книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Соответствующее решение для балки на упругих опорах даст нам Af=0,478 Р/.

Разность между результатами несколько больше 3%.

П р и м е р IV. Найти величину наибольшего изгибающего мо­ мента для рельса, расположенного на восьми опорах (рис. 5), если /=85 см, у=2.

Поступая так же, как и в предыдущих случаях, найдем

= 0.269Р/ (1,09— 0,20— 0,08) = 0.218Р/.

Соответствующее значение момента для рельса, лежащего на упру­ гих опорах, равно М =0,195 Р1.

Для этого случая, когда грузы весьма сближены, разность до­ стигает 1 1 %, но если бы мы произвели при этих условиях расчет по

рельс как балку на упругих опорах. Погрешности значительно мень­ шие, чем в том случае, когда для упрощения расчетов пользуются формулой Г. Циммермана.

Заметим здесь, что таким же образом, как мы сейчас учли влияние системы грузов на величину изгибающего момента, можно решить вопрос о давлении, передаваемом от системы грузов на какую-либо шпалу.

Остановимся теперь несколько подробнее на основных формулах (11) и (12) и постараемся оценить, как влияют изменения входящих в эти формулы величин на значения напряжений в рельсах и давле­ ний на балласт. Вставляя вместо у его значение, получаем

M - W W - « - I - K I F - <и>

Для определения наибольших напряжений от изгиба рельса приходится величину наибольшего изгибающего момента делить на момент сопротивления поперечного сечения рельса.

Для дальнейших заключений удобно момент сопротивления W выразить через момент инерции J. Если бы при изменении размеров рельсов поперечные сечения их оставались геометрически подобны­ ми, то между W и J была бы такая зависимость: aW =J‘/*, где а — постоянный коэффициент. Подсчеты, произведенные для существу­ ющих типов рельс, показали, что действительно а меняется очень

дем для величины наибольших напряжений при изгибе такое выра­ жение:

(14')

Из этой формулы заключаем, что на величину максимальных на­ пряжений, вызываемых в рельсе статической нагрузкой, оказывает наибольшее влияние изменение момента инерции поперечного се­ чения. Изменение расстояния между шпалами или изменение жест­ кости D влияет на напряжения в рельсе в значительно меньшей сте­ пени. Увеличение момента инерции вдвое позволяет при прежних напряжениях увеличить статическую нагрузку Р на 41 %. Уменьше­ ние расстояния между шпалами с 80 см до 50 см позволяет увеличить статическую нагрузку лишь на 11%.

К иным заключениям мы придем, если нас будет интересовать давление на шпалу, а следовательно, и давление на балласт. Вторая из формул (14) показывает, что изменение момента инерции сече­ ния рельса оказывает на величину давления R значительно меньшее влияние, чем изменение расстояния между шпалами. Если нуж­ но уменьшить давление на балласт, то самым подходящим сред­ ством является сближение шпал. Уменьшая расстояние между шпалами с 80 см до 50 см, мы тем самым уменьшим давление при­ мерно на 30%.

§ 4. О динамических действиях катящегося колеса на рельс

Наблюдатели, изучавшие вопрос о деформациях рельс под действием катящихся колес, отмечают, что при больших скоростях движения прогибы рельс под колесами получаются часто значи­ тельно большими, чем соответствующие прогибы при статическом действии тех же колес. Такое увеличение прогибов нужно приписать действию целого ряда причин динамического характера, которые мы здесь и перечислим.

1) Представим себе идеально правильное колесо, катящееся по гладкому невесомому рельсу, опирающемуся на упругие опоры. Вследствие неодинаковости статического прогиба рельса при рас­ положении колеса над опорой и расположении его по середине про­ лета между опорами траектория точки касания колеса с рельсом представится волнообразной линией. В таком случае движение колеса будет сопровождаться вертикальными перемещениями его центра тяжести и давление колеса на рельс будет зависеть не только от статической нагрузки, но также и от вертикальной силы инерции.

§ 4 . О ДИНАМИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯХ КАТЯЩЕГОСЯ КОЛЕСА НА РЕЛЬС 335

Прогиб рельса в силу указанной причины будет иным, чем в случае статического действия нагрузки.

2)Второй причиной, видоизменяющей прогибы рельса, являются колебания рельса и связанных с ним шпал и основания.

