книги / Прочность и колебания элементов конструкций

С. П. Тимошенко а) обсудил особенности в распределении напря­ жений вблизи точек приложения сосредоточенных сил (табл. 10).

Рассматривая круговое кольцо, находящееся под действием двух равных сжимающих его сил (рис. 26), можно найти точное ре­ шение задачи, комбинируя решение для кругового диска, находя­ щегося под действием двух сжимающих сил, с решением для круго­ вого кольца, к внутреннему контуру которого приложены нормаль­ ные и касательные силы. Результаты расчетов кольцевых напряже­ ний, исполненных для случая ri= 2 г0 в поперечных сечениях тп и т ^и получаются в виде следующей формулы:

Численные значения коэффициентов п для шести равноотстоящих друг от друга точек даны в табл. 10.

Для сравнения в табл. 10 даны также результаты, полученные на основании формул (74) и (75) и теории Л. Навье. Мы видим, что для поперечного сечения тп, находящегося на значительном расстоя­ нии от точки приложения силы, теория Е. Винклера — Г. Резаля дает вполне удовлетворительные результаты. Разница между точ­ ными и приближенными значениями наибольшего напряжения со­ ставляет только 3%. Для поперечного сечения тхпх соответствие между точными и приближенными значениями не так близко, раз­ ница между максимальными напряжениями по точной и прибли­ женной теориям уже до 10%; однако, согласно приближенной тео­ рии, получаются завышенные результаты1). Интересно заметить,

1)К - В и г х а р д т в цитированной в сноскеа) на стр. 610 работе приходит

кдругому выводу. Но он сравнивает точные величины напряжений с величинами, выведенными из формулы Л. Навье. Эту формулу не следовало бы применять в рас­ смотренном здесь случае. К- Вигхардт сравнивает изгибающие моменты в попереч­ ном сечении т ^ , какими они получаются по точной и приближенной теории, но

что сумма напряжений at, распределенных по поперечному сече­ нию rtiiHu не обращается в нуль, а имеет величину P/я. Этот резуль­ тат становится ясным, если учесть, что влияние сосредоточенной силы, приложенной к какой-либо точке, эквивалентно вертикаль­ ной силе Р и двум равным противоположным горизонтальным си­ лам Р/п. Необходимо упомянуть еще о случае изгиба кольцеобраз­ ных тел, исследованном Джоном Мичеллом х).

Все эти точные решения показывают, что приближенная теория Е. Винклера — Г. Резаля дает удовлетворительные результаты для всех поперечных сечений, далеко расположенных от концов и точек приложения сил. Затруднения в исследовании напряжений в стержнях большой кривизны происходят от двух причин: во-пер­ вых, длина центральной кривой линии стержня обычно бывает вели­ чиной того же порядка, что и размеры поперечного сечения стерж­ ня, поэтому распределение напряжений в каждом поперечном сече­ нии бруса зависит от деформаций, имеющих место около точек при­ ложения сил; во-вторых, потому, что распределение приложенных сил нам с достаточной точностью неизвестно и иногда зависит от деформаций, как, например, в звеньях цепей, проушинах и голов­ ках шатунов.

§ 16. Опыты со стержнями большой кривизны

Для выяснения возможности применения приближенной теории определения напряжений в кривых стержнях было произведено не­ мало опытов. Прежде всего следует упомянуть о работах К. Баха 2), который применил на практике теорию Е. Винклера — Г. Резаля. Далее Г. Гудноф и Л. Мур *) провели целый ряд испытаний над кольцеобразными телами. При этих опытах, равно как и при опы­ тах Р. Майера *), были произведены непосредственные измерения

для этого поперечного сечения величина изгибающего момента не характерна для принятого распределения напряжений, и необходим более подробный анализ рас­ пределения напряжений.

*) М i с h е 11 J. Н. The uniform torsion and flexure of incomplete tores, with application to helical springs. Proceedings of the London Mathematical Society, 1900 [1899, April 131, vol. 31, pp. 130-146.

a) В a c h C. Elastizitat und Festigkeit. Die fur die Technik wichtigsten Satze und deren erfahrungsmassige Grundlage. 3 Auflage. Berlin, J. Springer, 1898, 570 S. CM . SS. 221—225. [Перевод на русский язык: Б а х К- Упругость и крепость мате­ риалов. Перевод с . немецкого просмотрен проф. Императорского техучилища П. К- Худяковым, в 2-х частях. Москва, изд. Н. Г. Звержановского, 1894, 260 стр.

№18, 73 p.

4)M a у e r R. Versuche fiber die ebene Biegung gekrfimmter Stabe. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1926, Bd. 6, Heft 3, SS. 216—224.

