книги / Прочность и колебания элементов конструкций

§29 ИЗГИБ ПЛАСТИНОК ВСЛЕДСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 631

Зная г, легко вычислить напряжения от изгиба и растяжения или сжатия.

§ 29. Изгиб пластинок вследствие температурных напряжений

Будем нагревать пластинку одинаковой толщины со свободными краями так, чтобы в плоскостях, параллельных срединной плос­ кости пластинки, температура оставалась постоянной, а по толщине пластинки она менялась по линейному закону. Тогда пластинка изо­ гнется по шаровой поверхности радиуса г, который определим из уравнения (105). Если же края пластинки не поворачиваются, то пластинка при нагревании останется плоской, но одновременно по­ явятся равномерно распределенные изгибающие моменты, величина которых, отнесенная к единице длины контура пластинки, равна

Эти напряжения не зависят от толщины пластинки, если сделать допущение, что разница температур tx—t2на обеих сторонах пластин­ ки постоянна. Обыкновенно же разница температур возрастает вместе с толщиной пластинки, поэтому температурные напря­ жения в толстых пластинках больше, чем в тонких. Если пластинку закрепить не по всему контуру, то от нагревания пластинка будет изгибаться. Тогда задача сводится к решению общих уравнений из­ гиба пластинки, по краям которой распределены силы и пары сил х).

Если температура пластинки изменяется по срединной плоскос­ ти, но по толщине пластинки остается постоянной, то имеет место плоская задача распределения напряжений. Ф. Нейман *) обсудил простейший случай этого рода, когда температура круглой пластин­ ки есть функция однбго только радиуса.

х) G e c k e l e r J. W. См. его работу, упомянутую в сноске ®) на стр. 625. *) N е и ш a n n F. Е. Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichts in komprimierten oder ungleichformig erwarmten unkrystallinischen Korpern. Abhandlungen der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1841, 2 Theil, SS. 1—254; cp. также L e o n A. V. Spannungen und Formanderungen eines Hohlzylinders und einer Hohlkugel, die von innen erwarmt werden, unter den Annahme eines linearen Temperaturverteilungsgesetzes. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1905, Bd. 52,

Heft 2, SS. 174— 190.

632ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

§30. Остаточные напряжения

при пластических деформациях

Остаточные напряжения в упругих телах появляются от различ­ ных причин: укажем кратко на эти причины: пластическая дефор­ мация в одной какой-либо части тела, холодная обработка мате­ риала прокаткой или протяжкой, нагрев при неравномерном ох­ лаждении, закаливание. В качестве примера рассмотрим случай чистого изгиба. Если изгиб бруса будет происходить за пределом пропорциональности, то напряжения в продольных волокнах не будут больше пропорциональны удлинениям, и распределение на­ пряжений по высоте поперечного сечения не будет следовать уже

Рис. 37. Остаточные напряжения, обусловленные пластическим изгибом.

линейному закону. Мы уже видели (см. § 7), что закон распределе­ ния напряжений можно получить в этом случае с хорошим прибли­ жением, если допустить, что и за пределом пропорциональности поперечные сечения остаются плоскими. Тогда удлинение и сжатие продольных волокон пропорционально расстоянию их от нейтраль­ ной оси. Если на основании опытов известны кривые растяжения и сжатия, то для каждого частного случая легко получить распреде­ ление напряжений. Особо просто решить вопрос в случае прямо­ угольного поперечного сечения, когда кривые растяжения и сжатия получаются одинаковыми. Тогда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения, кривые растяжения и сжатия непосредственно дают распределение напряжений, и численные значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений в сечении для какого-либо изгибающего момента определяются на основании этих кривых.

