книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Сравнивая этот результат с выражением (14') для напряжений при статической нагрузке, заключаем, что лишь увеличение момента инерции поперечного сечения рельса уменьшает в обоих случаях величину максимальных напряжений в рельсах. Увеличение же жесткости основания, характеризуемой отношением DH, сопровож­ дается уменьшением напряжений от статических нагрузок, но зато увеличивает напряжения, возникающие от неровностей пути и колес.

Рассмотрим теперь, как меняется благодаря наличию впадин давление на шпалу. Пользуясь выражением (31), найдем для давле­ ния на шпалу такое значение:

т. е. дополнительное давление на шпалу будет пропорционально глубине впадин и пропорционально величине D. От скорости дви­ жения это давление не зависит.

Формулы (32) и (33) совместно с формулами для определения ста­ тических напряжений дают ясное представление относительно того, как влияют различные элементы, определяющие верхнее строение, на напряжения, возникающие в рельсе и балласте. Если мы имеем, например, для какого-либо рельса напряжения от статической на­ грузки, равные 1000 кг!смъ, и напряжения, вызванные прохожде­ нием колеса на впадине, равные также 1000 кг!см2, то при увеличе­ нии момента инерции рельса вдвое и при уменьшении расстояния между шпалами в отношении 5: 8 статические напряжения в рельсе уменьшатся на 37%, а динамические увеличатся примерно на 7%.

§ 7. Действие на рельс системы подвижных грузов

При изучении динамических напряжений в рельсах мы пока рассматривали движение одного колеса. Полагая, что рельс опира­ ется на сплошное упругое основание, можно без особых затрудне­ ний распространить выводы и на случай действия системы грузов. Общий ход исследования покажем на случае действия на рельс сис­ темы, состоящей из двух грузов. Если на балку, лежащую на сплош­ ном упругом основании, действуют две силы Рх и Р г, причем рас­ стояние между этими силами равно а, то прогибы ух и у2 в точках приложения этих сил определятся формулами (см. § 2)

где

r\ = e~aa (cos оса+ sin оса).

Значение т) может быть определено в каждом частном случае из таблицы III.

Из написанных выражений для прогибов легко находим

Пользуясь этими формулами, мы сможем по прогибам рельса под каждым из двух грузов найти соответствующие давления на рельс и равные им реакции, оказываемые рельсом на колеса.

Обозначим через q1 и q2 веса колес и через Qi и Qs — суммы всех-других вертикальных сил, приложенных к колесам, например давления рессор, вертикальные составляющие центробежных сил от избыточных противовесов и т. д.

Дифференциальные уравнения для вертикальных перемещений колес напишутся таким образом:

Задача сводится к исследованию колебаний системы с двумя сте­ пенями свободы. Рассмотрим предварительно свободные колеба­ ния этой системы. Полагая Qi=Q2= 0 и пользуясь для прогибов, вызываемых действием веса каждого колеса в отдельности, обозна­ чениями \ 1=aqJ2k, K2=aq2l2k, представим систему полученных выше дифференциальных уравнений в таком виде:

<0г-ч0«).

S r = - § r = v ( 0 .- 4 0 1).

Определяя из первого уравнения у2 и вставляя его в уравнение второе, придем к такому дифференциальному уравнению четвертого порядка:

Общий интеграл уравнения (34) напишется так:

у —Сх cos rxt + Сгsin rti + C, cos r j + C4 sin rst.

Периоды соответствующих типов собственных колебаний систе­ мы будут иметь значения т1=2л/г! и т2= 2я/г2.

В том случае, когда вес колес одинаков, имеем Х1=А,2=Х, следо­ вательно,

Один из полученных периодов меньше, а другой больше, чем период колебаний одиночного колеса на рельсе. Разность между пе­ риодами возрастает с возрастанием тр При г|=0 оба периода одина­ ковы и равны тому, что мы получили для одиночного колеса.

Обратимся теперь к вынужденным колебаниям системы. Предпо­ ложим, что к первому колесу приложена переменная сила Qx. Пов­ торяя прежние выкладки, мы найдем для определения прогиба ух такое дифференциальное уравнение:

Присоединяя к частному решению этого уравнения общий ин­ теграл уравнения (34), получим общее выражение для уг. Произ­ вольные постоянные в этом решении должны быть найдены из на­ чальных условий.

Рассмотрим в качестве примера колебания, вызываемые избы­ точными противовесами. Положим Qi=Q0 cos (at.