3)Наконец, третьей категорией причин, играющей самую су­ щественную роль, являются различного рода неправильности в очертании колеса и рельса, неправильности в положении центра тяжести колеса и изменения сил, действующих на колесо, например изменение давления рессоры, изменение сил инерции, соответствую­ щих противовесам и т. д.

Влияние кривизны траектории точки касания катящегося колеса изучено в настоящее время с достаточной полнотой. Первая попытка решения такого рода задачи принадлежит Р. Виллису J). Полное решение задачи для случая стержня, лежащего на двух абсолютно жестких опорах, принадлежит Дж. Стоксу а). Дальнейшее развитие того же вопроса принадлежит Н. П. Петрову. Ему пришла счастли­ вая мысль заменить дифференциальное уравнение уравнением в ко­ нечных разностях3) и воспользоваться приближенным решением. Таким путем удалось получить решения для балки, расположенной на двух, четырех и шести упругих опорах. Эти решения с полной ясностью показали, что при совершенно правильных колесах и рель­ сах кривизна траектории точки касания колеса и рельса не имеет никакого практического значения 4). Следовательно, при определе­ нии динамических напряжений мы не внесем существенных погреш­ ностей, если от рельса на упругих опорах перейдем к рельсу, при-*435

2) Изложение его решения см. на стр. 597 книги: С 1 е b s с h A. Theorie de l’ilasticite des corps solides. Traduite par Saint-Venant et Flamant. Paris, Dunod, 1883, p. 900. См. также W i l l i s R o b e r t . Report of the Commissioners appoin­ ted to inquire into the application of Iron to Railway Structures. London, 1849, 435 p. Appendix B. «Experiments for determining the effects produced by causing weights to travel over Bars with different velocities, made in Portsmouth Dockyard and at Cambridge by the Rev.», Robert Willis, F. R. S., Jacksonian Professor, etc.; Captain Henry James, R. E., F. R. S. and Lieutenant Douglas Galton, R. E.,

breaking of railway bridges, pp. 178—220. Иногда результаты Дж. Стокса ошибочно приписывают Г. Циммерману. Здесь уместно еще раз повторить, что Г. Циммерман

вэтой области никаких новых результатов не получил и вообще ничего не сделал для выяснения вопроса о динамических напряжениях в рельсах.

•) П е т р о в Н. П. Влияние поступательной скорости колеса на напряжения

врельсе. Записки русского технического общества, 1903, год издания 37, № 2, стр. 27— 115.

*) П е т р о в Н. П. Влияние поступательной скорости колеса на напряжения в рельсе при отступлениях колеса от круглой формы и рельса, лежащего на шести опорах, от прямолинейного вида. Записки русского технического общества, 1905, год издания 39, № 1, стр. 1—50, см. стр. 2. См. также П е т р о в Н. П. На­ пряжения в рельсах от вертикальных давлений катящихся колес. Влияние скоро­ сти и неправильного вида колес. С.-Петербург, тип. министерства путей сообщения (Кушнарев И. Н. и К6), 1907, 120 стр. См. стр. 39.

336 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

крепленному к сплошному упругому основанию. При такой замене траектория точки касания правильного колеса при постоянном дав­ лении представится прямой линией.

Вопрос о колебаниях балки, возникающих под действием катя­ щегося колеса, давно интересовал инженеров. Приближенную фор­ мулу для учета влияния собственного веса балки мы находим у Б. Сен-Венана *). Подобный приближенный прием был применен Н. П. Петровым для оценки влияния массы рельса и шпалы на вели­ чину динамического прогиба. Дальнейшее исследование колебаний балки под действием катящегося груза принадлежит А. Н. Крыло­ ву*). Вопрос о колебаниях, возникающих в рельсах, рассматривает А. Фламах8). Он исследует колебания участка рельса между двумя колесами. Принимая этот участок за балку с заделанными концами, А. Фламах показывает, что основной тон для колебаний этой балки имеет весьма малый период, но не останавливается на выяснении влияния этих колебаний на величину напряжений. Ниже мы иссле­ дуем вопрос о колебаниях рельса как стержня, лежащего на сплош­ ном упругом рсновании. Сравнение периода основного тона собст­ венных колебаний рельса с периодом вынуждающих колебания сил позволяет заключить, что вибрации рельса не влияют существен­ ным образом на величину динамических напряжений, вызываемых избыточными противовесами.

