книги / Прочность и колебания элементов конструкций

вращении в диске постоянной толщины, если внутренний и наруж­ ный контуры свободны от усилий. В таком случае имеем два урав­ нения

Составим теперь уравнения вида (15) для трех частных предпо­ ложений относительно величин \а(А и I'JA. Выше было нами най­ дено, что при £а/Л = 1000 и !а/Л=100, £Ь/Л = 1349 и |ь/Л = —182,6.

Повторяем вычисления по прежней схеме при следующих част­

Присоединяя к этому уравнения (17) и полагая в них а=0,3, получим £а/Л =4103, £д/Л= —246,2.

Тот же результат мы получили бы, если бы воспользовались общим интегралом (6) и соответствующими значениями для произ­ вольных постоянных Ci и Са. Имея значения 1аи %'а для внутреннего контура, мы можем получить деформации и напряжения в любой точке диска при помощи ранее указанной схемы вычислений.

Прием этот, конечно, может быть применен к дискам любой фор­ мы и при любых линейных зависимостях между | и £' на внутрен­ нем и наружном контурах. Нужно только составить предварительно таблицу значений коэффициентов уравнения (4) из различных р.

§7. О напряжениях в геометрически подобных дисках

Врассмотренных выше случаях (см. формулы (8) и (9)) мы наш­ ли, что для дисков определенной формы напряжения зависят лишь от квадрата скорости на окружности диска. Это заключение легко обобщить и показать, что в геометрически подобных дисках напря­ жения в сходственно расположенных точках будут одинаковы, если одинаковы окружные скорости дисков. Положим, имеется два геометрически подобных диска I и II с отношением сходственных размеров \:k. Выделим в них два сходственно расположенных по­ добных элемента. Если напряжения в сходственных точках дисков одинаковы, то усилия, действующие по поверхности элементов, будут, очевидно, относиться как квадраты сходственных размеров. Усилия эти должны уравновешивать объемные силы, приложенные

кэлементам, в данном случае силы инерции. При каком же соотно­ шении между скоростями дисков эти силы будут относиться между собой, как квадраты сходственных размеров? Соотношение между центробежными силами, соответствующими выделенным элементам, напишется так:

/п1с ф 1:/п2а>!рх.

Принимая во внимание, что массы выделенных элементов относятся как кубы сходственных размеров и радиусы р пропорциональны сходственным размерам, найдем, что соотношение между силами инерции равно (of/co\k*.

Чтобы это соотношение равнялось 1: №, надо положить ah : © ,= —k, т. е. (о1р1=(о2р2. Получаем, что для равенства напряжений

всходственных точках необходимо равенство скоростей этих точек, а следовательно, и равенство окружных скоростей.

На основании общего уравнения (4) возможно сделать еще одно заключение, имеющее практическое значение. Легко видеть, что уравнение это нисколько не изменится, если мы у помножим на ка­ кое-либо постоянное число. Следовательно, напряжения в дисках будут сохранять свою величину, если все размеры в направлении оси вращения диска пропорционально изменять. Мы можем, сохра­ няя постоянную окружную скорость, все размеры диска изменить

визвестном отношении, а потом независимо от этого изменить раз­ меры диска в направлении оси вращения. Так можно получить диск, у которого будут изменены в известном отношении лишь разме­ ры в радиальном направлении. Закон распределения напряжений

останется прежний, если сохранена прежняя окружная скорость.

§ 8. Материалы и допускаемые напряжения

Для турбинных барабанов и дисков употребляют прокованную мягкую сталь и никелевую сталь с небольшим содержанием никеля (3%). Для кованой стали, применяемой в турбинах, можно считать,

что пределы упругости не ниже 3200 кг/см* и временное сопротивле­ ние колеблется в пределах 65004-7500 кг/сма. Что касается никеле­ вой стали, то для нее предел упругости выше 4000 кг/см* и времен­ ное сопротивление колеблется обычно в пределах 70004-9000 кг/см*, хотя имеются и более прочные сорта стали с гораздо большим вре­ менным сопротивлением *). При назначении допускаемых напряже­ ний весьма существенно оценить надлежащим образом необходимый коэффициент безопасности. В случае турбинных дисков и барабанов мы имеем дело со спокойной постоянной нагрузкой (центробежные силы), величина которой при нормальной работе может быть вычис­ лена с большой точностью. Формулы, которыми пользуются при рас­ четах, также можно считать достаточно точными, и вычисляемые по ним напряжения близки к действительности, если только мы име­ ем дело с точками, удаленными от резких изменений толщины диска или барабана. В местах резких переходов мы будем, конечно, иметь дело со значительными перенапряжениями. Но если материал до­ статочно пластичен (для применяемой в дисках стали можно считать относительное удлинение 20%4-25%, а для никелевой стали в сред­ нем 20%), то местные напряжения при отсутствии колебаний в ве­ личине нагрузок не представляют непосредственной опасности. В перенапряженных местах появятся остаточные деформации и на­ пряжения несколько выровняются.