Частное решение уравнения (36), представляющее собой вынуж­ денные колебания системы, напишется в этом случае так:

Первый множитель в полученном решении есть не что иное, как статический прогиб, вызываемый силой Qx. Второй множитель представляет собой динамический коэффициент для рассматривае­

мого случая. Пользуясь обозначениями Т = 2я V^/g, Т 1 = 2п/(а,

354 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

При Т < Т Хэтот коэффициент больше единицы и больше того ко­ эффициента, который мы имели при действии одиночного колеса. Если угловая скорость вращения колеса такова, что

периодов собственных колебаний системы, знаменатель в выра­ жении для динамического коэффициента обращается в нуль, и мы можем ожидать сильного возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы.

При обычных условиях величины т]2 и Тг1Т\ представляют собой малые дроби, и мы, пренебрегая малыми высших порядков, мо­ жем положить в этом случае динамический коэффициент равным 1/[1—(l+T)2)7’2/7’;l.

Результат этот мало отличается от того, что мы имели для случая одиночного колеса, поэтому при указанных условиях можно опре­ делять динамическое давление каждого колеса как одиночного и потом действия этих давлений суммировать так же, как и в случае системы статически приложенных грузов. Если период вынуждаю­ щей колебания силы вдвое меньше Ти отношение Т2/Т\ должно быть заменено отношением АТ2/Т\. Эта величина может быть уже близкой к единице, и потому при определении динамического коэффициента нужно пользоваться общим выражением (37).

Таким же образом мы можем исследовать колебания любой систе­ мы колес, но так как на движение одного колеса существенное влия­ ние оказывают лишь ближайшие колеса системы, то практически можно при исследовании ограничиваться системой, состоящей из двух или из трех колес.

§ 8. О вибрациях рельса

При определении динамических напряжений мы пренебрегали массой рельса, а следовательно, и теми вибрациями, которые в рельсе возникают при действии переменных изгибающих сил. Мы предполагали, что в случае переменных давлений колеса на рельс зависимость между прогибами и действующими силами будет такая же, как и при статической нагрузке. Погрешности, обусловленные этими допущениями, будут тем меньшими, чем медленнее меняются силы, чем больше их период по сравнению с периодом собственных

колебаний рельса. Поэтому для оценки погрешности, обусловленной сделанным выше допущением, весьма важно исследовать колебания рельса, особенно существенно найти период основных колебаний, т. е. тех, которым соответствует наибольший период. При изучении колебаний рельса мы будем предполагать, что он имеет весьма боль­ шую длину и непрерывно опирается на сплошное упругое основание. Особенно простое выражение для колебаний мы получаем в том слу­ чае, когда концы стержня, лежащего на упругом основании, опира­ ются на совершенно жесткие опоры, и так как отсюда легко перейти к основному тону для собственных колебаний рельса бесконечно большой длины, то мы пока и ограничимся этой простейшей задачей. Если через I обозначим длину рельса и расположим начало коорди­ нат у левой опоры, то искривленная ось рельса в самом общем слу­ чае может быть представлена рядом

При вибрациях рельса коэффициенты ft, / * , . . . представятся некоторыми функциями от времени. Функции эти найдутся из соот­ ветствующих уравнений движения, и мы их скорее всего получим, рассматривая рельс на упругом основании как систему с бесконеч­ ным числом степеней свободы. В таком случае величины /„ f2 . . .

будут играть роль координат системы. Выразим потенциальную и кинетическую энергию системы через эти координаты.

Потенциальная энергия системы составится из двух частей: энергии, соответствующей изгибу рельса, и энергии деформации упругого основания. Для первой части мы можем воспользоваться известным выражением энергии изогнутого призматического стерж­ ня, тогда получим на основании (38)

о

Вычислим теперь энергию деформации основания. Сохраняя для жесткости основания прежнее обозначение k, мы найдем, что на каждую единицу длины изогнувшегося рельса приходится реакция основания, равная ky. Потенциальная энергия, накапливающаяся в упругом основании при деформации, может быть представлена так:

о

При составлении кинетической энергии системы обозначим через р вес, приходящийся на единицу длины рельса, тогда живая сила,

отнесенная к единице длины, представится так:

\_р_(ду'

2g I a t,

иполное выражение для кинетической энергии системы будет такое:

Дифференциальное уравнение, определяющее какую-либо коор­ динату напишется так:

d'fn

dtа г /«

откуда

f„ = /4cos rt + 5 sin rt,

где

Получив общее выражение для мы без всяких затруднений могли бы исследовать вопрос о свободных и вынужденных колеба­ ниях стержня, лежащего на сплошном упругом основании.