Пусть кривая rOs (рис. 37) представляет распределение напря­ жений для какой-нибудь заданной величины изгибающего момента, настолько значительного, чтобы вызвать пластическую деформа­ цию. Если действие момента прекращается, то в стержне все же воз­ никают остаточные напряжения, вызванные текучестью материала. Величину этих остаточных напряжений мы найдем, исходя из пред­ положения, что при разгрузке материал стержня следует закону

s 30. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ 633

Гука; тогда соответствующие напряжения изобразятся прямой ли­ нией Юи. Наибольшую ординату pt мы найдем из того условия, что напряжения, изображенные треугольником рЮ и кривой ргО, долж­ ны дать одинаковые моменты. Разница в напряжениях, изображенных кривой rOs и прямой Юи, показанная на рис. 37, а заштрихо­ ванной площадью, представляет распределение остаточных напря­ жений, возникающих от текучести материала. Распределение оста­ точных напряжений становится особенно простым для материалов, имеющих ясно выраженный предел текучести, т. е. когда возможно пренебречь возрастанием напряжений при пластическом растяжении. Если вызванная изгибом стержня кривизна достаточно вели­ ка, то закон распределения напряжений приближается к виду, показанному на рис.

37, b в виде прямоугольников рггЮ и qssxO. Исчезающие при разгрузке напряжения даны прямой Юи. Из равенства статиче­ ских моментов треугольника рЮ и пря­ моугольника рггЮ относительно оси sxOrx заключаем, что остаточное напряжение rt в самом удаленном волокне равно половине первоначального напряжения.

Аналогичный метод для определения остаточных напряжений можно применить и в случае кручения круговых цилиндричес­

ких валов. Если предположить, что при кручении вала за пределом текучести радиусы поперечных сечений остаются прямыми, то сдвиг будет пропорционален радиальному расстоянию, и закон распреде­ ления напряжений по радиусу при сдвиге изобразится кривой ли­ нией Отп (рис. 38). Если же допустить, что при разгрузке материал вала будет следовать закону Гука, то напряжения, представленные прямой линией Os должны быть вычтены из напряжений, представ­ ленных кривой линией Отп. Остаточные напряжения, вызванные пластической деформацией материала, показаны штриховкой. Ве­ личины этих напряжений найдем из того условия, что моменты кру­ чения, соответствующие закону распределения напряжений Отпр, равны моментам, соответствующим линейному закону распределе­ ния напряжения Osp. Пластическую деформацию при кручении стержней некруглого поперечного сечения исследовали А. Надаи *) и Э. Треффтц а).*2

*) N a d a i Л. Der Beginn des Fliebvorganges in einem tordierten Stab. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1923, Bd. 3, Heft 6, SS. 442—454.

2) T г e f f t z E. Ober die Spannungsverteilung in tordierten Staben bei teilweiser Oberschreitung der FlieCgrenze. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd. 5, Heft 1, SS. 64—73.

634ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

Б.Сен-Венан *) и Л. Турнер исследовали пластическую де­ формацию толстостенных цилиндров.

Пусть р — внутреннее давление, xs — предел текучести при

сдвиге, а и b — соответственно внутренний и внешний радиусы ци­ линдра; тогда внутреннее давление, при котором материал на внут­ ренней стороне цилиндра начинает течь, определится из выражения

Если давление выше этого значения, то на внутренней поверхно­ сти цилиндра образуется зона пластической деформации. Радиаль­ ные и касательные составляющие напряжения в этой зоне на рас­ стоянии г от оси найдутся из следующих формул:

если не принимать во внимание возрастания напряжений при пла­ стическом растяжении. Наибольшую величину давления р получим, если весь цилиндр будет находиться в пластическом состоянии. Мы найдем его из первого уравнения (109), положив в нем г=Ь и <тг= 0 . Тогда имеем

В этом случае распределение напряжений определится следую­ щими выражениями:

Если допустить, что материал стержня при разгрузке следует закону Гука, то остаточные напряжения от пластической деформа­ ции определятся как разница между напряжениями, полученными из уравнений (111) и напряжениями, определяемыми по формуле Ламэ, соответствующими внутреннему сжимающему давлению р= =2т,(1п b/а). Тогда остаточные напряжения определятся следую­ щими выражениями:

continuity des blocs ductiles, cylindriques, pleins ou evides, et places dans diverses circonstances. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1872, tome 74,

§30. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ 635

и соответствующее касательное максимальное напряжение будет

Если

то

т = —т8.

