книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf472 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
(/=0,1247/), мы получим (см. формулу (1) § 8)
h*
0,003312+ 0,00266 -jy
H =2qp |
/ |
/.а \ > |
|
0,007101 f 1 + |
10,11 - jf-j |
Л* |
Я=0,9084 |
ql. |
для 2j-= 0,01 будем иметь |
Момент посередине пролета
М= МЛ—Я/ = 0 ,1250(7/*—0,9084 -0,1247<7/* =
=(0,1250—0,1133) ql = 0,0117^/*.
Мы видим, что относительная ошибка в 1 % в величине распора дает в значении момента ошибку уже в 10%.
Для а =90° имеем
М = М0—Я/ = (0,1250 —0,1060) ql* = О.ШЭО?/*,
и следовательно, относительная ошибка в величине распора в 1% дает для момента ошибку приблизительно 6%.
В то время как распор может быть определен с большим при ближением, степень приближения в определении изгибающих мо ментов и соответствующих усилий стоит значительно ниже.
§ 12. Деформации двухшарнирной арки
Если распор арки найден, то задача о деформации ее оси без за труднения решается при помощи общих формул, определяющих де формацию кривого бруса (§§ 3 и 4). В наиболее встречающихся на практике случаях симметричной арки обыкновенно определяют перемещение ключевого сечения. На основании теоре мы о взаимности перемещений вместо искомого перемещения можно опреде лить вертикальное перемещение любой точки оси арки под действием верти кальной силы Р, приложенной посере дине ее пролета. Рассматривая только
Рис. 16. половину симметричной арки, мы при ходим к определению вертикального перемещения для случая, представленного на рис. 16. Общая фор
мула, определяющая вертикальные перемещения произвольной точки К, выражается следующим образом (формулы (21)):
Vk~ 1 ( ESP+ EFp ) |
* |
“ |
I { w + m ) Sin V d s - k ] ^ d s . (a) |
$ 12. ДЕФОРМАЦИИ ДВУХШАРНИРНОЙ АРКИ |
473 |
Величина перемещения зависит, как мы видим, от модуля упру гости Е, который известен нам только приближенно. Поэтому пол ное выражение (а) обычно не применяется, а перемещение опреде ляют приближенно с помощью выражения (а), ограничиваясь лишь основным его членом.
Таким образом, получаем |
|
|
о |
<*•-*> ds= ~ ] ё ш ц , < * • -* )dx• |
(b> |
о |
|
Этот результат вполне соответствует тому, который получился бы для изгиба призматического бруса жесткости E l cos ф, горизон тально заделанного в сечении С. Поэтому искомые перемещения могли бы быть получены графически при помощи построения соот ветствующей веревочной кривой.
Положив в формуле (Ь) х0 =1/2, мы находим перемещение точки А. Искомое вертикальное перемещение оси арки в точке К. под действием силы Р, приложенной в сечении ключа, очевидно,
равно |
|
б*= — f a — vk). |
(с) |
Применим полученные нами формулы к элементарному случаю параболической арки, сечение которой изменяется по закону I cos ф= / 0. Для случая, изображенного на рис. 16, момент М выра жается следующим образом:
Внося это выражение в формулу (Ь), получим
х% |
хф |
v* = — 2FT0j (Y ~ |
x) (xo— x ) d x + ^ ^ ( f ~ y ) ( x „ —x)dx. |
О |
о |
Искомое вертикальное перемещение, согласно формуле (с), равно
Для определения распора при произвольном положении груза Р мы имеем приближенную формулу (т) § 7
474 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
Полагая в ней х0—0, получим
25 |
PI |
1 |
№ |
— 128 |
f |
1 + Р ’ |
Эти две формулы позволяют нам переписать формулу (d) в еле' дующем виде:
< 4 7 >
Подставив в эту формулу величину х, которая определяет поло жение рассматриваемой точки К, и величину Я, полученную по формуле (е), мы найдем вертикальное перемещение точки К. под дей ствием груза Р, расположенного в ключе. Теорема о взаимности перемещений позволяет определить вертикальное перемещение ключевого сечения под действием груза Р, расположенного в точке К-
Перемещение ключа под действием силы Р, приложенной в са мом ключе, получается при подстановке в формулу (47) значений *0=0, Н —Н0. Тогда
PI3 |
3 + 128Р |
PI3 „ |
(48) |
|
_ 48128*£У0 * |
p |
— 48EJ0 т ' |
||
|
С помощью формулы (47) можно определить вертикальное пере мещение ключевого сечения под действием системы вертикальных сил и распределенной нагрузки.
Отметим, что определенные таким образом перемещения пред ставляют собой только грубые приближения. В действительности искомое перемещение получается в виде разницы двух выражений, согласно формуле (47), и влияние непринятых во внимание членов может быть значительно.
В тех случаях, когда требуется более точное значение для пере мещения и когда модуль упругости Е известен с большой точностью, следует применять полную формулу (а).
Примем ее для определенпя перемещения параболической арки, удовлетворяющей условиям I cos ф = /0; Е cos ср = F0.
Положив в выражении (а)
Р
N = -g- sin ср + Я 0 cos ср,
р
Q= 2-cos ср —Я0 sin ср
ипроизведя интегрирование, мы получим для вертикального
4 7 6 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
применять полную формулу для вычисления распора и числа таблиц I и II.
Из таблицы видно, что погрешности при применении прибли женной формулы увеличиваются по мере того, как уменьшается по логость и увеличивается толщина h арки.
