книги / Прочность и колебания элементов конструкций

312 ВЛИЯНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ НА ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ

Если вместо растягивающих будем иметь сжимающие усилия, то для получения прогиба нужно будет в выражении (4') изменить знаки и k%.

В случае наличия сжатия только вдоль оси х мы получим для про­

Мы видим, что в рассматриваемом случае прогибы пропорцио­ нальны Л0, т. е. величине начального искривления. Прогибы рас­ тут с возрастанием k l3 и выражение (6) обращается в бесконечность, когда &х=1, т. е. когда сжимающие напряжения достигнут крити­ ческого значения.

Рассмотрим теперь смещения точек контура пластинки в плос­ кости контура при действии равномерно распределенных усилий Pi. Предполагая сечение пластинки плоскостью х=а/2 неподвиж­ ным, найдем, что в случае неискривленной пластинки все точки края пластинки, соответствующего х=а, переместятся на одну и ту же величину, равную Pta/2hE.

Если растягиваемая пластинка имеет первоначальное искрив­ ление, определяемое формулой

то к найденному выше общему перемещению точек контура пластин­ ки нужно будет присоединить дополнительные перемещения, обус­ ловленные изменениями кривизны пластинки. Это дополнительное перемещение для различных точек стороны х—а будет различно и представится таким интегралом:

Вставляя вместо w0и Wi их значения, получим для дополнитель­ ных перемещений выражение

Эго перемещение будет мало по сравнению с ранее найденным общим перемещением для точек стороны х=а лишь в том случае,

ВЛИЯНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ НА ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ 313

На основании этих соображений можно сделать заключение, что в тех случаях, когда предварительно искривленная пластинка рас­ тягивается так, что всем точкам каждой из поперечных сторон (дс=0 и х=а) дается одно и то же перемещение, то растягивающие напряжения по ширине пластинки распределяются неравномерно. При принятом выше начальном искривлении напряжения в точках, соответствующих серединам поперечных сторон, будут меньшими, нежели у краев. Это обстоятельство следует иметь в виду в тех слу­ чаях, когда приходится рассчитывать на растяжение настилы, со­ ставленные из листов, имеющих некоторое начальное искривление. С подобного рода задачами мы встречаемся, например, при расчете обшивки судов.

в том случае, когда края пластинки при изгибе могут свободно сме­ щаться в плоскости контура. Что это действительно должно быть так, проще всего видно на изгибе круглой пластинки по шаровой поверх­ ности. Предположим: АОВ (рис. 1) представляет меридиональное сечение срединной поверхности изогнутой пластинки, г — радиус пластинки, f — наибольший прогиб, 2А — толщина ее и р — ради­ ус той шаровой поверхности, по которой произведен изгиб. Эле­ ментарная теория говорит, что такой изгиб может быть осуществлен равномерным распределением изгибающих моментов по контуру пластинки. При этом срединная поверхность не претерпевает ника­ ких растяжений.

На самом деле из рис. 1 видно, что если только дуга АОВ при из­ гибе не испытала растяжений, то непременно деформация пластин­

жимо мало лишь при том условии, что f мало по сравнению с А. В на­ стоящей заметке мы показываем, как могут быть определены с до­ статочной для практики точностью все величины, характеризующие изгиб, в том случае, если f не мало по сравнению с А. Как и нужно было ожидать, задача в этом случае сводится к интегрированию си­ стемы нелинейных дифференциальных уравнений. Для решения этих уравнений можно воспользоваться приближенным вычисли­ тельным методом. Применение этого метода приводит к большому количеству арифметической работы, но только таким путем на ос­ новании отдельных численных результатов можно сделать некото­ рые общие заключения. На основании наших вычислений, проде­ ланных для одного частного случая, следует заключить, что при прогибе круглой пластинки, равном примерно 0,6 толщины, откло­ нения в прогибах по сравнению с результатами уравнения (а) могут достигать 12%. Напряжения в срединной поверхности, которыми элементарная теория пренебрегает, могут составлять 18% от напря­ жений, учитываемых элементарным путем. Ясно также, что с уве­ личением прогибов разность между результатами точной и прибли­ женной теории возрастает.

§ 2. Дифференциальные уравнения равновесия для круглой пластинки в случае больших прогибов

Пусть А (рис. 2) представляет элемент искривленной пластинки, ограниченный до деформации двумя меридиональными плоскостями н двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г и r+dr. На рисунке указаны положительные направления усилий Ти Т %и Ni, а также положительные направления моментов Gi и G*.

ш ' dr

Рис. 2.

Мы будем рассматривать лишь деформации, симметричные от­ носительно центра пластинки. Поэтому по граням элемента, соответ­ ствующим меридиональным сечениям, не будет никаких касатель­ ных усилий. Обозначая через и, v и w составляющие перемещения какой-либо точки А в указанных на рисунке направлениях, проек­ тируя усилия, приложенные к выделенному элементу, на направ­ ления п и ш и составляя момент тех же усилий относительно оси v, придем к таким трем дифференциальным уравнениям равновесия:

( 1)

Здесь через Z обозначена интенсивность сплошной нагрузки, из­ гибающей пластинку. Мы в дальнейшем займемся случаем изгиба пластинки моментами Gb равномерно распределенными по контуру. Тогда Z—0, и второе уравнение системы (1) может быть заменено таким более простым уравнением:

К нему мы легко придем, если спроектируем на направление, перпендикулярное пластинке, все усилия, действующие по сечению

из уравнений (1) перерезывающую силу Nlt получим, отбрасывая малые величины высших порядков,

^ 1 _|_ Т'х т3 _ Q

^— 0, + n r f - 0.