Если Ь/а>2,24, то при снятии внутреннего давления материал на­ чинает течь. Для того чтобы при разгрузке существовали зависимо­ сти как для идеально упругого тела, сжимающее давление не долж­ но превышать предела

Из изложенного выше мы видим, что при нагружении внутренним давлением толстостенного цилиндра на внутренней поверхности его появляются остаточные сжимающие напряжения. Такое распреде­ ление остаточных напряжений очень благоприятно при проектиро­ вании цилиндров высокого внутреннего давления. Ухатиус не­ сколько десятилетий назад исследовал расширение цилиндров при изготовлении орудий *). Аналогичное распределение остаточных напряжений при превышении предела текучести можно наблюдать и во вращающихся цилиндрах и дисковых колесах центрифуг. Этот вопрос обсудили А. Стодола *), Г. Генки 3) и Ф. Ласло 4).

*) [U с h a t i u s [F.] CJber die Erhohung des Elastizitatsgrenze der Metalle durch dauernde Spannung. Dinglers polytechnisches Journal, 1877, Bd. 223, Heft 3,

Scientifique, Bibliotheque de mecanique appliquee et genie 23); см. также B r o w n S. J . A method of gun construction by radial expansion. Proceedings of the United States Naval Institute, 1920, vol. 46, № 214, December, pp. 1941— 1970.

2)S t о d о 1 a A. Dampfund Gas-Turbinen. Mit einem Anhang uber die Aussichten der Warmekraft-Maschinen. 5 Auflage. Berlin, J. Springer, 1922, 1111 S.

CM. S. 893.

3)H e n с k у H. Zur Theorie plastischer Deformationnen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungen. Zeitschrift fur angewandte Mathematik

und Mechanik, 1924, Bd. 4, Heft 4, SS. 323—334. [Перевод на русский язык: Г е н ­ к и Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале оста­ точных напряжений. Теория пластичности, сборник статей. М. ЛИЛ, 1948, стр. 114—135.1

4) L I s z 1 о F. Geschleuderte Umdrehungskorper im Gebiet bleibender Defor­ mation. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd. 5, Heft 4, SS. 281—293.

636ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

§31. Остаточные напряжения в поковках и отливках

Впоковках и отливках могут получиться значительные остаточ­ ные напряжения вследствие неравномерного охлаждения. Из опытов известно, что во внешних слоях больших кованых цилиндров, кото­ рые употребляются в современных больших турбинах и генераторах, обычно появляются сжимающие остаточные напряжения, причем величина остаточных кольцевых напряжений доходит иногда до 1000 кг/см11. Внутри кованых изделий часто появляются значитель­ ные растягивающие напряжения, которые очень нежелательны, потому что величина их достигает величины напряжений, возникаю­ щих в процессе работы. Вследствие этого появляется очень высокое напряжение внутри кованых изделий, где механические свойства материала отличаются от свойств на поверхности. Для того чтобы избежать опасности получить дефектный материал в середине кованых изделий, в них просверливают центральное отверстие диаметром 12—15 см и производят по возможности более тща­ тельные испытания материала в середине болванки. Посредством соответствующей термической обработки больших кованых изде­ лий в них можно значительно уменьшить остаточные напряжения.

Нам известно появление в стальном литье и отливках значитель­ ных напряжений от неравномерного охлаждения. Поэтому в техни­ ке литья, во избежание появления опасных напряжений при отлив­ ке, выработаны особые способы обращения с фэрмами и отлитыми

§ 32. Остаточные напряжения при закалке

Причиной возникающих при закалке стали напряжений явля­ ется увеличение объема закаливаемой стали. Эти напряжения име­ ют существенное значение для практики, но мало еще исследованы. Возможность предварительного определения этих напряжений за­ висит в значительной степени от того, какое количество опытного материала находится в распоряжении инженера, исследующего объ­ емные деформации различных сортов стали при разных скоростях

Ч H e y n Е. Ober bleibende Spannungen in WerkstQcken infolge Abkuhlung. Stahl und Eisen, 1907, Jahrgang 27, № 37, SS. 1309— 1315; Ni 38, SS. 1347—1353. См. также M a r t e n s A. Handbuch der Materialienkunde fur den Maschinenbau, Teil 2. Die technisch wichtigen Eigenschaften der Metalle und Legierungen von Heyn

