книги / Прочность и колебания элементов конструкций

практике, особенно в часовых механизмах, исследовал Г. Буасс1). Если к закрепленной в центре спиральной пружине приложить пару силМ (рис. 30, а), то изгибающий момент по длине пружины постоя­ нен, а угол поворота определяется формулой

где I — длина пружины, a EJ — жесткость пружины на изгиб. Если растягивающую силу Р приложить к концу пружи­ ны (рис. 30, Ь), то изгиба­ ющий момент будет вели­ чиной переменной, и опас­ ное поперечное сечение пружины будет лежать во внешнем витке со стороны, противоположной точке приложения силы Р. Если витки расположены часто, то максимальный изгибающии момент можно принять

равным 2Рг. Для вычисления угла поворота можно применить выражение (86), в котором вместо изгибающего момента М нужно подставить среднее его значение Рг.

§ 22. Пружины Бельвилля

Эти пружины состоят из полых тонкостенных усеченных кону­ сов, опирающихся друг на друга своими основаниями. Для опреде­ ления упругих деформаций и наи­ больших напряжений можно по­ лучить удовлетворительные при­ ближенные формулы в предполо­ жении, что меридиональные сече-

угол конусности и приняв остальные размеры согласно рис. 31,*4

les simplifiees relatives a la detente des ressorts moteurs des chronometres et resultats d’observations sur la courbure moyenne des lames resultant de l’estrapade. Annales des mines, serie 6, 1868, tome 13, pp. 301—317.

622 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

получим

Аналогичные выражения получим и при переменной толщине стенок конуса.

§ 23. Винтовые пружины

таких пружин. Опыты Дж . Миллера®) и Л .Захариаса’) подтверди­ ли созданную теорию. Для простейшего случая, когда цилиндри­ ческая винтовая пружина находится под действием осевой силы, изгибающий и крутящий моменты равны

Mb = Pr sin a,

M t = Pr cos a,

des pieces solides a simple ou a double courbure, en prenant simultanement en consi­ deration les divers efforts auxquels elles peuvent etre soumises dans tous les sens.

time to work experimental, numerical and graphical exercise. New York, D. VanNostrand, 1901, 2 vol., 678 p. CM. p. 613. [См. также Applied Mechanics, London, Cassel and Co., 1907, 2 vol., 688 p.J

5) S h e a r e r G. W., W a t s o n C. Some notes on springs, principally with reference to those for railway rolling-stock. Engineering, 1912 [February 16], vol. 93, № 2401, pp. 206—210.

®) M i l l e r J. W. The elastic properties of helical springs. The Physical Review (A Journal of Experimental and Theoretical Physics), 1902, vol. 14, № 3, pp. 129— 148.

7) Z a c h a r i a s L. Untersuchungen an zylindrischen Schraubenfedern mit kreisformigen Querschnitt. Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1911, Heft 106, SS. 1—26.

624 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

следующей приближенной формуле:

где m=2r/d. Заключенный в скобки поправочный коэффициент уве­ личивается при уменьшении т. Например, для т—4 он приблизи­ тельно равен 1,40. Уравнение (92) было подтверждено прямыми измерениями удлинений тензометром А. Гугенбергера *). При этих опытах тензометр устанавливался на внутренних и наружных во­ локнах витков винтовой пружины. Эта теория осветила вопрос, по­ чему в мощных винтовых пружинах железнодорожных вагонов тре­ щины обыкновенно начинают появляться на внутренней стороне витков.

При выборе для расчета пружин допускаемых напряжений боль­ шое значение имеет вопрос о сопротивлении их колебаниям. Ф. Ли*) приводит некоторые опытные данные относительно усталости вин­ товых пружин.

Если винтовая пружина находится под действием крутящего момента М относительно оси цилиндра, то упругое удлинение 6 и угол поворота концов пружины ф найдутся из следующих выра­ жений:

Если длинная винтовая пружина кругового поперечного сече­ ния подвергается чистому изгибу под влиянием пары сил М, при­ ложенных к концам и действующих в плоскости, проходящей через ось цилиндра, то кривизна этой оси определится формулой

Этим уравнением можно пользоваться при нахождении бокового перемещения винтовой пружины и при исследовании устойчивости пружины при осевом сжатии *). Поперечные колебания винтовых

*) См. упомянутую на стр. 557 работу А. Г у г е н б е р г е р а .

*) L е а F. G., Н е у w о о d F. The failure of some steel wires under repeated torsional stresses at various mean stresses determined from experiments on helical springs. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1927, vol. 1, April 8, pp. 403—443, discussion: pp. 443—463.

*) T i m o s h e n k o S. Stabilitatsprobleme der Elastizitat. Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik. Bd. 4, Lieferung 1, Leipzig, J. A. Barth, 1929, SS. 81—145. CM. S. 117. [Перевод на русский язык: «Проблемы упругой ус­ тойчивости» в сборнике: Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., изд-во «Наука», 1970, 808 стр. Стр. 553—643. См. стр. 602.)

пружин были обсуждены В. Бирнбаумом *). А. Кастилиано *)

иГ. Резаль3) разработали теорию конических спиральных пружин.

Ф.Мейер *) исследовал несколько специальных случаев этой теории.