Принимая во внимание все эти обстоятельства, заключаем, что коэффициент безопасности следует намечать лишь в зависимости от возможных повышений угловой скорости вращения турбины. При­ меняемые на практике регулировочные приспособления в худшем случае не допустят повышения скорости больше чем на 25%, при этом напряжения, зависящие от квадрата скорости, могут повысить­ ся примерно на 60% и, следовательно, коэффициент безопасности при расчете дисков и барабанов можно принять равным 1,6.

В таком случае допускаемое напряжение для мягкой прокован­ ной стали не должно превосходить 3200/1,6=2000 кг/см2. Для нике­ левой стали допускаемые напряжения могут быть равны 4000/1,6= =2500 кг/сма.

На практике обыкновенно допускают меньшие напряжения, и только в турбинах Лаваля эти напряжения достигают указанного выше предела, так как в дисках равного сопротивления при мень­ ших допускаемых напряжениях получается весьма значительная толщина. Например, при напряжении 1500 кг/см2 и при окружной скорости 400 м/сек отношение толщины диска равного сопротивле­ ния в центре к толщине на окружности получается равным 70.601*

*) Некоторые указания относительно материалов и допускаемых напряжений приведены в докладе M c K e n z i e J. N. High-speed steam-turbine rotor design and construction. Engineering, 1910, vol. 90, July 8, pp. 64—70; July 15, pp. 101— 106. (См. также стр. 275 книги A. S t о d о 1 а, упомянутой в сноске г) на стр. 247.)

выточек появятся при скручивании вала напряжения, вдвое превос­ ходящие напряжения, получаемые по формулам для кругового вала постоянного поперечного сечения. В местах соединения двух участ­ ков вала различных диаметров (рис. 8, Ь) возникают перенапряже­ ния, зависящие от кривизны сопрягающей кривой. При обычных размерах выкружки можно считать, что максимальные напряжения в переходном сечении равняются при­

В случае углубления прямоугольного поперечного сечения, как это имеет место при соединениях с помо­

щью шпонок, напряжения у входящих углов поперечного сечения вала обращаются теоретически в бесконечность. Эго указывает на то, что здесь уже при небольших значениях скручивающего момен­ та должны появиться остаточные деформации. Деформации эти при пластических материалах не представляли бы никакой опасности, если бы мы имели дело с постоянными нагрузками, но в валах усло­ вия работы материала хуже. Кроме скручивания имеется еще изгиб,

ивеличина напряжений меняется при каждом обороте вала. Колеба­ ния напряжений влекут за собой явление усталости материала в перенапряженных местах и могут послужить причиной образования трещин и излома вала. Эти обстоятельства заставляют держаться при расчете валов весьма низких норм допускаемых напряжений,

идаже при материалах высокого качества, применяемых в паровых турбинах, величина R, входящая в формулу (19), обычно не выходит из пределов 3004-350 кг/см*.

Низкие нормы допускаемых напряжений в турбинных валах приходится принимать и по другим соображениям. Обыкновенно размеры вала подбирают таким образом, чтобы нормальная угловая скорость, при которой вал работает, была значительно ниже так называемой «критической» скорости. Для повышения критической скорости приходится вал делать по возможности более жестким®),

х) Подробно вопрос о перенапряжениях в валах разобран в статье: W i 1- 1 е г s F. A. Die Torsion eines Rotationskorpers um seine Achse. Zeitschrift fflr Mathematik und Physik, 1907, Bd 55, Heft 3, SS. 225—263.

®) Есть и другие причины, заставляющие проектировать жесткие валы.

концами при закреплении диска посредине пролета коэффициент этот, как известно, равняется 48EJ/13.

Приравнивая центробежную силу реакции вала, получим для определения прогиба у уравнение

у<о® (У + е) = ау,

откуда

g ■соае

(20)

а— О-оз* g

При малых угловых скоростях и малом е прогиб у незначителен, но с увеличением а у возрастает, и в пределе, при a=Qcoa/g, форму­ ла (20) дает для прогиба у —оо. Соответствующее значение угловой скорости

и представляет собой критическую скорость.

Заметим, что при скоростях, больших критической, становится устойчивой другая форма равновесия, представленная на рис. 9, Ь. В этом случае условие равновесия между центробежной силой и силами упругости напишется так:

у со* (у— е) = ау,

откуда

g

Следовательно, с возрастанием угловой скорости прогиб убывает и в пределе у стремится сделаться равным эксцентриситету е. При этом центр тяжести будет оставаться в покое, а ось изогнувшегося вала будет описывать около геометрической оси вращения некото­ рую поверхность вращения.

Для получения величины критической угловой скорости мы ис­ ходили из предположения существования некоторого эксцентриси­ тета е. К тому же результату можно прийти и иным путем, не делая этого допущения. Допустим, что на вертикальном невысоком валу АВ (рис. 10) закреплена посредине пролета масса m=Q/g, центр тяжести которой совпадает с геометрической осью вращения. Пред­ положим сначала, что вал не вращается. Тогда при отклонении точ­ ки О от оси А В появляется реакция вала, равная ау.