упругих деформаций для того, чтобы определить величину сил, при которых достигается предел пропорциональности. Зная предел те­ кучести материала, можно определить максимальное напряжение в самой опасной точке поперечного сечения, что позволяет оценить точность, даваемую различными приближенными теориями. Хотя эти опыты хорошо согласуются с

опытов важно точно определить силу, для которой пропорциональ­ ность больше не существует. Более достоверные результаты получил М. Воропаев х), который для определения начала явления текучести при испытании колец применил метод исследования линий Людерса *). При помощи этого метода он сумел показать, что в случаях, изо­ браженных на рис. 27, где втулка плотно прилегает к стенкам отвер­ стия, начало текучести можно предсказать с достаточной точностью, если для расчета в поперечном сечении тп максимальных напряже­ ний применить известную формулу Ламэ для расчета напряжений в толстых круговых цилиндрах от равномерного радиального дав­ ления.

Для определения распределения напряжений в поперечном се­ чении кривых стержней Е. Прейсс *3) и А. Уинслоу *) произвели не­ посредственные измерения удлинений в окружном и радиальном

х) В о р о п а е в М. К вопросу об определении напряжений и деформаций в «брусьях большой кривизны». Известия Киевского политехнического института, отдел инж.-мех., 1910, год 10, книга 1, стр. 51—127.

*) L 0 d е г s W. Ober die Auberung der Elast izitat stahlartigen Eisenstaben und Stahlstaben, und fiber eine beim Biegen Solcher Stabe beobachtete Molekularbewegung. Dinglers polytechnisches Journal, 1860, Bd. 155, Heft 1, SS. 18—22.

3)P г e u s s E. Versuche fiber die Spannungsverteilung in Kranhaken. Zeit-

направлениях. Более полная проверка теории была произведена при помощи оптического метода. С помощью этого способа О. Гёнигсбергер *) показал, что нейтральная ось смещается по направлению к центру кривизны. И. Ауэ23) исследовал распределение напряжения по поперечному сечению кривого стержня и нашел близкое соответ­ ствие результатов опыта с точной теорией. Э. Кокер *) произвел много исследований распределения напряжений в кривых стержнях, важных для практического применения. А. Фёппль 4*6) и Американ­ ское бюро стандартов Б) произвели опыты над крюками. Все эти опыты показывают, что приближенная теория Е. Винклера — Г. Резаля определяет напряжения в кривых стержнях с достаточной для практики точностью.

§17. Изгиб кривых труб

Опыты с упругими трубчатыми компенсаторами ®) показали, что кривые части труб гораздо менее жестки, чем это следует из уравне­ ний (59) или (70). Т. Карман 7) дал объяснение этому явлению. Он заметил, что при изгибе кривые трубы круглого поперечного сечения, кроме того, еще и сплющиваются. Для того чтобы оценить влияние этого сплющивания, необходимо жесткость изгиба EJ заменить меньшей величиной kE J, где k — коэффициент, меньший единицы, зависящий от толщины трубы t, от радиуса центральной оси трубы R и радиуса поперечного сечения трубы г. Приближенная формула

J) H o n i n g s b e r g e r О. Einrichtung fur Versuche an beanspruchten durchsichtigen Korpern in plarisierten Licht. Zeitschrift des Osterreichischen Ingenieurund Architekten-Vereines, 1906, Jahrgang 58, № 35, SS. 489—495.

•) A u e J. См. его работу, упомянутую в сноске1) на стр. 610.

4) F 5 p p 1 A. Festigkeit und Abniitzbarkeit von Harbsteinen, SS. 3— 19, If, Festigkeitsversuche mit Eisenbahnwagen-Kuppelungen, SS. 20—36, III. Ober die Biegungsfestigkeit gekriimmter Stabe, SS. 36—43. Mitteilungen aus dem Mechanisch-

Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1910, Bd. 54, № 2, SS. 43—49. [Пере­ печатка! Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1910, Heft 96, 84 S.]

7) К a r m a n Th. Ober die Formanderung dfinnwandiger Rohre, insbesondere federnder Ausgleichrohre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1911, Bd. 55, № 45, SS. 1889—1895. ГПерепечатка: К a r m a n Th. Collected works. Vol. 1. London, Butterworths Scientific Publications, 1956, pp. 304—320.]