§24. Кольцевые пружины

К. Ветцель 6) воспользовался представленной на рис. 33 систе­ мой для того, чтобы повысить удельную работоспособность пружины. При осевой нагрузке наружные кольца пружины находятся под действием растягивающих сил, внут­ ренние — под действием сжимающих сил.

§ 25. Изгиб прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности *)

*) B i r n b a u m W. Untersuchung dcr Biegungsschwingungen von Schraubenfedern. Zeitschirft fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 1925, Jahrgang 16, Heft 3,

SS.74-78 .

2)C a s t i g ! i a n o A. Theorie der Biegungsund Torsions-fedem. Aus dem

italienischen Obersetzt von Richart Totz. Wien, C. Gerold’s Sohn, 1888, 100 S. CM.

S.66.

3)R ё s a 1 H. Sur les proprietes de la loxodromie d’un cone de revolution et

leur application au ressort conique. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1892, I Seraestre, tome 114, № 4, pp. 147— 152.

() M e y e r V. Die Berechnung der Evolutieder (Bufferspirale). Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1900, Bd. 44, № 52, SS. 1791—1793.

B) W e t z e 1 C. Eine neue Bauart fur Reinbungspuffer. Schweizerische Bauzei-

253—254.

•) Об общей теории пластинок и решениях различных задач этой теории см. статью G e c k e l e r J . W. Biegung. Handbuch der phvsikalischen und technischen Mechanik, Bd. 3, Leipzig, J. A. Barth, 1927, SS. 130—191.

Зная же а и воспользовавшись Табл. 6 (стр. 586), найдем прогиб пластинки и величину соответствующего изгибающего момента.

Для случая заделанной по краям прямоугольной пластинки мож­ но применить тот же приближенный метод решения и определить растягивающую силу S. Примем уравнение линии прогибов в виде

тогда для определения а получим следующее уравнение *):

Если полоса АВ имеет первоначальную кривизну, определяе­ мую уравнением

, . лх w0 = b sin — ,

то приближенное выражение кривой изгиба (см. § 7) имеет вид

и а определяется из следующего уравнения:

Следует заметить, что изгибные напряжения могут быть значи­ тельно уменьшены, если применять пластинки с первоначальной кривизной.

§ 26. Жесткие прямоугольные пластинки

Для равномерно нагруженной прямоугольной пластинки со сво­ бодно опертыми краями прогиб посредине равен

г) Численные таблицы для расчета прогиба и напряжений в равномерно нагруженных прямоугольных пластинках составлены И. Бубновым: см. В о о Ь- п о f f I. Q. On the stresses in a ship’s bottom plating due to water pressure. Trans­ actions of the Institution of Naval Architects, 1902, vol. 44, March, pp. 15—46; см. также Б у б н о в И. Г. Строительная механика корабля, часть II. С.-Петер­ бург, типография Морского министерства при Главном Адмиралтействе, 1914, стр. 455, 465, 490. [См. также Б у б н о в И. Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. С.-Петербург, типолитография А. Э. Винеке, 1904, 93 стр. и пере­ печатку этой работы в сборнике: Б у б н о в И. Г. Труды по теории пластин. М., Гостехиздат, 1953, стр. 11— 100.]

где а — длина меньшей стороны пластинки, 2h — толщина плас­ тинки, р — коэффициент, зависящий от отношения b/а размеров сторон пластинки. Если Mi и М 2— изгибающие моменты *), от­ несенные к единице длины размера, параллельного сторонам а и Ь, то

(^a)max = p2<?a2-

Численные значения коэффициентов р, Pi и р2 приведены также в табл. 11 (|г=0,3).

Для случая прямоугольной пластинки с заделанными краями значения Р и Pi приведены в табл. 12.

Т а б л и ц а 12

Мы видим, что значения максимального прогиба и максималь­ ного изгибающего момента при Ь/а= 2 уже достаточно близки соот-

х) Б у б н о в И. Строительная механика корабля, часть II. С.-Петербург, типография Морского министерства при Главном Адмиралтействе, 1914, стр. 445. Н е п с к у Н. Ober den Spannungszustand in rechteckigen ebenen Plattenbei gleichmaBig verteilter und bei konzentrierten Belastung. Miinchen, Oldenburg Verlag, 1913, 94 S. Dissertation. Darmstadt Technische Hochschule, 1913.

$ 27. РАСТЯГИВАЮЩИЕ И СЖИМАЮЩИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 6 2 9

ветственным значениям для очень длинных пластинок. Из этого сле­ дует, что для пластинок конечных размеров (при Ь/а^2) можно пользоваться как приближением зависимостями (98)—(100), выве­ денными для бесконечно длинных пластин.

§ 27. Растягивающие и сжимающие температурные напряжения в стержнях

При проектировании машин часто приходится иметь дело с на­ пряжениями, возникающими от неравномерного нагрева или от того, что свободному расширению тела препятствуют закрепления.

ного температурного расширения в них могут появляться значи­ тельные напряжения при нагревании. На рис. 35, а изображена медная трубка В, сжатая стальным болтом А. Увеличение сжимаю­ щей силы Р в трубке В при равномерном нагревании всей конструк­ ции равно

женного на рис. 35, Ь, в котором стальная трубка насажена на медную.