§34. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ 637

охлаждения. Такие опыты были произведены Котаро—Гондо 4) и Т. Матцушита*2). Очень интересные опыты измерения напряжений при закалке колец, вырезанных из цилиндра толщиной 24,1 см, име­ ются у Г. Вилле3). Б. Штраусс показал, что в то время, как сплош­ ной цилиндр диаметром в 30 мм при закаливании увеличивает на 0,05 мм свой диаметр, диаметр вырезанного из этого цилиндра коль­ ца толщиной стенки в 2 мм увеличивается на 0,29 мм, так как коль­ цо могло свободно расширяться. Напротив, при сплошном цилиндре масса ядра не превращается в мартенсит; она старается принять свой первоначальный объем и тянет за собой внешнюю кольцевую оболочку. Происходящие под влиянием закалки нежелательные деформации частей машин, как, например, зубчатых колес, следует приписать происходящему при неравномерном охлаждении неравно­ мерному распределению напряжений.

§ 33. Остаточные напряжения при холодной обработке

Остаточные напряжения, возникающие при холодной обработке, прокатке, протяжке, практически могут иметь громадное значение. В латуни 4) эти напряжения могут быть иногда причиной разруше­ ния. В прокатанных или холоднотянутых электрических медных проводах остаточные напряжения достигают иногда у поверхности величины в 1500 кг/см*. Этим объясняются нежелательные деформа­ ции при скручивании.

§ 34. Допускаемые напряжения при статическом нагружении

Назначение допускаемых напряжений имеет для практики очень большое значение. Величина коэффициента безопасности зависит от многих условий: точности определения величины внешних сил,

pp. 251—266; discussion; pp. 267—269. См. также On the cause of quenching cracks.

The Science Reports of the Tdhoku Imperial University, 1918, series 1, vol. 7, № 1, pp. 43—52 и some investigation on the quenching of carbon steels. The Science Re­ ports of the Tdhoku Imperial University, series 1, 1923, vol. 12, № 1, pp. 7—25. s) W i 1 1 e H. V. Internal stresses developed by different quenching mediumes and their effects. Proceedings of the American Society for Testing Materials, 1915,

vol. 15, part 2, technical papers, pp. 27—38; discussion: p. 39—41.

*) G r e e n w o o d J. N. The failure of metals through the action of internal stress irregularities with special reference to tool steels. Transactions of the Faraday Society, 1921—1922, vol. 17, part 1, pp. 123—138. См. также M a s i n g G. Das Aufreiben von Messung durch inners spannungen. Zeitschrift fflr Metallkunde, 1924, Jahrgang 16, Heft 7, July, SS. 257—264 и W e 1 1 e r G. Dynamische Zug-Elastizi- tatsmessung am Pendelschlagwerk. Zeitschrift fur Metallkunde, 1925, Jahrgang, 17, Heft 4. April, SS. 109—114.

638 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

точности определения возникающих в рассматриваемом теле напря­ жений, однородности и качества материала и многих других. Пред­ положим, что этот коэффициент безопасности установлен на осно­ вании опытных данных. Рассмотрим, какие допускаемые напряже­ ния должны быть приняты для различных случаев напряженного состояния с тем, чтобы для всех частей конструкции была обеспече­ на одинаковая прочность.

Для пластичных материалов за основу при назначении допускае­ мых напряжений обыкновенно берут предел текучести. Если мате­ риал не имеет определенного предела текучести, то за такой предел иногда принимают напряжение, при котором остаточное удлинение составляет 0,2%. При статической нагрузке и пластичном ма­ териале высокие местные напряжения, появляющиеся вследствие концентрации напряжений вблизи отверстий, выкружек и резких изменений поперечного сечения, обычно не учитываются, потому что они могут вызвать только местную деформацию материа­ ла, безопасную для общей конструкции. Если мы имеем простое растяжение или сжатие, то допускаемое напряжение определяется из соотношения

где о3— предел текучести материала, п — коэффициент безопасности. Для общего случая объемного напряженного состояния допускае­ мое напряжение зависит от теории прочности, которая является критерием для суждения остепени напряженности.Существующие теории прочности обсуждали П. Р о т1), Т. Карман2), В. Лоде 3),

') R о t h Р. Die Festigkeitstheorie und die von ihnen abhangigen Formeln des Maschinenbaues, Leipzig, Druck von B. G. Teubner, 1902, 45 S. Dissertation. Berlin Technische Hochschule, 1902. См. также Die Festigkeitstheorien und die von ihnen abhangigen Formeln des Maschinenbaues. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1902, Bd. 48, Heft 2, SS. 285—316.