для вычисления коэффициента k имеет следующий вид:

10+12 №

При уменьшении tR/r* уменьшается и величина коэффициента k. Сплющивание поперечного сечения трубы влияет и на распределе­ ние напряжений. Для их вычисления мы имеем следующую прибли­ женную формулу:

(77)

где у — расстояние волокна от диаметра поперечного сечения, пер­ пендикулярного к центральной оси; р — новая постоянная, которую можно определить приближенно из следующего уравнения:

Из уравнения (77) следует, что наибольшие напряжения имеют мес­ то не в самом отдаленном волокне, а в том, расстояние которого от

нейтральной оси равно г^ Щ . Величина наибольшего напряже­ ния составляет

где d — внешний диаметр трубы, а

2

3 k]/з р '

Мы видим, что для небольших значений tR/r2 действительное наи­ большее напряжение значительно более рассчитанного по обычной теории, в которой влияние сплющивания не учитывается. Анало­ гичную теорию можно развить и для прямоугольного поперечного сечения х). Для тонких труб с квадратным поперечным сечением коэффициент k, учитывающий уменьшение жесткости изгиба, опре­ деляется следующим выражением:

4 9 , 2 + 1 , 3 3

где t — толщина стенок трубы; R — радиус центральной оси; Ь — длина стороны поперечного сечения. Например, для b/R—0,1 и 6//=50 имеем &=0,51, т. е. наибольшее напряжение и наибольший прогиб будут примерно вдвое больше, чем определенные по обыч­ ной теории кривых стержней. Приведенная выше теория с доста­ точной точностью подтверждается опытами А. Бантлина1*), В. Ховгарда *) и А. Уола *).

§ 1 8 . Изгиб кругового кольца из его плоскости

Общая теория малых деформаций стержней с начальной кривиз­ ной разработана Б.Сен-Венаном 4*), Дж. Мичеллом 6) и А. Лявом и). Ф. Энгессер 7), Г. М аркус8) и Ф. Шлейхер •) разработали числен­ ные методы определения деформаций. Здесь мы рассмотрим простей­ ший случай стержня с плоской центральной линией, у которого главная ось поперечного сечения лежит в плоскости кривизны стерж­ ня. Рассмотрим какое-либо поперечное сечение стержня. Выберем координатные оси х, у и г таким образом, чтобы ось z была касательна к центральной линии, а оси х и у совпадали с главными осями инерции поперечного сечения. Тогда плоскость хг совпадает с плос­ костью центральной линии бруса; положительное направление оси

*) В a n t 1 i п А. См. стр. 180 его работы, упомянутой в сноске •) на стр. 614.

of the American Society of Mechanical Engineeres, 1927— 1928, vol. 49—50, part 1, № ESP-50-49, pp. 241—255, discussion: pp. 255—262.

4) S a i n t V e n a n t B. Memoire sur le calcul de la resistance et de la flexion des pieces solides a simple ou a double courbure, en prenant simul tenement en consi­ deration les divers efforts auxquels elles peuvent etre soumises dans tous les sens. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1843, tome 17, 2 semestre, № 18, 30 Octobre, pp. 942—954; № 19, 6 Novembre, pp. 1020— 1031.

б) M i c h e 1 1 J . H. The small deformation of curves and surfaces with applica­ tion to the vibrations of a helix and a circular ring. The Messenger of Mathematics, 1890, vol. 19, pp. 68—82.

') L o v e A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4 ed. Cambridge, University Press, 1927, 642 p. CM. p. 444. [Перевод на русский язык: Л я в А. Математическая теория упругости М.— Л ., ОНТИ НКТП СССР, 1935, 674 р. См. стр. 463.]

‘) E n g e s s e r F. Der elastische stabformige Trager von beliebiger Gestaltung. Zeitschrift fiir Bauwesen, 1940, Jahrgang 70, Heft 1 bis 3, SS. 186—195. CM. p. 192.

8)M a r c u s H. Die elastische Linie des doppelt gekrummten Tragers. Zeitsch­

rift fiir Bauwesen, 1919, Jahrgang 69, Heft 1—3, SS. 163— 180; M a r c u s H. Abriss einer allgemeinen Theorie des eingespannten Tragers mit raumlich gewundener Mit-

angewandte Mathematik und Mechanik, 1924, Bd. 4, Heft 6, SS. 475—485. См. также M i s e c R. Bemerkungzu dem Aufsaz fon her Schleicher iiber elastische formarderung Krummer Stabe. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1924, Bd. 4, Heft 6, SS. 486—487.

2 соответствует увеличению дуги центральной линии, считая от за­ деланного конца; положительное направление оси х имеет направ­ ление к центру кривизны стержня. Малые деформации при изгибе стержня вполне определяются составляющими и, v, w перемещений по осям х, у и z и углом поворота р рассматриваемого поперечного сечения вокруг оси г. Пусть 1/р0 — начальная кривизна централь­ ной линии; 1/р! и 1/ра — составляющие кривизны центральной оси в плоскостях хг и уг после деформации, q> — кривизна кручения.

Тогда

_1___1 , d ю . d2u

Изгибающие моменты Мх и М у и крутящий момент Мг получим из следующих уравнений:

М х = —Рр0sin (а —0),

М у= О,

Mz = Рр0[1—cos (а—0)].

