книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Интегралы уравнения (d), согласно формуле Симпсона, получа­ ют следующие значения:

оt>

X [0,001537 + 4 (0,001383 + 0,000452 + 0,000085 + 0,002679) +

[tft]3 = 4 1 4 , 8 ^ f .

Это вполне согласуется с результатами для соответствующей арки, помещенными в таблице XXI. Из этого мы заключаем, что вы­ бранное нами число делений арки на отдельные элементы вполне обеспечивает достаточную степень приближения расчетов, требуемую для практических применений. Если бы мы исходили из деления арки на четыре элемента, то получили бы

s1/г

оо

=3 - 3 ^ - [0,001537 + 4 (0,000969 + 0,000849) +

— результат, мало отличающийся от предыдущего. Поэтому воз­ можно ограничиться небольшим числом клиньев, на которые разби­ вается полуарка, когда речь идет о приближенных расчетах.

Применим такой же метод вычислений для круговой арки, внеш­ нее очертание которой параллельно оси, и нагруженной вертикаль­ ной нагрузкой, равномерно распределенной по пролету. Распор Н е получим по общей формуле (120). Последовательные приближения

то получим

и0= — о,001996g j ,

Как мы видим, эти результаты мало отличаются от результатов, относящихся к соответственным аркам, помещенным в таблице XV.

Определим теперь изгибающий момент в ключе согласно форму­ ле (121).

и

[Яcd^O .7807 <7/- 0,06451р=0,04284 ql\

Первое приближенное значение момента в ключе составит

[ЛЦ^О,04398 ql*—0,04284 <7/*=0,00114 ql*.

Результат вполне согласуется с приведенным в таблице XV. Посмотрим теперь, какие результаты дают точные формулы.

С одной стороны, мы имеем

—

= S r ( 1 - £ ) ‘ j sin2<P = 0,04394ql',

сдругой стороны,

Ясс=0,6280 ql- 0,06529р=0,03487 ql*.

Соответствующее значение искомого момента будет

М =0,04394 ql*—0,03487 <7/*=0,00907 <7/*.

Этот результат отличается от результатов таблицы XV на две единицы в последнем десятичном знаке.

Как видно, применение формулы Симпсона к определению мо­ мента в ключе при принятом числе элементарных клиньев свода по­ зволяет достичь совершенно достаточной степени точности. Так как момент получается как разность двух величин одного порядка, то

степень точности вообще получается меньше той, которая достигает­ ся для Н с. Производя в рассматриваемом примере действия над числами с четырьмя знаками, мы получаем величину момента только с тремя знаками.

Применим приближенное вычисление интегралов к построению линий влияния. Чтобы построить линию влияния для распора # с, воспользуемся формулой (63). Приближенные величины, зависящие от знаменателя, были вычислены в предыдущих примерах. Общее выражение числителя дается формулой (64). Она может быть упро­ щена, если пренебречь влиянием нормальной силы и изгибающего момента на кривизну оси и на ее сжатие. При начале координат в точ­ ке О (рис. 17) значение распора, вызванного вертикальным сосредо­ точенным грузом, приложенным на расстоянии х с от оси симметрии

Для примера возьмем круговую арку постоянного поперечного сечения, для которой а=36°, Л=0,1р и k=3. Для того чтобы полу­ чить первое приближенное значение, ограничимся первым членом. В рассматриваемом случае

Применяя формулу Симпсона и пользуясь числами таблицы XXIII, получаем для искомых интегралов значения, помещенные в пятом и шестом столбцах таблицы. Соответствующие приближенные значения распора приведены в седьмом столбце таблицы. Получен­ ные результаты отличаются от данных таблицы XIII четвертыми де­ сятичными знаками. Для того чтобы получить более точную вели­ чину распора, примем во внимание влияние нормальной и попереч­ ной сил. При помощи формулы Симпсона, введя в нее числа восьмого столбца, вычислим второй член числителя формулы (122). Эти вели­ чины, помноженные на EF, приведены в десятом столбце. Десятый столбец содержит значения Н е, вычисленные для /i=0,lp. Они отли­ чаются от точных величин, помещенных в таблице X III, менее чем на 0,001. Таким образом, метод, предложенный для построения ли­ ний влияния распора, дает совершенно удовлетворительные ре­ зультаты.

Перейдем к построению линий влияния для изгибающего момента

включе. Его величина получается по формуле

М= М С—Н сс.

Для рассматриваемой круговой арки имеем

а

5 (*1— *о)Лр

[ М ] ^ ^ ----------------- [Не]гС

2а

Интеграл J хгdtp легко определяется по формуле Симпсона вводом

ф*

внее значения хг таблицы XXIII. Другие величины формулы для М уже определены. Таким образом, получаем числа второго столбца таблицы XXIV. Для того чтобы учесть влияние нормальной и по­ перечной силы, нужно в формулу (123) подставить вместо распора Нс его приближенную величину [Я с1в. Соответственные величины [Л!,] находятся в третьем столбце таблицы XXIV. Наконец, влияние нормальной силы на кривизну оси и момента на ее сжатие вводятся посредством применения следующей формулы:

, Г А

’ J EJ

где с нужно заменить его точной величиной 0,06529 р и Я с — его точным значением по таблице X III. Таким образом, мы получаем величины момента, помещенные в последнем столбце таблицы XXIV.

Так как эти величины являются результатами вычитаний, то степень их точности для некоторых положений нагрузки значитель­ но понижается. Однако, примененный при этих вычислениях метод обычно приводит к удовлетворительным результатам, как это мы видим при сравнении их с числами таблицы XIV.

Построенную таким образом линию влияния мы можем исполь­ зовать для вычисления моментов, вызванных сосредоточенными грузами, занимающими самое невыгодное положение. Этот метод не дает пригодных результатов, когда под нагрузкой находится весь пролет. В этом случае, чтобы получить достаточное приближение, надо следовать методу, указанному для случая арки, нагружен­ ной распределенной нагрузкой. Линия влияния поперечной силы получается при помощи формулы (66).

540 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Значения входящих в это выражение интегралов были нами уже определены; после подсчетов мы легко получаем значения попереч­ ной силы, помещенные во втором столбце таблицы XXV.

Более точная величина поперечной силы получается при учете влияния продольной и поперечной сил. Тогда, согласно формулам (65), получаем:

Упрощая эту формулу для рассматриваемого случая и произве­ дя вычисления, мы получаем числа третьего столбца. Мы видим, что в этом частном случае первое приближение дает вполне удовлетво­ рительные результаты для практических применений, что и позво­ ляет принимать их для вычисления поперечной силы.