книги / Прочность и колебания элементов конструкций

S 16. С И М М Е Т РИ Ч Н А Я А Р К А С О Д Н О Й С О С Р Е Д О Т О Ч Е Н Н О Й С И Л О Й 4 8 1

§ 16. Случай симметричной арки, загруженной одной сосредоточенной силой

Пусть арка АСВ (рис. 17) находится под действием одной верти­ кальной сосредоточенной силы Р, приложенной в произвольной точ­ ке К. Соответственные значения не­

известных Не, Ve и М с легко полу­ чим, применяя теорему о взаимности перемещений. Путем сравнения двух ф состояний арки: ее действительного состояния и того состояния, при ко­ тором нет нагрузок и силы в клю­ че имеют значения

Внеся выражения (54) и (64) в общую формулу (63), вычислив входящие в них интегралы для заданного очертания арки, получим распор при произвольном положении вертикальной силы Р.

Для определения перерезывающей силы в ключе сравним дей­ ствительное состояние арки с представленным на рис. 18, Ь.

Теорема о взаимности перемещений дает нам право составить следующее уравнение:

P v l — 2V cvc = 0 . (b)

Обозначения v"k и v"c представляют вертикальные перемещения точек К и С левой полуарки для случая, изображенного на рис. 18, Ь.

Внеся во вторую из формул (19) значения Р = —1, мы получим

Наконец, чтобы определить момент в ключе М с, сравним дейст­ вительное состояние арки с состоянием, представленным на рис. 18, с. Применив здесь еще раз теорему о взаимности перемещений, мы получим следующее уравнение:

в котором v'k' означает вертикальное перемещение точки К, а х'с” — угловое перемещение сечения С для случая, представленного на рис. 18, с. С помощью этого уравнения мы можем написать

Величины перемещений v'k" и х'с" мы получим на основании фор­ мулы (18) подстановкой М 0—1:

Внеся эти выражения в формулу (67) и интегрируя их, при за­ данном очертании арки получим величину момента в ключе для про­ извольного положения груза Р. Таким же способом находятся зна­ чения Не, Vc и М с для случая, когда в точке К приложена гори­ зонтальная сила. В формулах (63), (66) и (67) надо было бы заменить

КРУГОВАЯ АРКА С ЗАДЕЛАННЫМИ ПЯТАМИ

§ 18. Выбор лишних неизвестных

За лишние неизвестные примем силы Н с и Vc, приложенные в точке О (рис. 17), и момент М с. Для определения точки О применим формулу (50).

Предположим, что внешний контур арки параллелен ее оси, т. е. что арка имеет постоянное поперечное сечение. Тогда, полагая в формуле (50): у = р (1 — cos <р) и обозначая через а величину угла <р у пят арки, будем иметь

«

стрелы /, считая от центра сечения С. Это заключение можно рас­ пространить и на подъемистые арки, как это видно из чисел, при­ веденных на второй и третьей строках таблицы VII.

Числа, помещенные в трех последних строках этой таблицы, по­ казывают, что приближенные значения с мало отличаются от точных значений, вычисленных по формуле (а).

Рассмотрим еще для примера круговую арку прямоугольного переменного сечения, определяемую следующими равенствами:

изгибающим моментом и изменения расстояний у по длине арки вследствие изменения высоты h поперечных сечений. Пренебрегая этими поправочными членами, мы получаем для с/р величины, по­ мещенные на второй строке таблицы VIII. Более точные значе­ ния с/р, вычисленные с помощью формулы (d) при различных значениях Л/р, помещены на трех последних строках той же таблицы.

Сравнивая числа таблиц VII и VIII, приходим к заключению, что изменение поперечного сечения мало влияет на положение точки О, пока мы имеем дело с очень пологими арками; но как только поло­ гость арки уменьшается, положение точки О поднимается, и она помещается выше того положения, какое она занимает в случае арок

спостоянным поперечным сечением.

§19. Усилия, вызываемые изменением температуры

Чтобы определить распор, появляющийся в арке под влиянием равномерного изменения температуры, применяется общая форму­ ла (59). Входящая в нее величина и'сопределяется при помощи фор­ мулы (54). Так как эта величина будет иметь большое значение в наших дальнейших вычислениях, то мы постараемся ее определить точнее. Мы выясним затем значение поправок, вызванных влия­ нием на изгиб нормальной силы и поперечной силы, влиянием из­ гибающего момента на сжатие оси арки и т. д. Для этого восполь­ зуемся элементарным примером круговой арки.

Начнем с самого простого случая — постоянного поперечного сечения. Ограничившись первым членом выражения (54) и полагая, кроме того., ESpttE J, мы получаем первое приближение и с:’

о

Так как для круга мы имеем уравнение: «/=р(1—cos <р), то, со­ гласно равенствам (51) и (Ь) § 18, можем написать:

Соответствующий распор (формула (59)) от изменения темпера­ туры представится следующей приближенной формулой:

и тг помещены в таблице IX. Заметим, что вычисление знаменателя для пологих арок представляет некоторые трудности. Чтобы обес­ печить достаточное приближение, необходимо или вычислять числа