Если мы предоставим отклоненный от положения равновесия груз Q самому себе, то он будет совершать гармонические колеба­ ния, частота которых, очевидно, будет равна

Сравнивая этот результат с формулой (21), найдем, что

®кр =

и можем сделать такое заключение: критическое значение угловой скорости — это то ее значение, при котором время одного оборота вала равно как раз времени одного поперечного колеба-

дния вала.

Предположим теперь, что вал А В вращается отно-

-сительно своей оси с угловой скоростью ю. Если теперь изогнуть ось вала и допустить, что плоскость изгиба вра­

/скорость (о. При опытах такое уменьшение восстанавлива-

JI ющей силы Р скажется в том, что период поперечных ко-

"лебаний вала будет возрастать с возрастанием со. Когда с

ется в нуль, груз Q окажется в состоянии безразличного равновесия. При любом отклонении будет иметь место равенство между центро­ бежной силой и силами упругости вала. Если центробежную силу рассматривать как фактически приложенную силу, то вследствие высказанного равенства сил мы найдем, что работа центробежной силы должна равняться потенциальной энергии изгиба

(23)

из этого равенства получим прежнее значение для критической уг­ ловой скорости. Тем соображением, что для момента, соответствую­ щего критической угловой скорости, мы имеем дело с состоянием без-

г) Угловая скорость вращения плоскости изгиба вала может и отличаться от скорости вращения вала ы. Легко, например, представить себе такой случай, когда плоскость изгиба не вращается вовсе, вал же вращается со скоростью ы, причем продольные волокна вала работают то на растяжение, то на сжатие. Это соображе­ ние нужно иметь в виду, чтобы ясно представить себе возможность перехода от формы движения рис. 9, а к форме рис. 9, Ь.

различного равновесия, воспользуемся для разыскания <окр в более сложных случаях. Оценим прежде всего влияние массы вала на ве­ личину критической угловой скорости. Пока мы этой массой пренеб­ регали, изгиб вала вполне определялся величиной прогиба у посере­ дине пролета, приходилось иметь дело с системой с одной степенью свободы. Принимая во внимание массу вала, мы переходили к сис­ теме с бесконечным числом степеней свободы, и точное решение за­ дачи о колебании этой системы и определение соответствующей кри­ тической скорости привело бы нас к уравнениям в частных произ­ водных. Мы сможем упростить задачу и получить приближенное значение со^, с достаточной для практики точностью, если восполь­ зуемся приближенной методой Рэлея, которая дает прекрасные ре­ зультаты при решении различного рода задач акустики.

Будем заранее задаваться видом той кривой, по которой гнется вал, если массе Q/g сообщить перемещение у. Таким путем мы нашу сложную систему обратим в систему с одной степенью свободы, и для определения критической скорости сможем написать уравнение, аналогичное уравнению (23). Обозначим через т) прогиб в каком-либо сечении вала; через q — вес единицы длины вала; EJ — жесткость вала при изгибе. Тогда при наличии одного диска получим уравнение

(24)

Второй член в левой части полученного уравнения представляет собой работу центробежной силы, приложенной к валу. В правой части уравнения имеем потенциальную энергию, соответствующую изгибу вала. При наличии нескольких дисков уравнение (24) можно представить в таком виде:

При составлении уравнений (24) и (24') мы не принимали во внима­ ние того обстоятельства, что искривление вала сопровождается нак­ лоном плоскостей дисков к геометрической оси вращения. Наклон этот обусловливает появление моментов сил инерции, противодей­ ствующих изгибу. Это обстоятельство повышает жесткость вала и увеличивает значение сокр. Учесть его можно следующим образом. На рис. 11 представлен в двух проекциях диск, плоскость которого наклонилась к оси х благодаря изгибу вала.

Рассмотрим четыре элемента диска, расположенных симметрич­ но относительно осей у и 2. Горизонтальные составляющие соответ­ ствующих центробежных сил взаимно уравновешиваются, что же касается вертикальных составляющих, то они приведутся к силе и к

Суммируя все такие элементарные пары, найдем, что они приво­ дятся к паре сил 0 dyfdx, где 0— момент инерции диска относительно

оси г. Направление вращения пары таково, что она противодей­ ствует изгибу вала и, следовательно, производит при искривлении

вала отрицательную работу, равную—7*6 ( 35П •

Принимая во внимание этот результат, можем уравнение для оп­ ределения критической угловой скорости представить в таком виде:

Этот результат и представляет собой общее решение задачи о разыскании критической угловой скорости. Применяя методу Рэ­ лея, мы заранее задаемся формой изгиба и, следовательно, имеем т] в виде некоторой функции от х, имеем также величины yt и dyt/dx. Вставляя их в формулу (23), мы сможем вычислить сокр. Получае­ мое таким путем значение критической скорости будет больше дей­ ствительного, потому что, задаваясь формой изгиба вала и обращая систему с бесконечным числом степеней свободы в систему с одной