2) К a г m a n Th. Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1911, Bd. 55, № 42, SS. 1749—1757. [Перепечат­

schen Wissenschaften. Bd. 4. Mechanik, Heft 3, № 27. Leipzig, B. G. Teubner, 1910,

F 6 p p 1 L. Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre. In: Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften. Bd. 4, Mechanik, Heft 5, № 31, Leipzig, B.G. Teub­

die FlieBgrenze. Zeitschrift ffir angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd. 5, Heft 2, SS. 142— 144 и Versuche fiber den Einflub der mittleren Hauptspannung auf dasFlissen derMetalle Eisen, Kupfer and Nickel. Zeitschrift ffir Physik, 1926, Bd. 36,

§35. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ 5 3 9

М. Рош и А. Эйхингер х), Ф. Шлейхер 2) и Б. Хей 3). На практике для пластичного материала обыкновенно пользуются теорией мак­ симальных касательных напряжений. Если главные напряжения мы обозначим через Ох, ст2 и <т8 и допустим, что Oi>a£>Ot, то полу­ чим следующее условие для назначения прочных размеров:

Для хрупкого материала, как, например, чугун, в основу для определения допускаемых напряжений принимают временное со­ противление при растяжении аь или сжатии а_ь, а также теорию наибольших нормальных напряжений. В этом случае уравнение (116) заменится следующим:

Для хрупкого материала прочность может быть значительно понижена концентрацией местных напряжений. Это обычно компен­ сируется увеличением коэффициента безопасности п.

§35. Допускаемые напряжения при переменном нагружении

Вслучае простого растяжения и сжатия, если нагрузка часто меняется между отрицательной и равной ей по абсолютному значе­ нию положительной величиной, как основу для назначения вели­ чины допускаемого напряжения, следует положить предел устало­ сти ае. Тогда

Необходимо при этом заметить, что при определении возникаю­ щих при переменной нагрузке напряжений всегда следует прини-4*

Heft 11/12 SS. 913—939. [Перевод на русский язык: Л о д е В. Влияние среднего напряжения на текучесть металлов. В сб. «Теория пластичности», М., ИЛ, 1948, стр. 168—205.]

х) R о § М., E i c h i n g e r A. Versuche zur Klarung der Frage der Bruchgefahr Eidgenossische Materialpriifungsanstalt an der Eidgenossische Technische Hochschule Ziirich, Schweiz. Verband Гйг die Materialpriifungen der Technik. Zflrich, September, 1927, 14 S. [R о § M., E i c h i n g e r A. Versuche zur Klarung der Frage der Bruchgrefahr. Verhandlungen des 2. Intemationalen Kongresses fiir techni­

г е р А. Опыты, связанные с выяснением вопроса об опасности разрушения. В сб. «Теория пластичности», М., ИЛ, 1948, стр. 157— 167.]

4)S c h l e i c h e r F. Der Spannungszustand an der FlieCgrenze (Plastizitatsbedingung). Zeitschrift fur angewanate Mathematik und Mechanik, 1926, Bd. 6, Heft 3,

SS.199—216.

3)H a i g h В. P. The strain-energy function and the elastic limit. Engineering, 1920, vol. 109. January 30, pp. 158— 160.

мать во внимание концентрацию напряжений, так как появляющие­ ся при работе трещины обыкновенно берут начало у точек с высо­ кими местными напряжениями. Если напряжение меняется между двумя пределами а' и а", то оно может быть разложено на две со­ ставляющих

1)постоянную составляющую напряжения

и2) переменную составляющую

а'—а*

При вычислении аш нужно принимать во внимание концентрацию напряжений х). При определении допускаемых напряжений для раз­ личных отношений ow/a0 на прак­

При помощи этого уравнения можно определить составляющие напряжения: постоянную и переменную. Решая это уравнение отно-

*) В валах с переменным поперечным сечением радиусы закругления опреде­ ляются иногда так, чтобы коэффициент концентрации напряжений был не больше двух. Коэффициент 2 рекомендуется принимать и тогда, когда не производятся осо­ бые исследования концентрации напряжения.