книги / Прочность и колебания элементов конструкций

К.Бицено3).

И.Гейгер4*) и X. Хольцер6) исследовали эту же задачу в связи с крутильными колебаниями коленчатых валов. Е. Мейер •) и Зеельман78) произвели ряд опытов над кручением коленчатых валов. Боль­ шая часть поломок коленчатых валов должна быть приписана раз­ витию трещин, появляющихся обыкновенно в точках более высокой концентрации напряжения у выкружек и отверстий. Влияние, обус­ ловленное изменением радиуса выкружки на сопротивление уста­ лости коленчатых валов, было исследовано Т. Стентоном и Дж. Бет­ соном *). Эти опыты показывают, что влияние ослабления концент­ рации напряжения увеличивается с понижением пластичности мате­

риала.

§11. Балки на податливом основании

С общей теорией балок на податливом основании можно ознако­ миться в статье И. Геккелера •). Если предположить, что упругое оседание и какой-либо точки основания пропорционально давлению

') G е s s n е г A. Mehrfach gelagerte abgesetzte und gekropfte Kurbelwellen. Anleitung fiir die statische Berechnung mit durchgefiihrten Beispielen aus der Praxis. Berlin, J. Springer, 1926, 95 S.

2) T i m o s h e n k o S. Torsion of crankshafts. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 1923, vol. 44, № 1864, pp. 653—667; [Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York—London—Toronto, McGraw-Hill Publishing Company Ltd., 1953, pp. 291—303.] T i m o s h e n k o S. The bending and torsion of multithrow crankshafts on many supports. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 1924, vol. 45, № 1907, pp. 449—469. [Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York—London— Toronto, McGraw-Hill Publishing Company Ltd., 1953, pp. 344—362.]

а) В i e z e n о С. В. Berekening van meervoudig statisch onbepaalde mechi- ne-assen. De Ingenieur’s-Gravenhage, 1927, Jahrgang 42, 15 October, № 42, pp. 921—928.

4) G e i g e r J. Ober Verdrchungsschwingungen von Wcllen, insbcsonderc von mehrkurbligen Schiffsmaschinenwellen. Augsburg, 1914, Walch, 80 S. Dissertation. Berlin, Technische Hoschschule, 1915.

gekropften Kurbelwellen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1909, Bd. 53,

№8, SS. 295—298.

7)S e e 1 m a n n. Die Reduktion der Kurbelkropfung. Zeitschrift des Vereines

deutscher Ingenieure, 1925, Bd. 69, Nt 18, SS. 601—603. См. также S a s s F r. Messung der reduzierten Lange der Kurbelwelle einer 1650 Psi-Schiffsolmaschine.

of crankschaft of a variation on the radius of curvature of fillets. British Advisory

592 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

р в этой точке, то р=Р«, где р есть так называемый модуль основания.

Ь)

Рис. 19. Балка на податливом основании.

балки. Изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом случае равны

Кривые функций z, входящих в выражения (39) и (41), представ­ лены на рис. 19. Таблицы этих функций составлены Г. Циммер­ маном *). Выражения (39) и (41) оказались очень полезными для вычисления напряжений в железнодорожных рельсах 2).

^ Z i m m e r m a n n Н. Die Berechnung des Eisenbahn-oberbaues. Berlin, Ernst und Korn, 1888, 308 S. См. таблицы Ha (SS. 284—285); lib (SS. 286—287).

*) Т и м о ш е н к о С. П. К вопросу о прочности рельс. Петроград, издание Института инженеров путей сообщения, тип. А. Э. Коллинса, 1915, 42 стр.; Т i- m o s h e n k o S. Method of analysis of statical and dynamical stresses in rail. Verhandlungen des zweiten fnternationalen Kongresscs fflr technisehe Meehanik. ZQrich, 12—17 September 1926. Zurich und Leipzig, O. Fflssli, 1927, SS. 407—418.

5 9 4 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

Если это значение подставить в формулы (43) и (44), то получим

где P — нагрузка на единицу длины окружности радиуса R. Эти результаты могут быть применены в том случае, когда на трубу на­ сажено кольцо1).

Мы приходим к решению аналогичной задачи при определении напряжений, возникающих в стенках поперечно подкрепленных по­ лых цилиндров, находящихся под действием равномерно распреде­ ленного давления, как, например, в подводных лодках. Этот случай исследовали К. Занден и К. Гюнтер *). Теорией балки на упругом основании пользовались при решении многих других задач, как, например, вопросов о де4юрмациях симметричных относительно оси труб, полых цилиндров и резервуаров для воды. М. Вестфаль *) исследовал влияние фланцев на напряжения в трубах. Р. Лоренц 4*7) исследовал вопросы об усилении цилиндров ребрами и о напряже­ ниях, вызываемых в полых цилиндрах неравномерным нагрева­ нием *).

Г.Мюллер-Бреслаув) и К. Рунге ’) исследовали деформацию вер­ тикального резервуара под влиянием гидростатического давления.

Г.Рейсснер8), Т. Пёшль и К. Терцаги •) изучили деформации ре­ зервуаров, толщина стенок которых непрерывно меняется.

х) C o o k G. The stresses in pipes reinforced by steel rings. Engineering, 1923, vol. 116, № 3015, October 12, pp. 477—478.

