книги / Прочность и колебания элементов конструкций

напряжения в шпоночных пазах были исследованы опытным путем с помощью аналогии с мембраной г).

Местные напряжения, вызываемые отверстиями и желобками, исследованы Дж. Лармором4). Он показал, что просверленное в валу круглое отверстие малого диаметра, параллельное оси вала, удваи­ вает максимальное напряжение в той части вала, где просверлено отверстие. Влияние полукруглых выточек на поверхности круглого вала, параллельных его оси, проявляется в том, что наибольшее касательное напряжение у основания выточки приблизительно вдвое больше, чем касательное напряжение, вычисленное для по­ верхности вала в том предположении, что выточки нет. Коэффици­ ент концентрации напряжения в случае отверстия или выточки эллиптической формы равен (1-f-alb), где а и & — полуоси эллипса соответственно в радиальном и перпендикулярном к нему направ­ лениях.

Гидродинамическую аналогию развили Кельвин и П. Т эт3), а также Ж- Буссинеск *) и А. Гринхил*). С помощью этой аналогии можно показать, что у вершин исходящих углов контура попереч­ ного сечения вала напряжения соответственно равны нулю и бес­ конечности. Некоторые применения гидродинамической аналогии дал М. Пашу*).1*5ч2

390 S. См. § 72, SS. 84—88. [Перевод на русский язык: Ф ё п п л ь А . , Ф ё п п л ь Л . Сила и деформация. Прикладная теория упругости. Том 2, М.— Л ., ОНТИ НКТП

materials. Philosophical Magazine and Journal of Science, series 5, 1892, vol. 33, № 200, January, pp. 70—78. CM. p. 76.

ч *) К e 1 v i n W. T., T a i t P. G. Treatise on natural philosophy. Part II. Cambridge, University Press, 1895, 528 p. CM. p. 242.

*) B o u s s i n e s g J. Etude nouvelle sur f'equilibre et le mouvement des corps solides elastiques dont certaines dimensions sont tres-petites par rapport a d’autres. Journal de Mathematiques pures et appliquees (Liouville), serie 2, 1871, tome 16,

pp.125—274.

5)[G г e e n h i 1 1 A. G. Он показал, что при кручении функция напряжения математически тождественна функции тока движения идеальной жидкости, цир­ кулирующей с постоянной угловой скоростью в неподвижной трубе того же попе­ речного сечения, что и закручиваемый стержень. См. G г е е n h i 1 1 A. G. Hydro­ mechanics. Encyclopaedia Britannica. A dictionary of arts, sciences and general lite­ rature, 9 edition, vol. 12, Edinburgh. Adam and Charles Black, 1881, pp. 435—535, 11 ^edition. A dictionary of arts, sciences, literature and general information. New

Work, The Encyclopaedia Britannica Company, 1910, vol. 14, pp. 115— 135.]

•) B o u s s i n e s g J. Sur le calcul de plus en plus approche des vitesses bien continues de regime uniforme par des polynomes, dans un tube prismatique й section саггёе. Comptes rendus de l’Academie des Sciences, 1914, tome 158, № 24, 1 Semestre, pp. 1743— 1749. P a s c h o u d M. Sur le probleme du regime uniforme dans un tube cylindrique fin a section en triangle rectangle isoscele. Comptes rendus de l’Academie

А. Надаи *) и Э. Треффтц *12).

Кручение призматических стержней, у которых поперечное се­ чение сохраняет при деформации свою плоскую форму, исследова­ ли С. П. Тимошенко3*), А. Фёппль *), Ф. Губер 5) и К. Вебер ®).

Рнь. 8. Кручение двутавровой балки.

Эта задача имеет важное практическое значение при поперечных сечениях с двумя полками, как, например, двутавровое поперечное сечение, если высота балки и ширина полок не малы по отношению к длине балки. Рассмотрим случай, представленный на рис. 8. Здесь

des Sciences, 1924, tome 179, № 7, 2 Semestre, pp. 379—381. P a s c h o u d M. Calcul des vitesses de regime uniforme, par des polynomes, dans les tubes cylindriques a sections polygonales regulieres. Comptes rendus de l’Academie des Sciences, 1924, tome 179, № 9, 2 Semestre, pp. 451—454.

1)N a d.a i A. Der Beginn des Fliebvorganges in einem tordierten Stab. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1923, Bd. 3, Heft 6, SS. 442—454; B a d e r W., N S d a i A. Die Vorgange nach der Oberschreitung der Fliebgrenze in verdrehten Eisenstaben. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1927, Bd. 71,

№10, SS. 317—323.

2)T r e f f t z E. Ober die Spannungsverteilung in tordierten Staben bei teil-

weiser Oberschreitung der Fliebgrenze. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd. 5, Heft 1, SS. 64—73.

