S. Bridge-building, New* York, Utica, 1869, 250 p.; первое издание этой книги вышло очень небольшим тиражом в несколько десятков экземпляров в 1847 г.: An essay on bridge building, Utica.) По-видимому, вначале работа С. Уиппла осталась незамеченной инженера­ ми, и Г. Хаупт в предисловии к своей книге «Общая теория конструкций моста» в 1851 г. утверждает, что когда его внимание впервые было обращено на предмет наиболее рационального выбора размеров моста, он столкнулся с невозможностью получить сколько-нибудь удовлетворительную информацию как от инженеров и строителей, так и из книг. [Н a u р t Н. General theory of bridge construction: con­ taining demonstrations of the principles of the art and their application to practice. New York, D. Appleton and company, Philadelphia, G. S. Appleton, 1851, 268 p.j

646 Д- и. ЖУРАВСКИЙ И ЕГО ВКЛАД В ТЕОРИЮ СООРУЖЕНИЙ

ними линиями. Таким образом, получается статически определимая система. Анализируя ферму и исходя из ее симметрии, Д. И. Журав­ ский делает вывод, что нагрузка будет поровну распределена менаду двумя опорами, и можно допустить, что нагрузки, приходящиеся на левую половину пролета, вместе с половиной нагрузки, прило­ женной в середине его, передаются на левую опору, а остальные на­ грузки — на правую опору. Отправляясь от верхнего центрального

поясе будет действовать горизонтальное усилие 3/2 Р tg а. Посту­ пая точно таким же образом с узлами 3, 4, .... Д. И. Журавский

диагоналях возрастают от середины пролета к опорам. В то же самое время усилия в поясах наибольшие в середине пролета и умень­ шаются к опорам.

В случае несимметричного нагружения, как показано на рис. 1, Ь, Д. И. Журавский начинает с определения диагоналей, кото­ рые будут участвовать в работе. Зная опорные реакции, он заклю­ чает, что первые две нагрузки слева будут передаваться на левую опору и рабочими диагоналями будут те, которые на рисунке отме­ чены сплошными линиями. Отправляясь далее от узла О и поступая, как прежде, можно легко определить усилия во всех элементах фермы. С помощью этого метода Д. И. Журавский нашел наиболее неблагоприятное распределение нагрузки для каждого элемента моста и вычислил соответствующие максимальные усилия, кото­ рые должны приниматься во внимание при выборе для этих элемен­ тов необходимых размеров поперечного сечения. Д. И. Журавский сделал модель моста, в которой вертикальные болтовые стяжки бы-

ли из струн. Высота тона струн при нагружении модели давала ему величины возникающих растягивающих усилий.

В действительности задача определения усилий в элементах фермы Гау более сложна, так как при затяжке болтовых стяжек в системе обычно возникают значительные начальные напряжения, которыми невозможно пренебречь при исследовании напряжения.

Q начальное сжатие в диагонали ас уменьшится, в то время как в ди­ агонали bd оно увеличится. Наиболее благоприятное влияние на­ чальной затяжки болтовой стяжки в некоторой панели моста до­ стигается в том случае, когда под действием максимальной перере­ зывающей силы Q в этой панели в диагонали, такой, как ас на рис. 2, Ь, будет оставаться только небольшое сжимающее усилие, необ­ ходимое для удержания диагонали на своем месте. В таком случае полная величина сдвигающей силы Q будет передаваться второй диагональю и максимальные усилия в болтовых стяжках и диаго­ налях будут иметь те же самые значения, что и полученные ранее из анализа рис. 1.

Всвоем дальнейшем исследовании Д. И. Журавский рассмат­ ривает также более сложные системы, подобные изображенной на рис. 3, а, и предлагает вычислять усилия в их элементах путем нало­ жения усилий, которые можно найти для двух простых ферм, по­ казанных на рис. 3, & и 3, с.

Взаключение Д. И. Журавский рассматривает фермы на трех опорах и дает метод расчета напряжений в них для случая равно­ мерно распределенной нагрузки (рис. 4). Чтобы воспользоваться

ранее разработанным методом анализа, Д. И. Журавскому необхо-

х) Такие приемы расчета практиковались некоторыми инженерами много лет спустя после Д. И. Журавского. См., например, книгу Г. Ребхана: R e b h a n n G . Theorie der Holzund Eisen-Constructionen mit besonderer Riicksicht auf das Bauwesen. Hohere Ingenieur-Wissenschaften, Wien, Verlag und Druck von Carl Yerold’s Sohn, 1856, 602 S.

6 5 0 Д - И. ЖУРАВСКИЙ И ЕГО ВКЛАД В ТЕОРИЮ СООРУЖЕНИЙ

чительно сократить на основании того факта, что поперечная сила, действующая в трубе, уменьшается от опор к середине пролета и, следовательно, шаг заклепок в средней части трубы можно увели­ чить без уменьшения прочности балки.

Следующей важной задачей, изученной Д. И. Журавским, была задача упругой устойчивости тонких вертикальных стенок трубча­ тых мостов. Эксперименты Итона Ходкинсона и Уиллима Фейрбейрна с моделями трубчатых мостов показали, что при размерах, которые выбирались для мостов «Конуэй» и «Британия», вопросы упругой устойчивости имеют значение. Чтобы обеспечить необхо­ димую устойчивость, в эти мосты были введены вертикальные реб­ ра. Количество материала, используемого для этих ребер жестко­ сти, было таким же, как и количество материала для стенок. Д. И. Журавский начинает свое исследование с рассмотрения ре­ шетчатых ферм и правильно заключает, что выпучивание стенок вы­ зывается максимальным сжимающим напряжением, действующим в стенках под углом 45° к горизонтали, и рекомендует располагать реб­ ра жесткости в направлении максимальных сжимающих напряже­ ний. Для того чтобы доказать справедливость своей точки зрения, он сделал несколько очень интересных экспериментов с моделями, которые выполнялись из толстой бумаги, подкрепленной картон­ ными ребрами жесткости. При выборе этих материалов он приводит интересное обсуждение английских экспериментов. Д. И. Журав­ ский считает неправильным судить о прочности конструкции на основании величины предельной нагрузки, поскольку при нагрузке, достигающей этого предельного значения, напряженные состояния в элементах конструкции могут отличаться от тех, которые имеют место в нормальных рабочих условиях. Он рекомендует произво­ дить испытания моделей при обстоятельствах, соответствующих условиям эксплуатации сооружений, и предлагает использовать для моделей материал с небольшим модулем упругости, с тем, чтобы деформации до предела упругости были бы достаточно большими и потому легко доступными для измерения. Используя свои бумаж­ ные модели, Д. И. Журавский имел возможность измерять дефор­ мации стенки и доказал, что наибольшее сжатие возникает под уг­ лом 45° к вертикали. Он имел возможность изучать также направле­ ние волн, которые образовались в процессе выпучивания стенок. Сравнивая эффективность усилений, он нашел, что модель с наклон­ ными ребрами жесткости могла бы нести на 70% нагрузки больше, чем модуль с вертикальными ребрами. В то же время площадь по­ перечного сечения наклонных ребер оказывается в два раза меньше, чем у вертикальных ребер.

Из этого краткого обсуждения можно видеть, что Д. И. Журав­ ским сто лет тому назад была сделана очень важная работа по тео­ рии сооружений. Он развил метод анализа ферм системы Гау, показал, как могут быть вычислены касательные напряжения, и ис­