Важное влияние неправильностей колеса и рельса, а также влия­ ние противовесов на величину динамических напряжений выяснил в целом ряде работ Н. П. Петров. Пользуясь своим методом, Н. П. Петров изучал влияние различного рода впадин на колесе и рельсе при различных скоростях. Результаты при этом представля­ ются в форме числовых таблиц, что отчасти затрудняет получение общих выводов относительно влияния формы впадины и величины скорости движения на динамические напряжения. Переходя к рель­ су, лежащему на сплошном упругом основании, мы приводим задачу к исследованию колебаний системы с одной степенью свободы.

elastischen Staben. Mathematische Annalen, 1905, Bd. 61, SS. 211—234. [Перепечат­ ка: К p Ь1 л о в A. H. Собрание трудов. Том 5, математика и механика. Изд-во АН

СССР, 1937, стр. 513—537.] См. также нашу работу «О вынужденных колебани­ ях призматических стержней (Приложение к исследованию колебаний мостов)». Известия Киевского политехнического института, 1909, год 9, книга 4, стр. 201—252.

3) F 1 а ш a c'h е A. Recherches sur la flexion des rails. Bulletin de la Commis­ sion Internationale du Congres des Chemins de fer, 1903, tome 17, № 10, pp. 905— 945. CM. p. 933.

налагающиеся на статическое перемещение. Прризвольные постоян­ ные А и В, определяющие амплитуду и фазу свободных колебаний, должны быть найдены из начальных обстоятельств движения. Прак­ тически со свободными колебаниями обычно не придется иметь дела, так как они благодаря наличию сопротивлений постепенно зату­ хают ‘).

Рассмотрим теперь те колебания, которые могут быть вызваны избыточными противовесами или обусловлены несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения. Пусть q0— величина центробеж­ ной силы, соответствующей рассматриваемой скорости движения, о»— угловая скорость вращения колеса. Если мы условимся отсчи­ тывать время от того момента, когда центробежная сила направлена вертикально вниз, то колебательное движение, вызываемое этой силой, определится уравнением

Первый член этого решения представляет собой вынужденные колебания, а второй и третий члены— свободные колебания систе­ мы.

Произвольные постоянные должны быть выбраны таким образом, чтобы были удовлетворены начальные условия. Если, например, в начальный момент прогиб рельса равен статическому прогибу под действием силы ^(l+pm ) и начальная вертикальная скорость равна нулю, то при действии постоянной силы и силы q0 получим

*) Если бы мы положили сопротивления пропорциональными скорости, то уравнение движения в рассматриваемом случае представилось бы в таком виде:

i f + 2 я у '+ х У = 8 О+ P«)

и общий интеграл его написался бы так:

Свозрастанием t второй член полученного решения постепенно приближается

кнулю, затухание идет тем интенсивнее, чем больше п.

Если бы мы отсчитывали время от того момента, когда центро­ бежная сила имеет горизонтальное направление оси я, то получили бы уравнение

7 S r + ^ = ?«sinco*-

Величина прогиба при вышеуказанных начальных условиях на­

1—7ш

Если бы начальные условия были такими, как мы предполагали в двух рассмотренных частных случаях, то для вычисления наиболь­ шего прогиба рельса, а следовательно, и наибольшего давления нуж­ но было бы пользоваться выражениями (19')или (19"). В действитель­ ности скорость движения поезда нарастает постепенно, и к тому вре­ мени, когда угловая скорость достигнет значения © и центробежная сила значения q0, роль собственных колебаний будет ничтожна и нам придется принять в расчет лишь вынужденные колебания

Амплитуда этих колебаний отличается от статического прогиба tyo/q, вызываемого центробежной силой, лишь множителем

1

Этот множитель, практически всегда больший единицы, явля­ ется динамическим коэффициентом для центробежной силы. Величи­ на его зависит лишь от частоты собственных колебаний системы и угловой скорости вращения колеса. Вводя значения периода соб­ ственных колебаний (формула (17)) и время 7\ полного оборота ко­ леса, найдем для динамического коэффициента такое выражение:

1

Мы видели, что период собственных колебаний при обычно у нас встречающихся жесткостях пути колеблется в пределах l/20-i- -т-1/25 сек. Если мы примем, что время Tt одного оборота колеса в четыре раза больше Т, то для динамического коэффициента получим значение

1

1 — (0,25)*

1,07.