’) T i m o s c h e n k o S. Einige Stabilitatsprobleme der Elastizitatstheorie. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1910, Bd. 58, Heft 4, SS. 337—385. CM. 361. [Перевод на русский язык: «Некоторые теоретические проблемы упругой устой­ чивости» в книге: Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и обо­ лочек. Изд-во «Наука», М., 1971, стр. 384—433. См. стр. 409.J T i m o s h e n k o S . On the torsion of a prism, one of the cross-sections of which remains plane. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 1922 [February 10, 1921], vol. 20, pp. 389—397.

*) F б p p 1 A. Die Beansprunchung eines Stabes von elliptischem Querschnitt auf Drillen bein behinderter Querschnittswdlbung. Sitzungsberichte der mathematischphysikalischen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu Miinchen, 1920, Jahrgang 1920, Heft 2, SS. 261—273.

5) H u b e r F. Erschiitterungen schwerer Fahrzeugmotoren. Dissertation: Miinchen Technische Hochschule. Miinchen, Oldenburg, 1919, 86 S.

•) W e b e r C. Obertragung des Drehmomentes in Balken mit doppelflanschigem Querschnitt. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1926, Bd. 6, Heft 2, SS. 85—97.

крутящий момент M z частично передает чистое кручение, эта часть равна С dQldz, где С — жесткость балки при кручении. Другая часть вызывает изгиб полок; эта часть равна 0А=(—Dh2/2) -(d3Q/dz3), где D означает жесткость на изгиб одной полки, a h — высоту сече­ ния балки. Угол закручивания найдется из следующего дифферен­ циального уравнения:

У закрепленного конца имеем dQ/dz=0, и крутящий момент пере­ дается только поперечными силами полок. Влияние изгиба полок носит местный характер, и момент Qh постепенно уменьшается от величины M z у закрепленного конца до нуля у свободного конца. Для длинных балок влияние на угол закручивания закрепления концевого поперечного сечения равносильно сокращению длины

балок на величину а = У Dh*/2C.

§ 4. Кручение стержней переменного поперечного сечения

Если поперечное сечение стержня изменяется по его длине по­ степенно, то можно получить удовлетворительные приближенные решения для распределения напряжений, пользуясь формулами для призматических стержней.

При резких изменениях поперечного сечения обычно имеет место значительная концентрация напряжений, и потому практически не­ обходимо особое исследование местных напряжений. Особенно боль­ шое значение имеет случай кручения вала переменного кругового поперечного сечения. Общая теория кручения такого вала разрабо­ тана Дж. Мичелломх). Она была вновь развита А. Фёпплема), приме­ нившим теорию к осесимметричному конусу и цилиндрическим ва­ лам переменного сечения с круговыми выточками. Последняя зада­

удалось определить численные значения коэффициента концентра­ ции напряжения при различных соотношениях радиуса выточки р

х) M i c h e l l J. Н. The uniform torsion and flexure of incomplete tores, with application to helical springs. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, 1899. [April 13, 1900, vol. 31, pp. 130— 146. CM. p. 140.]

s) F б p p 1 A. Ober die Torsion von runden Staben mit veranderlichem Durchmesser. Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen

schrift fur Mathematik und Physik, 1907, Bd. 55, Heft 3, SS. 225—263.

менном крутящем моменте можно приписать многие случаи поло­ мок валов во время работы.

Случай цилиндрического вала с круглыми выточками исследо­ ван Ф. Виллерсом12) и Л. Фёпплем*). Кручение эллипсоида вра­ щения и параболоида вращения изучено Е. Меланом 3). В. Арндт 4*6) исследовал кручение валов с симметричными относительно оси про­ дольными отверстиями и пустотами. А. Вышомирский *) экспери­ ментально определил распределение напряжений в валах с перемен­ ным поперечным сечением, используя предложенный X. ХеллШоу •) аппарат линий тока.

К. Вольф7) обсудил распределение напряжений на концах скру­ ченного вала круглого поперечного сечения.

§ 5. Изгиб прямых призматических стержней

Общую теорию изгиба призматических стержней можно найти в статье И. Геккелера"). Из этой теории следует, что в поперечных се­ чениях, достаточно далеко расположенных от концов стержня и от точек приложения нагрузок, известная приближенная теория Якоба Бернулли дает точные значения для нормальных напряже­ ний и для кривизны упругой линии. Как известно, теория Бернулли исходит из предположения, что поперечные сечения при изгибе стержня остаются плоскими и нормальными к центральной линии стержня. Распределение касательных напряжений по поперечному

*) W i 11 е г s F. A. Die Torsion eines Rotationskorpers um seine Achse. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1907, Bd. 55, Heft 3, SS. 225—263.

elnes Kreiszylinders. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Abtellung 2a: Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie und Mechanik, 1916, Bd. 125, Heft 9, SS. 1149— 1166.

