книги / Прочность и колебания элементов конструкций

тельную часть изгибающего момента, и влияние этого материала на сопротивление изгибу может во многих случаях не учитываться.

Если мы хотим принять во внимание повышение жесткости, то нужно только по длине участков Ь, представляющих собой тол­ щину дисков, заменить жесткость вала EJ большей жесткостью EJ/x. Постоянная величина х зависит от отношения b/d. Некоторые значения х, полученные на осно­ вании опытов1), приведены в таб­ лице 5.

>Ь

V,

Рис. 13. Изгиб вала с насаженными дисками. Рис. 14. Продолговатое отвер­ стие у нейтральной поверхности.

Для определения концентрации напряжения, получающегося у отверстий и желобов, можно пользоваться теми же формулами и-коэффициентами концентрации, что и при растяжении (§ 2).

Т а б л и ц а 5

Если отверстие имеет продолговатую форму и расположено у нейтральной поверхности (рис. 14), то нужно принять во внимание дополнительный изгиб а). Максимальное напряжение определится формулой

момент сопротивления части поперечного сечения, лежащей выше или ниже отверстия.

Из теории сопротивления материалов следует, что напряжения от изгиба пропорциональны расстояниям нейтральной оси и распре­ деляются равномерно по ширине поперечного сечения. Этому зако­ ну не следуют тавровые и двутавровые сечения, имеющие широкие полки. Напряжения в полках у вертикальной стенки будут боль­ ше, чем по краям. Распределение напряжений в полках было об­ суждено Р. Бортием1), Т. Карманом 2) и В. Метцером 34). Для вычис­ ления максимального напряжения при изгибе балки таврового сечения с полкой постоянной толщины и бесконечно большой шири­ ны хорошее простое приближенное решение получается следующим

денная ширина полки в обе стороны от стенки, воспринимающей напряжения, составляет примерно 9% от длины пролета, или, ина­ че, 18% от расстояния между нулевыми точками эпюры изгибаю­ щих моментов.

§ 7. Изгиб за пределом упругости

При изгибе балок за пределом пропорциональности или в слу­ чаях, когда их материал не следует закону Гука при упругих де­ формациях, напряжения в продольных волокнах не будут более пропорциональны продольным деформациям, и распределение на­ пряжений не будет теперь следовать линейному закону. Допущение Якоба Бернулли *) о том, что при изгибе поперечные сечения оста­

*) B o r t s c h R. Die mitwirkende Plattenbreite. Der Bauingenieur, 1921, Jahrgang 2, Heft 23, SS. 662—667.

*) K a r m a n Th . Die mittragende Breite. Beitrage zur technischen Mechanik

[Обстоятельное обсуждение теории эквивалентного стержня дано П. Ф. Папковичем во вводной статье к работе П. А. Соколова «О напряжениях в сжатых пла­ стинах после потери устойчивости». Труды Научно-исследовательского института судостроения и судовых стандартов Союзверфи, вып. 7, М.— Л ., Гос. научнотехн. изд-во строит, индустрии и судостроения, 1932, 69 стр. Эта статья называется так: «Краткий очерк развития проблемы внутренних сил в учении об общей кре­ пости корабля», стр. 3— 15. Она перепечатана в сборнике: П а п к о в и ч П. Ф. Труды по прочности корабля. Л ., Судпромгиз, 1956, стр. 37—55.]

la demonstration de la courbure des corps qui font ressort. В кн.: «Jacobi Bernoulli».

584ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

В.Пинегин 1), Г. Герберт 2) и И. Петерман 3) применяли эти методы при исследовании изгиба чугунных стержней. Эти же методы можно применять к балкам, составленным из двух или большего числа разнородных материалов, как, например, к железобетонным балкам.

§ 8. Изгиб с растяжением или сжатием

Пока продольная растягивающая или сжимающая сила мала по сравнению с критической нагрузкой 4*), напряжения от растяже­ ния или сжатия можно суммировать с напряжениями от изгиба (рис. 15). Если же продольная сила не мала по сравнению с

Рис. 15. Совместный взгиб и растяжение стержня.