Г Л А В А ш
АРКИ С ЗАДЕЛАННЫМИ ПЯТАМИ
§ 13. Выбор лишних неизвестных в случае симметричной арки
Для выбора лишних неизвестных в случае симметричной арки рассечем ее мысленно в сечении ключа С (рис. 17) и приложим к ле вой половине систему сил, заменяющую действие на нее правой части и состоящую из момента М с и двух сил Н с и Vc, приложенных к точ ке О, расположенной на расстоя нии с от центра сечения С. Эта точка предполагается связанной с левой частью арки посредством абсо лютно жесткого стержня ОС. Так же поступим и с правой полуаркой, прилагая к ней систему сил, заме няющую действие на нее левой от сеченной полуарки. Таким об разом, силы, действующие между
двумя полуарками, приводятся к двум противоположным парам сил М с, двум горизонтальным противоположно направленным силам Нс и двум вертикальным противоположно направленным силам Vc. Выберем эти три группы сил за три лишних неизвестных. Переме щение, вызываемое двумя парами М с, будет состоять в относитель ном повороте сечений С, ограничивающих полуарки. Перемещение, вызываемое горизонтальными силами Н с, представляет горизон тальное расхождение между точками О и, наконец, перемещение, вызываемое вертикальными силами Vc,— вертикальное расхожде ние между теми же точками О. Вследствие симметрии мы можем за ключить, что вертикальные силы Vc не могут произвести перемеще ний, соответствующих обобщенным силам М с и Н с. Сила Vc может быть, таким образом, определена независимо от двух других неиз вестных. Чтобы силы Н с и М с получились также независимыми од на от другой, надо соответственно выбрать расстояние с. Его, не сомненно, нужно выбрать таким образом, чтобы действие момента М е не вызывало горизонтального расхождения между точками О. Тогда силы Нс не вызовут относительного поворота сечений С. Пер вая и третья формулы (18) дают следующее выражение горизонталь-
§ 14. СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ АРКИ |
477 |
ного перемещения точки О при действии пары сил М с на левую по луарку:
j ^ c ^ c p d s |
+ j - ^ |
d s - c f ^ . |
(а) |
о |
о |
б |
|
Приравнивая это выражение нулю, получаем следующее выраже ние для расстояния с:
Если пренебречь влиянием изгибающего момента на сжатие оси арки и положить ESpa^EJ, то мы получим для с следующее прибли женное значение:
S S
Иногда выгодно перенести начало координат из точки С и О. Новые ординаты ух будут связаны со старыми равенствами у= ух-\-с. Выполним этот перенос и составим условие, по которому горизон тальное перемещение (а) будет равно нулю в новой системе коорди натных осей. Тогда получим
= |
(52) |
Оо
Установив выбор лишних неизвестных, попробуем найти их для некоторых частных случаев.
§14. Симметрично нагруженные арки
Вслучае симметричной нагрузки вертикальные силы Vc, оче видно, равны нулю. Чтобы определить силы Н с и М с, рассмотрим деформацию левой полуарки. Величину Н с мы найдем из того усло вия, что точка О не будет иметь горизонтального перемещения. Если момент М с не дает точке О горизонтального перемещения, то можно составить уравнение, введя в него лишь нагрузки, располо женные на левой полуарке, и силу Н с.
Пусть М 0, Nt и Q0 будут соответственно изгибающим моментом, нормальной силой и поперечной силой, вызванными в каком-либо произвольном сечении нагрузками, расположенными на левой
$15. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И СМЕЩЕНИЯ ОПОР 479
Выражение для и'с с учетом условия (52) получает вид
Уi d s |
cos* (рds |
. р sin*yds |
s |
9i cos y |
|
|
2I |
ds. (54') |
|||||
ESp |
EF |
J EF f |
EFp |
|||
|
|
0 |
|
|
Для определения распора арки необходимо полученные нами преобразованные выражения для и0 и и'0 подставить в общую фор мулу (55).
Чтобы составить уравнение, определяющее М е, рассмотрим вновь левую полуарку и воспользуемся тем обстоятельством, что в случае симметричной нагрузки сечение С не поворачивается, а так как поворот сечения С не зависит от силы Н с, то достаточно учесть лишь нагрузку, расположенную на левой полуарке, и пару сил М с.
Формула (17) дает выражение для поворота сечения под влияни ем нагрузок на полуарке:
S
Поворот этого же сечения под влиянием пары сил М с=1 |
имеет |
||
следующее выражение: |
|
|
|
|
S |
|
|
т |
ds |
(57) |
|
ESp * |
|||
|
|
||
Искомый момент мы получим из уравнения |
|
||
xe+ i'M e= 0, |
|
||
откуда |
|
|
|
Мс= - ^ ~ . |
(58) |
Хс
Заметим, что формулы (55) и (58) пригодны также и в том слу чае, когда нагрузка несимметрична по отношению к середине арки. Действительно, в симметричной арке распор или момент в ключе, вызванные любой нагрузкой, расположенной на левой полуарке, будут такими же, как и для симметричного расположения той же нагрузки на правой полуарке, и, следовательно, их величина будет равна половине той величины, которую мы. получим при симметрич ном загружении всей арки.
§ 15. Влияние изменений температуры и смещения опор
Чтобы определить усилия, вызванные равномерным нагревани ем арки на t0, мысленно сечением в ключе рассечем ее на две части и рассмотрим левую полуарку (рис. 17). При равномерном нагрева нии нс будет угловых перемещений. Если опора А остается совер