*) G e c k e 1 e г J. W. Bieugung, Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, Bd. 3, Leipzig, J. A. Barnh, 1927, SS. 130— 191. CM. S. 130.

Д. И. Журавского1). Для вычисления этих напряжений в некото­ рых случаях оказывается очень полезной мембранная аналогия 2).

Эта аналогия, например, показывает, что в случае прямоуголь­ ного поперечного сечения точные значения наибольших касательных

значения касательных напряжений, вычисленных на основе при­ ближенной теории; некоторые значения этого коэффициента даны в таблице 3 3*8).

Т а б л и ц а 3

Видно, что для отношений ЫЬ>\ достаточно точные результаты дает обычная формула для определения касательных напряжений. Если ширина поперечного сечения велика по отношению к высоте, то отклонения от результатов приближенной теории становятся зна­ чительными; но в этом случае абсолютные значения касательных напряжений обычно невелики и не имеют большого практического значения.

l) J о u г a v s'k i D. Remarques sur la resistance d’un corps prismatique et d’une piece composee en bois ou en tole der fer a une forse perpendiculaire a leur lon­ gueur. Annales des ponts et chaussees, Memoires et documents, 1856, tome 12, serie 3, 2 semestre, № 150, pp. 328—351; Ж у р а в с к и й Д. И. О мостах раскосной

11921, January 13.] pp. 373—386. См. также N e m e n y i P. Ober die Berechnung der Schubspannungen im gebogenen Balken. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1921, Bd. 1, Heft 2, SS. 89—96; W e b e r C. Biegung und Schub in geraden Balken. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1924, Bd. 4, Heft 4, SS. 334—348.

8) Вычисления производились для коэффициента Пуассона, равного 0,25. Значения несколько отличаются от данных в таблице. St. Venant. См- G e c k e l e r J. W. Biegung. Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik. Bd. 3. Leipzig, J. A. Barth, 1927, SS. 130—191. CM. S. 140.

Теория Якоба Бернулли не дает точных значений для нормаль­ ных напряжений и для кривизны упругой линии для частей балок, находящихся под непрерывно распределенной нагрузкой. В этом случае нормальные напряжения не распределяются больше по по­ перечному сечению по линейному закону, нейтральная ось больше не проходит через центр тяжести поперечного сечения, и кривизна упругой линии уже не пропорциональна величине изгибающего мо­ мента. Все эти отклонения от результатов приближенной теории, однако, малы, и ими обычно без существенного риска можно прене­ бречь.

Более точное уравнение изгиба оси можно получить, если принять во внимание так называемую поправку на касательные напряжения.

Т. Карман *) исследовал эту поправку. Эти исследования приве­ ли к следующему выражению для кривизны упругой линии:

Здесь F означает площадь поперечного сечения, р — коэффи­ циент Пуассона, ось г совпадает с осью балки. Одним из обычных способов из уравнения (13) получается уравнение прогибов. Если применять графический метод, то к фиктивной нагрузке M/EJ надо прибавлять еще нагрузку, определяемую вторым членом пра­ вой части уравнения (13). Этим уравнением нельзя пользоваться в случаях, когда М изменяется очень быстро и когда dM/dzntPM/dz* имеют разрыв непрерывности, как это случается у мест приложе­ ния сосредоточенных нагрузок и опорных реакций.

Л. Файлон *) и С. П. Тимошенко8) исследовали поправку на касательные напряжения для случая сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине балки прямоугольного сечения. В этом случае прогиб по середине определяется следующим выражением:

где I — длина балки, ah — высота ее поперечного сечения.

*) К а г m S n T h . Ober die Grundlagen der B alkentheorie. Scripta U niversita tis atque B ib lioth ecae H ierosolm itanarum , 1923, SS. 1— 11. [Перепечатка: К йгтйп T h. C ollected works. London, B utterw orths S cien tific P ub lication s, 1956, v o l. 2,

pp. 153— 163.]

2)F i 1 о n L . N . G. On an approxim ate solu tion for the bending of a beam of rectangular cross-section under any system of load; w ith special reference to p oints of

578 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

Для исследования распределения напряжений вблизи точек приложения сосредоточенных нагрузок в случае балки с узким пря­ моугольным поперечным сечением можно воспользоваться извест­ ным решением задачи относительно действия сосредоточенной силы, приложенной нормально к краю полуплоскости 1). Опыты показы­

силой Р, направленной вниз, и двумя равными, противоположно направленными горизонтальными силами Pin. Эти последние силы

Этот результат хорошо соответствует вышеуказанным опытам 8). Л. Файлон *) и В. Ридель *) рассмотрели распределение напря­ жений в балке с узким прямоугольным поперечным сечением на

основе уравнений плоской задачи теории упругости.

K 5rpers m ittles der A iryschen Spannungsfunktion. Z eitschrift fflr angew andte M athe- m a tik und M echanik, 1927, B d . 7, H eft 3, SS . 169— 188.