*) S a n d e n K - V . , G i i n t e r K. Ober das Festigkeitsproblem quervesteifter Hohlzylinder unter allseitig gleichmassigem Aubendruck. Werft-Reederei—Hafen

lindern. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1908, Bd. 52, № 43, SS. 1706— 1713.

®) L o r e n z R. Temperaturspannungen in Hohlzylindern. Zeitschrift des Verei­

nen. 2 vollstandig bearbeitete Auflage, Bd. 2, Abteilung 2, Leipzig, Alfred Kroner Verlag, 1908, §§ 77—78, SS. 252—268, S. 260. [Перевод на русский язык: М ю л ­ л е р - Б р е с л а у Г. Графическая статика сооружений. Перевод с 1-го издания,

durch den Wasserdruck. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1904, Bd. 51, Heft 3,

SS.254—264.

•) R e i s s n e r H. Ober die Spannungsverteilung in zylindrischen Behalter-

Эта теория может быть применена и к балкам на упругих опорах, расположенных на разных расстояниях, и к балкам^ несущим систему поперечных стержней, лежащих на равных друг от друга расстоя­ ниях (рис. 21). Положим, имеем систему вертикальных одинаково нагруженных балок, отстоящих на равных друг от друга расстоя­ ниях. Длина балок 1и жесткость их на изгиб EJi. Все эти балки под­ держиваются поперечным стержнем А В длиной I и жесткостью на

Рис. 21. Вертикальные балки, поддерживаемые одной поперечной балкой.

изгиб EJ. Пусть Q — нагрузка на вертикальные балки, a R — реак­ ция поперечной балки, тогда прогиб обеих балок в точках их сопри­ косновения равен

где т и п — постоянные величины, зависящие от размеров балок, от положения поперечной балки и от способа распределения на­ грузки. Если, например, вертикальные балки поддерживаются поперечным стержнем посредине их длины и нагрузка Q распреде­ ляется по закону трапеции (рис. 21, Ь), то имеем

Нагрузку поперечной балки силами R найдем из уравнения (а)

f> _ mQ 11

пп

Если расстояние а между вертикальными балками мало, то без значительной погрешности сосредоточенные нагрузки R можно

заменить равномерно распределенной нагрузкой q, которую опре­ делим из уравнения

R__ m Q ___ и_

^а па па

Отсюда видно, что поперечный стержень АВ находится в таких же условиях, как и в случае, когда он загружен равномерно распреде­ ленной нагрузкой q0=mQ/na и лежит на упругом основании, модуль которого равен р= \/па. Прогиб оси стержня определится в этом слу­ чае из общего уравнения для балок, расположенных на упругом ос­ новании, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки

Из этого уравнения получается следующее выражение для про­ гиба и изгибающего момента посредине стержня *):

M ~ "Т Г k2(cos 2 ft+ ch 2k) •

где k=fil/2.

§ 12. Применение тригонометрических рядов

Уравнение упругой линии изогнутого стержня с шарнирно за­ крепленными концами, находящегося под действием поперечных и продольных сил (рис. 22), может быть представлено следующим рядом 2):

212. [Перепечатка: Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и обо­ лочек, «Наука», 1971, стр. 166— 190.] T i m o s h e n k o S. Etude de 1а flexion des barres au moyen d’une methode approximative. Annales des travaux publics de

McGraw-Hill publishing company Ltd., 1953, pp. 237—263.] См. также W e s t e r - g a a r d H. M. Buckling of elastic structures. Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1921, vol. 47, № 9, pp. 453—533.

Подставив в уравнение (52) вместо Р значение qdc и проинтегри­ ровав его в пределах от с=0 до с=1, получим выражение для упру­ гой линии для равномерно нагруженного стержня

Тогда прогиб посредине стержня равен

Этот же ряд (50) можно применить к балкам на упругом основа­ нии с шарнирно закрепленными концами. При определении коэффи­ циентов следует в этом случае к потенциальной энергии изгиба стер­ жня прибавить еще потенциальную энергию деформации основания. Тогда получим

оо

Для равномерно распределенной нагрузки уравнение упругой линии получит следующий вид:

Если вместо сжатия имеет место растяжение, то в приведенных выше выражениях для упругой линии надо вместо а подставить —ос. Если все нагрузки имеют одно направление, то первый член ряда (50) всегда определяет максимальный прогиб с достаточной точностью. Этим оправдывается применение уравнения (31) в § 8.

Тригонометрический ряд может также применяться и в том слу­ чае, когда стержень имеет небольшую начальную кривизну. Пусть уравнение

определяет начальную кривизну, а уравнение (50) определяет до­ полнительный прогиб, вызываемый нагрузкой. Для определения потенциальной энергии изгиба воспользуемся уравнением (51). При

этом

/

Указанный выше метод дает для одного сосредоточенного груза F следующее уравнение упругой линии:

Первый ряд уравнения (56) тождествен с уравнением (52), а вто­ рой представляет влияние начальной кривизны на форму упругой линии.

При отсутствии поперечных сил уравнение упругой линии для случая чистого продольного сжатия будет иметь следующий вид:

При продольном растяжении в уравнении (57) вместо а нужно подставить —а.

§ 13. Стержни малой плоской кривизны

Ниже будем предполагать, что одна из главных осей инерции поперечного сечения и внешние силы лежат в плоскости кривизны стержня, а размеры поперечного сечения малы по сравнению с дли­