Подставляя эти выражения в уравнения (79), получим

prismes h base rectangle et a base losange, et sur line petite correction numerique a faire subir, en general, aux moments de torsion. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1843, tome 17, 2 Semestre, № 21, 20 Novembre, pp. 1180—1190.

Из этого уравнения, а также из условия закрепления конца стерж­ ня при 0=0 найдем

v = [0—sin 0—sin a (1 —cos 0)] +

В случае нагрузки, распределенной по оси стержня, перпенди­ кулярной к его плоскости, будем иметь следующее дифференциаль­ ное уравнение для о 1):

(80)

где q — интенсивность распределенной нагрузки. Для полукруговой балконной балки с заделанными концами, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, из уравнений (79) и (80) получим следующие выражения для моментов:

Различные задачи этого рода были рассмотрены И. Штутцем2)

Г.Мюллер-Бреслау3) и Б. Каненбергом 4*).

Ф.Дюстербен6) исследовал случай полукругового стержня,

подпертого в 3—5 точках, и кольца, опертого в 3—6 точках.

Г.Унольд") исследовал кольцо двутаврового поперечного сечения,

укоторого сопротивление скручиванию зависит не только от его жесткости кручения, но и от жесткости изгиба его полок.

х) F e d e r h o f e r К- Berechnung des senkrecht zu seiner Ebene belasteten Bogentragers. Zeitschrift Шг Mathematik und Physik, 1914, Bd. 62, Heft 1, SS. 40—63.

2) S t u t z J. Zur Theorie der halbringformigen Balkontrager. Zeitschrift des osterreichischen Ingenieurund Architekten-Vereines, 1904, Jahrgang 56, № 49,

SS.682—689.

3)M i i ! l e r - B r e s l a u H. Die neueren Methoden der Festigkietslehre und

№ 3, SS. 73—80.

•) U n о 1 d G. Der Kreistrager. Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens,’ !922, Heft 255, 79 S.

§ 19. Пружины

Пружины применяются в машинах для ослабления действия ударов. Поэтому при проектировании пружин необходимо исходить из условий не только их прочности, но и из условия их работоспо­ собности, т. е. учитывать то количество работы, которое пружина может принять без перенапряжения материала1). Наипростейший случай пружины — призматический стержень, находящийся поддействием растягивающих или сжимающих сил. Его работоспособ­ ность на единицу объема равна ст£оп/2£. Для случая чистого сдвига (скручивание тонкой трубы) удельная работоспособность равна Тд0п/2^. Практически работоспособность пружин можно выразить одним из следующих выражений:

Здесь V — объем материала пружины; rj, T]I — коэффициенты, за­ висящие только от формы пружины и характеризующие степень ис­ пользования материала пружины. Для чистого изгиба призматичес­ кого стержня прямоугольного поперечного сечения, например, Л=1/3. Для стержня постоянного прямоугольного поперечного се­ чения с одним заделанным концом, нагруженным силой, приложен­ ной на свободном конце, 11= 1/9. Для цилиндрического вала кругово­ го поперечного сечения г]1=1/2.

§ 20. Листовые пружины

Теориютаких пружин разработал Е. Филлипс2). Он показал, что сложенные из отдельных полос пружины можно изготовлять из тре­ угольного листа, как то представлено на рис. 29. Пусть / — полови­ на длины пружины, q — ширина полосы, h — толщина отдельной полосы, п — количество полос. Прогиб пружины равен

*) P h i l l i p s E. Memoire sur les ressorts en acier employes dans le materiel des chemins de fer. Annales des mines, 1852, tome 1, pp. 195—336; см. также T o d - h u n t e r I., P e a r s o n K. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials. Vol. 2, part 1, Cambridge, University Press, 1893, 762 p. CM. p. 330.

Вводя постоянную пружины

Е. Филлипс, используя выражение (83), дал следующие форму­ лы для объема V материала пружины и ее высоты nh:

исследование распределения нагрузки между отдельными листами пружины и влияния на это распределение обточки листов.

des chemins de fer. Annales des mines, Serie 10, partie 1, 1905, tome 7, pp. 491—526; partie 2, 1905, tome 8, pp. 113— 147; partie 3, 1906, tome 9, pp. 448—514.

*) W i t z ifg K- Zur Berechnung von Tragfedern fur Eisenbahn-Fehrzeuge. Schweizerische Bauzeitung, 1918, Bd. 72, № 26, SS. 249—250.

*) T a n a k a Y. AllgemeineTheorie der Blattledern. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1922,’Bd. 2, Heft 1, SS. 26—34; см. также S a n d e r s

mines, serie 6, 1866, tome 10, pp. 423—457; 1867, tome 11, pp. 207—246 and Formu