Полагая k=0, получим колебания свободного стержня с оперты­ ми концами. Наличие упругого основания повышает основной тон колебаний, и мы для соответствующего периода получим выражение

1

Т = 2п

Наконец, считая длину стержня весьма большой, получим для основного тона такой период:

Этому периоду соответствует тот тип колебаний, когда рельс, не изгибаясь, совершает вертикальные поступательные перемещения. К тому же результату мы пришли бы, если бы рассматривали рельс как стержень со свободными концами. Если мы возьмем наиболее тяжелый тип рельса и прибавим к нему вес шпалы, то можно поло­ жить р = 100 кг/м. Принимая для k значение 100 кг/смг, найдем из формулы (39), что период основного тона будет примерно равен 1/50 секунды. При такой частоте основного тона деформации, вы­ зываемые периодическими силами с периодом, ббльшим 1/6 секунды, будут весьма близки к статическим деформациям, и потому мы, пренебрегая массой рельса, с достаточной точностью учитываем динамические напряжения, вызываемые избыточными противове­

сами и силами инерции, обусловленными несовпадением центра тя­ жести колеса с осью вращения. Значительно меньшей степенью до­ стоверности обладают результаты, относящиеся к исследованию вли­ яния различного рода впадин на колесе и рельсе. Если края впадин имеют плавное сопряжение с правильной поверхностью колеса и рельса и длина впадин такова, что время пробега Тх велико по срав­ нению с периодом основных колебаний рельса, то и в этом случае влияние массы рельса незначительно. Но при коротких впадинах с неплавными сопряжениями колебания, возникающие в рельсе при прохождении колесом впадины, могут иметь весьма существенное значение. Здесь движение будет сопровождаться ударами, которые вызовут весьма значительные местные напряжения в точках каса­ ния колеса и рельса.

Выяснение величины этих напряжений потребует не только даль­ нейшей теоретической разработки вопроса, но также и целого ряда экспериментальных исследований. Ниже мы намечаем несколько вопросов, которые следовало бы подвергнуть экспериментальному изучению. Здесь же перечислим главнейшие полученные нами ре­ зультаты, которые могут иметь практическое значение.

1. Рассматривая рельс как балку, лежащую на сплошном упру­ гом основании, мы можем значительно упростить определение напря­ жений, вызываемых статической нагрузкой. Особенно существенные упрощения получаются в тех случаях, когда приходится иметь дело

ссистемой грузов.

2.Пренебрегая массой рельса, мы приводим задачу об определе­ нии динамических напряжений, вызываемых катящимся колесом,

кисследованию колебаний системы с одной степенью свободы. При­ ходится различать два рода динамических напряжений: а) напря­ жения, вызываемые неровностями по окружности колеса или поверх­ ности рельса, и б) напряжения, вызываемые избыточными противо­ весами и несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения. Динамические напряжения первого рода зависят от глубины впадин

иих формы, но не зависят от скорости движения (конечно, пока мы пренебрегаем массой рельса), так как в окончательные формулы вой­ дет лишь время, потребное для пробега впадины. Меняя длину впа­ дины пропорционально скорости движения, мы можем получить один и тот же динамический эффект при различных скоростях. Ди­ намические напряжения, вызываемые избыточными противовесами, возрастают с увеличением скорости движения, и это возрастание идет быстрее квадрата скорости. Особенно большое значение дина­ мический коэффициент может получить для сил инерции движущих­

ся взад и вперед частей, так как период этих сил вдвое меньше вре­ мени полного оборота колеса. При выяснении вопроса о возможности увеличения скорости движения в связи с прочностью пути прихо­ дится иметь в виду главным образом динамические напряжения вто­ рого рода.

Мы не делаем здесь никаких заключений относительно допуска­ емых напряжений в рельсах, так как для вывода таких заключений вопрос должен быть рассмотрен более детально. Например, при оценке влияния впадин следовало бы подробно изучить наиболее часто встречающиеся формы впадин и точно выяснить их глубину. Нужно было бы также подробнее выяснить вопрос о тех ударах, которые обычно должны иметь место при входе колеса на впадину. В вопросе о напряжениях, вызываемых избыточными противове­ сами, мы ограничиваемся лишь указанием метода расчета и показы­ ваем, как этот прием может быть распространен на случай системы движущихся колес. Величина напряжений, вызываемых избыточ­ ными противовесами, в большой степени будет зависеть от конструк­ ции паровоза, и потому оценить эти напряжения каким-либо общим динамическим коэффициентом представляется совершенно невозмож­ ным — необходимо детальное изучение каждого нового типа паро­ возов.