критической нагрузкой, то необходимо принимать во внимание влияние этой силы на изгибающий момент. В таком случае сов­ местного действия изгиба и растяжения дифференциальное урав­ нение упругой линии стержня принимает следующий вид:

где 5 — продольная растягивающая сила, а М — изгибающий мо­ мент от поперечной нагрузки. Эта задача для различных типов на­ грузки и опорных закреплений была исследована И. Перри 6),

*) Р i n е g i n W. Versuche fiber den Zusammenhang von Biegungsfestigkeit und Zugfestigkeit bei Gubeisen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1906, Bd. 50, № 50, SS. 2029—2030. Перепечатка: Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurvesens, 1907, Heft 48, SS. 43—68.

a) H e r b e r t H. Ober den Zusammenhang der Biegungselastizitat des Gubeisens mit seiner Zugund Druckelastizitat. Georg-August Universitat zu Gottingen, Philosophische Fakultat. Gottingen, Berlin, A. W. Schade, 1909, 47 S.

physikalischen und technischen Mechanik, Bd. 4, Lieferung 1. Leipzig, J. A. Barth, 1929, SS. 81— 145. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Вопросы

и все функции равны единице. При возрастании продольной растя­ гивающей силы значения функций убывают, т. е. продольные растя­ гивающие силы уменьшают величину прогиба и наибольшего

формулу (19) значение продольной силы S следует брать со знаком минус. Используя выражение (21) для обозначения и и в случае стержня со свободно опертыми концами, нагруженного сосредото­

нагрузкой. Знак минус относится к случаю сжатия, плюс — к растя­ жению. Формула (31) служит также и для других типов нагрузки, если только все нагрузки действуют

водном направлении.

Вслучае эксцентрично приложен­ ной осевой силы (рис. 16), сохраняя обозначения формулы (21), будем иметь:

При больших прогибах, имеющих место при изгибе тонких стержней, необходимо в уравнение (19) вместо d*x/dz* подставлять точное выражение для радиуса кривизны. Аналитическое иссле­ дование этой задачи приводит нас к эллиптическим интегралам. Несколько примеров этого рода исследовал Л. Заальшютц*), Г. Рейсснер *) развил графический метод, достаточно точный для практических целей.

§ 9. Изгиб и кручение призматических стержней

При малых деформациях можно суммировать напряжения от изгиба и кручения. Положим, поперечное сечение находится под действием изгибающего момента Мь и крутящего момента M t. Тогда для круглого поперечного сечения точки наибольших нор­ мальных напряжений o=M b/W и наибольших касательных напря­ жений x=M t/2 W совпадают. Соответствующие главные напряжения равны

^шах=-|- + у / о * + 4та,

(34)

CTmin = ! — у V V + 4 t*-

* ) S a a l s c h f i t z L. Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen Kraft. Leipzig, B. G. Teubner, 1880, 247 S.

•) R e i s s n e r H. Die Biegungslinie des vollkommen elastischen Stabes infolge LSngskraft und Querbelastung in der Nahe der Knicklast. Zeitschrift fiir Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 1918, Jahrgang 9, Heft 19—20, SS. 125— 131.

т—а 1^тахЗначения коэффициентов а и а х для различных отно­ шений h/b даны в табл. 7.

Пользуясь этой таблицей и формулами (34) и (35), можно вычис­ лить главные напряжения в точках а и Ь, а также и максимальные касательные напряжения.

§10. Совместный изгиб

икручение стержней переменного сечения

При резких изменениях поперечного сечения, что часто встре­ чается в валах круговых сечений, у выкружек имеет место значи­ тельная концентрация напряжений, которую нужно принимать во внимание. Если предположить, что точки максимальной концентра­ ции напряжения для кручения и изгиба совпадают, то главные на­ пряжения, соответствующие совместному действию кручения и из­ гиба, могут быть определены при помощи таблиц. При небольших радиусах выкружек коэффициенты концентрации имеют большие

численные значения. При уве­

менты в любом поперечном сечении; тогда соответствующие главные напряжения определятся, как было выше указано. Задача становит­ ся сложнее для многоколенчатых валов. Главное затруднение за­ ключается в неопределенности опорных условий. Зазоры в подшип­ никах дают некоторую возможность коленчатому валу поворачи­ ваться на опорах, и от этих отклонений зависит само положение опорных точек. Если предположить, что коленчатый вал оперт по­ средине подшипников и может свободно поворачиваться на опорах, то задача значительно упрощается, и тогда для определения опорных моментов и реакций опор можно составить уравнения, аналогич­ ные уравнениям для неразрезной балки. Такие исследования