Входящие в эти уравнения четыре неизвестные Ти Т г, Gt и G, могут быть выражены через перемещения и и w при посредстве за­ висимостей между деформациями и перемещениями, с одной сторо­ ны, и деформациями и напряжениями, с другой. На основании са­ мых элементарных геометрических соображений ‘) можем написать такие выражения для относительных удлинений срединной поверх­ ности пластинки в радиальном направлении и в направлении, ему перпендикулярном:

ее = т .

Точно так же для главных кривизн получим выражения

у _d*w

«1 - dr* ’

*i==T~dr ‘

В таком случае

\

Т3 =

(5)

0г =

/

Здесь)*

2Eh?

31—ста •

*) К тем же результатам мы придем, если воспользуемся общими формулами теории упругости. См, L o v e А. Е. Н. Lehrbuch der E lastizitat. Autorisierte deutsche Ausgabe unter Mitwirkung des Verfassers besorgt von Aloys Timpe, Leipzig—Berlin, B. G. Teubner, 1907, 664 S. CM. S. 694.

318 О БОЛЬШИХ ПРОГИБАХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК

Отбрасывая во втором из уравнений (6) члены, имеющие множи­ телем 3/А*, придем к результату, получаемому в элементарной тео­ рии изгиба пластинок.

§ 3. Приближенное интегрирование

Перемещения и и до, входящие в уравнения (6), представляются функциями только г, и мы можем получить их значения вычисли­ тельным путем. Расположим начало координат в центре искривлен­ ной пластинки, тогда при условии симметричной деформации будем иметь при г=0: и = 0, до = 0 и dw/dr=0.

Если мы зададимся теперь величинами

(du/dr)r=о и (d2w/dr2)r=о,

то тогда при помощи уравнений (6) могут быть последовательно вычислены все дальнейшие значения функций и и до и их производ­ ных с любой степенью точности. Мы делим радиус пластинки на большое число равных участков. Пусть б — длина каждого такого участка. (В приведенном ниже численном примере принято 6=А, т. е. длина участка равна половине толщины пластинки.) Выделяем центральную часть пластинки цилиндрической поверхностью ра­ диуса 6. Для получившейся таким путем круглой пластинки весьма малого радиуса можем пренебречь влиянием прогиба на растяжение срединной поверхности и положить, что на этом участке имеются равномерное растяжение и чистый изгиб по шаровой поверхности.

В таком случае для начала координат будем иметь

Таким путем мы можем теперь заполнить первую строчку таб­ лицы А. Через а здесь обозначено начальное значение производной dufdr и через b — начальное значение dtw/dr2. Задаваясь различ­ ными а и Ь, будем получать численные решения для различных част­ ных соотношений между толщиной пластинки и ее радиусом при раз­ личных значениях изгибающего момента. От центра пластинки пере­ ходим к точкам, соответствующим радиусу 6, при помощи формул

/(б) = /(0) + бГ(б)

ИЛИ

/ ( б ) = / . + т [ Г ( * ) + /'( 0)].

Таким путем находим величины

(du/dr)r=6, (и)г=б, (d3w/dr3)r=&, (dwfdr)r=6, (zw),=e.

Вставляя эти величины в уравнения (6) и полагая в них r= б, получим значения (d2u/dr2)r=6=c и (d8a»/dr3)r=e=d.

Т а б л и ц а А

Этим способом заполняется вторая строчка таблицы. Теперь мы можем получить значения (м)г=6, (ш),_0 и их производных с большей точностью, если при повторном расчете будем пользоваться лишь формулой

т = / ( 0 ) + | [ п о ) + / ' (б)].

Полученные результаты выписаны в третьей строчке таблицы. Вставляя числа третьей строчки в уравнения (6), получим более точные значения (d2u/dr2)r=(t и (d3w/dr3)r_6. Заполнив таким образом третью строчку таблицы, мы можем перейти к определению (м)г=а0, (idu/dr)r=!ib.......... производя все вычисления в прежнем порядке. Двойное определение всех величин для каждого значения г устра­ няет возможность грубых ошибок в вычислениях и дает некоторые указания относительно степени точности вычислений при выбран­

Таким путем определяется радиус той пластинки, которой соответ­ ствуют выбранные нами значения а и b для производных (du/dr)r=0

и (d2w/dr2)r=о• Мы произвели подробные вычисления, исходя из таких значений:

а - М 0 - ‘, Ъ = 10-3/Л.

Этому, как оказалось, соответствует изгиб пластинки радиуса #= 46,3 h моментами G i= —(M,467-10_s.

Значения всех величин, характеризующих изгиб, вычисленные вышеуказанным способом, приведены в таблице В.

В последней графе приведены для сравнения прогибы да0, вы­ численные на основании элементарной теории изгиба пластинок в том предположении, что по контуру пластинки действуют равномерно распределенные моменты

Для большей наглядности на рис. 3 представлено графически из­ менение всех величин в зависимости от г.

Мы видим, что усилия 7\ убывают по направлению от центра к краям и обращаются в нуль на контуре. Усилия Т2, равные 7\ в центре, убывают по мере удаления от центра, меняют знак и дости-