Для дальнейшего исследования вопроса о прочности рельсов представляет большой интерес экспериментальное изучение неко­ торых явлений. Мы полагаем, что экспериментальное исследование не должно ограничиваться наблюдениями над деформациями пути при прохождении поездов. Эти деформации представляют собой яв­ ление весьма сложное, а условия их наблюдения в пути далеко не благоприятны для обеспечения надлежащей точности работы. Нам кажется, что с пользой для дела некоторые элементарные явления могли бы быть подвергнуты экспериментальному исследованию в лабораторной обстановке, более благоприятной для точных наблю­ дений. Так мог бы быть изучен вопрос об общей деформации колес­ ных скатов под действием приходящихся на них усилий. Большой интерес представляет вопрос о вдавливании колеса в рельс и свя­ занных с этим явлением местных напряжениях. Эти напряжения могут оказывать влияние на износ рельса. Статические деформации рельса и упругие свойства различных балластов также могут быть изучены в лабораторной обстановке. При изучении динамических напряжений особенно существенно записать вертикальные переме­ щения колеса. Для этой цели можно было бы воспользоваться при­ бором типа паллографа, служащего для записывания вибраций в корпусе судов.

к В О П РО С У О В И Б Р А Ц И Я Х Р Е Л Ь С

Известия Электротехнического института, том 13, 1916, стр. 1— 17

В нашей предыдущей статье, посвященной вопросу о прочности рельс 1), мы рассмотрели ряд Обстоятельств, обусловливающих появление дополнительных, динамических напряжений в рельсах. При оценке этих напряжений мы пренебрегали массой рельса, а следовательно, и его вибрациями; мы ограничились лишь указа­ нием, что основной тон для колебаний рельса как балки на сплошном упругом основании имеет частоту, которую можно считать большой по сравнению с угловой скоростью вращения колес паровоза, и по­ тому при оценке влияния противовесов можно вибрациями рельса пренебрегать.

В настоящей заметке мы подробнее выясняем вопрос о вибрациях рельса, исследуем вынужденные колебания, возникающие в рельсе при действии переменной силы, приложенной в какой-либо точке рельса, и показываем, что амплитуда этих колебаний может значи­ тельно отличаться от статических прогибов рельса лишь в том слу­ чае, если частота переменной силы приближается к частоте собствен­ ных колебаний рельса. Далее мы выясняем, какое влияние может иметь поступательная скорость движения колеса на прогиб рельсат и показываем, что при практически достижимых скоростях это влия, ние невелико. В заключение мы рассматриваем колебания, возни­ кающие в рельсе при движении по рельсу переменной силы с посто­ янной скоростью.

§ 1. Метод исследования

При исследовании вынужденных колебаний воспользуемся урав­ нениями Лагранжа, которые в нашем случае напишутся так:

Здесь Т — живая сила системы; V — ее потенциальная энергия; фъ фа» • ■•» фп» • • • — координаты, определяющие положение

^ Т и м о ш е н к о С. П. О динамических напряжениях в рельсах. Вестник инженеров, 1915, том I, № 4, стр. 143— 152. См. также Т и м о ш е н к о С. П. К вопросу о прочности рельс. Издание Института инженеров путей сообщения. Петроград, тип. А. Э. Коллинса, 1915, 42 стр.

системы и отсчитываемые от состояния равновесия. Координаты эти, очевидно, будут функциями времени. Наконец, через Фп мы обозна­ чили обобщенную силу, соответствующую координате ф„. Она в каждом частном случае определяется из того условия, что произве­ дение Ф„-бф„ должно представлять собой работу внешних сил на перемещениях, соответствующих приращению бфл координаты ф„.

Предполагая концы стержня длины I опертыми, мы можем пред­ ставить изогнутую ось стержня в таком виде:

Коэффициенты ряда (2) будут играть в рассматриваемом случае роль координат. Выражения для кинетической и потенциальной энергии напишутся так:

4/з £ « 4фЛ + т

/

Здесь через р обозначен вес рельса, приходящийся на единицу длины, EJ — жесткость рельса при изгибе в вертикальной плоско­ сти, k — коэффициент, характеризующий жесткость основания, он колеблется в пределах 100-Н220 кг/смг.

Вставляя значения К и Г в уравнение (1), получим для определе­

Первые два члена этого интеграла представляют рассмотренные нами раньше свободные колебания стержня, соответствующие задан­ ным начальным условиям; третий член дает колебания, вызванные действием силы Ф„. В случае периодически меняющейся силы мы будем выделять из третьего члена решения (5) колебания, имеющие такой же период, как и период переменной силы. Эти колебания на-