книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§ 2 6 . Л И Н И И В Л И Я Н И Я Д Л Я П А Р А Б О Л И Ч Е С К О Й А Р К И |
521 |
момент определится следующим равенством:
|
/а |
|
|
*о |
|
Л |
|
arctg |
|
|
р 2+ -г |
*о 1- |
(П4) |
|
|
4 |
|
||
4]arctg |
Р2 + хо |
|
аГС‘®' 2р |
|
|
|
|
||
Изгибающий момент в ключе получим из уравнения:
М= М —Нс.
Взаключение вычислим поперечную силу. Она определяется форму лой (66). Как первое приближение мы находим для входящих в нее величин значение
х(х— х0) ds
[<*11 = - J |
EJ |
( a r c t g ^ - a r c t g ^ - f in 7 ^ - ] •
'’ агс,е ^ Ь
откуда
|
/а |
|
l- - x , - p (arctg ^ - a r c t g |
In ^ + т |
|
[Ус]г = |
P *+ x l |
(115) |
|
||
l — 2p arctg |
2P |
|
Более точное значение получается при учете влияния продоль ной и поперечной сил. Тогда
я |
$ |
|
|
sin2 ф ds |
f* k cos2 ф d s _ |
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
PM 4 |
EJi T xo P ( afc t g |
a r c t g — j |
ln |
|
P*+*S |
|||
+ 1 ? [ T |
- Jco + ( ^ - ! ) p ( arctg |
2^— arctg y ) ] . |
|
[уе 1з = — £7^{"2 ~ P arctg |
2^ + ^ Г [T + ( * — 1) P a r c t g j - , |
||
522 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
[Vc]3 = |
( arcte |
arcts у |
) - |
|
ps+ — |
* |
|
|
) |
~ т ln 7 + ^ - + 4 [ т |
~ х ° +& -■ 1) р |
( arcte i ~ arcte у |
)] j : |
|
: { l - 2 p |
arctg |
+ ф [/ + 2 (Л - 1) p arctg ^ ] } . |
(116) |
|
Полученные формулы дают данные для построения линий влия ния для искомых лишних неизвестных. Для пологих арок эти линии мало изменяются при различных очертаниях продольной оси арки и различных законах изменения поперечных сечений по ее длине, по этому в предварительных расчетах допустимо пользоваться форму лами (105), (109) и (111), выведенными для простейшего случая пара болической арки.
Г Л А В А VI
АРКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ С ЗАДЕЛАННЫМИ ПЯТАМИ
§ 27. Случай, когда продольная ось арки имеет очертание катеноида
Положим, что АСВ (рис. 20) представляет собой продольную ось арки, соответствующую катеноиду. Ее уравнение в принятой
системе координатных осей (рис. 20, а) имеет вид |
|
ft = ach |
(а) |
х) В статье М. Л ё г е (L е g а у |
М. Memoire sur le trace et le calcul des voutes |
en maconnerie. Annales des ponts et |
chaussees. Partie 1.7 s£rie, 1900, 10 annee. |
4<oe trimestre, № 42, pp. 141— 233. CM . p. 158.) имеются данные о значениях а с учетом собственного веса арки. [В этом уравнении а — высота приведенной нагруз ки в замке свода, у — вес единицы объема, Н0 — распор свода в замке. Уравнение
(а) представляет кривую, весьма близкую к цепной линии, уравнение которой yi=a ch (xja); название катеноида дано М. Лёге. Когда а— У Н0/у, катеноид обра
щается в цепную линию; при этом (рис. 20, а) — =ch(//2o). Если известны а, I и Ь,
|
|
|
а |
то из уравнения |
(а) подстановкой значений |
*1= 1/2, Ух=Ь находим |
|
2 arch (Ыа) |
|
затем при помощи |
таблиц гиперболических функции |
— ------- j------; определив |
|||
значение V W I |
можно |
по уравнению (а) найти ординаты катеноида.] |
|
§ 27. ОСЬ АРКИ ИМЕЕТ ОЧЕРТАНИЕ КАТЕНОИДА |
523 |
Допустим также, что поперечное сечение арки удовлетворяет следующим условиям:
р __ Л , |
Т__ ^0 |
(b) |
cos«p ■ |
|
|
Определим усилия, вызываемые в этой арке изменениями темпе ратуры и вертикальной распределенной нагрузкой, для которой ве ревочная кривая имеет также форму катеноида. Выберем лишние неизвестные на основании тех же соображений, какими мы руковод ствовались в предыдущих задачах. При вычислении С, остановив шись на первом приближении, получим:
5 S S
J |
У |
J у cos8 <pds J |
(у1— a) cos3 ф ds |
|
|
|
|
|
|
—QA.Q |
(c) |
|
|
|
|
|
|
|
j - f j |
J |
cos3<p ^ |
1 cos3 ф ds |
|
где для |
упрощения |
формулы |
введены следующие обозна |
||
чения: |
|
|
|
|
|
Л0 = J cos3 ф ds,
о
(d)<0
S
Ах= J У\ cos3 yds.
Распор, вызванный равно мерным нагреванием арки, on-
ределяется при |
помощи фор- |
||
мулы |
(59). |
нее |
величина |
Входящая в |
|||
и'с определяется |
по |
формуле |
|
(54). |
Ограничиваясь |
главным |
|
членом этого выражения, получаем первое приближенное значение:
|
|
[«а. |
_ |
Г (у— с) yds |
|
|
|
EJ |
|
|
|
И |
|
|
или же, |
переходя к системе осей, согласно рис. 20, а, |
|||
'1 _ |
S |
|
1 |
, , _ |
Г(У1~а—с)(У1— |
||||
[«3i = |
J |
EJ |
EJa [Aa— (2a-fc) A1 + a(a+c) At], (e) |
|
§28. СИММЕТРИЧНАЯ АРКА ПРОИЗВОЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ |
527 |
то из этого следует:
Таблица XIX содержит численные значения этого отношения для ряда арок различной толщины и пологости. Полученные вели чины мало отличаются от величин, относящихся к соответственным круговым и параболическим аркам значительной пологости. Поэто му в приближенных расчетах возможно выбирать эти величины не зависимо от контура, по которому очерчена продольная ось арки. Смещение кривой давлений в ключе определяется формулой (70)
Подставляя в нее значения, найденные для Н'/Нв, и значение М ', полученное при помощи формулы (119), мы находим для б вели чины, приведенные в таблице XIX.
Заметим, что когда продольная ось совпадает с веревочной кри вой, относящейся к данной нагрузке, то раскружаливание арки может вызвать в ключе растягивающие напряжения. Смещение кри вой давлений в пятах определяется формулой (71):
1 —тт* cos2 а
Но
Последний столбец таблицы XIX содержит величины отношения между найденными перемещениями бх и толщиной арки в пятах. Как и в предыдущих примерах, смещения в пятах более значительны и опасность появления растягивающих напряжений в момент раскружаливания возрастает.
§ 28. Симметричная арка произвольного очертания
Мы рассмотрели элементарные случаи арок, для которых интег ралы, определяющие неизвестные, дают решения в явном виде. Во многих случаях, когда их трудно определить в явном виде, они вы числяются приближенно при помощи формулы Симпсона. Мы пока жем общий путь, по которому нужно идти в этих вычислениях. Что бы иметь возможность судить о степени приближенности результа тов, мы разберем такие примеры, для которых мы имеем и точные решения.
Общее выражение распора, вызванного симметричной нагрузкой и равномерным нагреванием арки на t°, выводится из формул §§ 14
528 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
и 15. Он представится в следующем виде:
»»—4-е// Нс=------------ (120)
«с
Величины ы0 и и'с определяются формулами (53') и (54') при ус ловии расположения начала координат в точке О.
Изгибающий момент в ключе вычисляется по формуле |
|
М = Мс—Нсс = -—Ц-—Нсс, |
(121) |
Тс |
|
где т с и тс даются формулами (56) и (57).
Начнем с определения температурных напряжений как задачи наиболее простой. Напряженное состояние на самом деле вполне определяется величиной распора, и задача заключается в вычисле нии перемещения и'с.
|
|
|
Т а б л и ц а XX |
|
|
|
Приближенное значение |
|
|
ф |
tfi/P |
|
i/J/P* |
sin* ф |
|
|
|||
0 |
—0,06451 |
|
0,004162 |
0 |
4,5 |
—0,06143 |
|
0,003774 |
0,00616 |
9,0 |
—0,05220 |
|
0,002725 |
0,02447 |
13,5 |
—0,03688 |
|
0,001360 |
0,05449 |
18,0 |
—0,01557 |
|
0,000242 |
0,09549 |
22,5 |
+0,01161 |
|
0,000135 |
0,14645 |
27,0 |
+0,04448 |
|
0,001978 |
0,20611 |
31,5 |
+0,08285 |
|
0,006864 |
0,27300 |
36,0 |
+0,12647 |
|
0,015995 |
0,34549 |
|
|
Точное значение |
|
|
Ф |
y j p |
Л / р ш |
V i c o s ф /р |
COS ф |
|
||||
0 |
—0,06529 |
0,004263 |
—0,06529 |
1 |
4,5 |
—0,06221 |
0,003870 |
—0,06202 |
0,9969 |
9,0 |
—0,05298 |
0,002807 |
—0,05233 |
0,9877 |
13,5 |
—0,03766 |
0,001418 |
—0,03662 |
0,9724 |
18,0 |
—0,01635 |
0,000267 |
—0,01555 |
0,9511 |
22,5 |
+0,01083 |
0,000117 |
+0,01000 |
0,9239 |
27,0 |
+0,04370 |
0,001910 |
+0,03893 |
0,8910 |
31,5 |
+0,08207 |
0,006735 |
+0,06997 |
0,8526 |
36,0 |
+0,12569 |
0,015798 |
+0,10168 |
0,8090 |
530 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
Чтобы получить третье приближение и'е, учтем влияние продоль ной силы и перерезывающей. Тогда для k —З получим:
м . - м . + |
^ а + * Р Й £ * = |
= M |
l + -§р ( J cos* ф d(p+ Л j“ sin* ф d<p^ = |
|
= K li + - § r ( a + 2 J sin* ф • |
Пользуясь числами таблицы XX, мы найдем при применении формулы Симпсона следующее значение:
а
J sin*(prf<p = 0,°з854 [0 + 4 (0,00616+0,05449+0,14645+0,27300) +
о
+ 2 (0,02447 + 0,09549 + 0,20611) + 0,34549] = 0,07639.
Таким образом,
[иЗ, = 0,002057 -§j + -gp (0,6283 + 2 • 0,07639) =
= -§7 [о,002057 + ^ - 0,7811] -
Положив -^-- 0,1, мы получим:
[аДз = -{£- [0,002057 + 0,000651] = -£-•0,002708;
EJ
т з =Щ £-217,1.
Чтобы получить еще более точное значение распора, учтем влия ние продольной силы на кривизну оси и момента на ее сжатие. Тогда
S |
y \ds |
8 |
S |
8 |
|
_ Г |
I Г соз*фds |
, и f sin2<pds |
, O f y 1cos<pds |
/ м |
|
“ c J |
EJ |
EF |
EF |
EFp |
ш ' |
Для производства вычислений по этой формуле надо для с взять точную величину
с= —(а —sina + —sina) = р (0,06451 +0,00078) = 0,06529р.
сср