книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf542 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
Первые члены этих формул представляют величины, которые мы имели для случая, в котором веревочная кривая совпадала с продольной осью арки (§ 20). Вторые члены дают оценку влиянию изгибающего момента, происходящего от несовпадения в рассмат риваемом случае двух кривых. Формулы (с) дают возможность вычислить М' и Н' для любого угла а, принимая во внимание ра венства
|
1 ^ |
= 1п^ ( т + у ) = 1п(5еса+ ^ а)> |
|
|
а |
О |
|
|
|
а |
|
|
|
|
J (У— У1) |
= Р j |
(1 —cos ф—sin2 ф |
Жр = |
|
О |
о |
[ |
1 — cos а / а |
|
|
|
sin 2 a |
||
а |
|
а - |
з ш а ----Ш * г {-2 |
~ г Л * |
|
|
|
|
|
j ( 0 —yi)yd<f =
О
а
= р2 J ( 1 —cos ф—sin4 ф 1~ пС°дф) (1— cos ф) Лф =
0 |
02 |
/ |
|
|
|
7 |
= 0 , , |
2а—3acosaa — sina — sin3a + |
|||||
z sin |
ct \ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
+ у |
sin? a cos a + a cos a -f sin a cos a |
||
|
|
|
|
3 |
ds |
|
|
|
#*# |
_ |
( |
__p *a |
|
|
|
c |
|
,) T J |
~ 7 7 • |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Теперь легко |
определяется |
(рис. 19) и величина распора в клю |
||||
че Н—Н0—Н' и величина |
изгибающего момента в ключе М= |
|||||
=Н'с—М ', |
|
|
|
|
|
|
Для сравнения соответственных численных значений двух чле нов формул (с) приведем несколько чисел, вычисленных для случа ев, когда а=36° и а=54°.
h 1
Пусть а=36° и — = JQ , вторая из формул (с) дает нам:
-^- = 0,1942—0,0106= 0,1836.
Лс
Это означает, что относительное уменьшение распора сравнительно с распором Но трехшарнирной арки мало отличается от уменьшения распора, которое получается в случае полного совпадения веревоч ной кривой с продольной осью арки.
§ 29. ОСЬ АРКИ БЛИЗКА К ВЕРЕВОЧНОЙ КРИВОЙ |
543 |
Так как для равномерно распределенной нагрузки
Я 0 = |^ - = 0,7692<7/, Я '= 0,1412(7/,
то величина распора в ключе получается равной
Я = Я0—Я ' = 0,6280 ql.
Этот результат на 0,0002 отличается от того, который приведен для соответствующей арки в таблице XV.
Пусть далее Л/р=1/20; вторая из формул (с) дает нам:
^ = 0,0592 —0,0133 = 0,0459,
По
тогда
Я = Я 0—Я '=0,7338 ql.
Из этого видно, что влияние изгибающего момента растет по мере того, как уменьшается толщина арки.
Когда веревочная кривая проходит ниже продольной оси арки, как было в только что рассмотренном нами примере, горизонталь ные перемещения точки С, вызванные изгибом, противоположны тем, которые вызываются сжатием оси. Этому явлению соответству ет уменьшение распора. Из этого следует, что уменьшением влия ния изгиба или уменьшением толщины арки, или увеличением рас стояния у—у! между веревочной кривой и продольной осью арки можно достигнуть такого очертания арки, при котором распор Я ' станет отрицательным и распор Я превзойдет распор, который мы получили бы для подобной же трехшарнирной арки. Проследим это на примере круговой арки с углом а=54°. Очевидно, что для та кого большого угла расстояния у—ух между параболой и круговой осью арки получаются более значительными, чем в более пологой арке, которую мы только что изучили. Можно наперед сказать, что влияние изгибающего момента будет более значительно. Полагая h/p= 1/10 и подставляя вместо Я 0 его значение 0,4907 ql, получим в этом случае
Щ-= 0,0512— 0,0328 = 0,0184, Я = Я 0—Я ' = 0,4817<7/.
По
Хотя влияние изгиба более значительно, чем в предыдущем слу чае, однако распор еще положителен, следовательно, распор в арке с заделанными пятами не достигает величины распора подобной трехшарнирной арки.
Положим затем ^ = ^ . Тогда
^По= 0,0135—0,0343 = —0,0208, Я = Я ,—Я ' = 0,5009^/.
544 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
Значение изгиба достигает такой величины, что распор получает ся больше того, который наблюдается в трехшарнирной арке (см. величины Я и Я0 таблицы XV).
Определим теперь изгибающий момент в ключе. Первая из фор мул (с) дает нам
M '= - ? f{ ^ ln ( s e c a + tga) +
+S-4-J—(2asin2a — 2 sin3 a —a + a cosa+ sina cos a —sin a cos® a) >. |
|
e Sin-C( |
I |
Входящий в это выражение член |
12 |
In (seca -f tga) встречался |
|
в примере, когда веревочная кривая совпадала с продольной осью арки. Следующий член учитывает влияние изгиба. Чтобы иметь представление об их относительной величине, приведем несколько числовых результатов. Положим a =36° и /г/р=1/10, тогда формула
(d) дает нам:
ЛГ = щ (0,000562 —0,001696) = —0,001805Яор.
Мы видим, что под действием изгибающего момента величина АГ меняет знак, который она имела в случае совпадения веревоч ной кривой с продольной осью арки.
Изгибающий момент в ключе определяется следующей форму лой:
Л1=Я'с—ЛГ=0,1836Я*с+0,001805Яор=0,01380Яор=0,009029<7/®,
дающей, как видно, результат, близкий к результату таблицы XV. Для Л/р=1/20 мы имеем:
ЛГ = |
(0,0001405—0,001696) = — Я 0р-0,002475 |
идля момента в ключе:
М= Н'с—М ' = Я0р (0,00297 + 0,00248) = 0,003557(7/*.
Влияние изгиба проявляется в том, что изгибающий момент в ключе превосходит изгибающий момент, получаемый при совпаде нии веревочной кривой с продольной осью арки, а также в том, что кривая давлений перемещается, приближаясь к верхней части сечения в ключе.
Для а=54° мы получим тот же результат, но в более резкой фор ме, так как здесь значение изгиба более сильно.
Положим Л/р=1/10. Тогда
ЛГ = (О.СЮ0937—° ,° 1358) =. —° ,01341Яор.
i 29. ОСЬ АРКИ БЛИЗКА К ВЕРЕВОЧНОЙ КРИВОЙ |
5 4 5 |
Момент в ключе: |
|
М = Н'с—М' = Н„р (0,00262 + 0,1341) = 0,00486?/*. |
|
Для Л/р= 1/20 получим: |
|
М ' = ^ 5 (0,000234—0,01358) = —0,01416Я0р, |
|
М = Н 'с —М' = Н0р (—0,00295 + 0,01416) = 0,01121Я„р = = 0,00340?/*.
Полученные величины близки к величинам таблицы XV, что под тверждает правильность практического применения формул (72) и (73).
Чтобы иметь представление об отношении, существующем меж ду положением, занимаемым кривой давления в ключе, и расстояни ем между веревочной кривой и продольной осью арки, рассмотрим таблицу XV. Смещение 6 кривой давления относительно центра се чения ключа получается от деления момента в ключе М на распор Н.
Величины этого смещения |
приведены в таблице XXVI. Сравнивая |
||||||
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а XXVI |
||
а» |
1/1 |
h/p |
б/А |
|
Ndql |
в,/А |
|
|
|
1 |
0,259 |
—0,0337 |
0,775 |
—0,395 |
|
|
|
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
27 |
1,200 |
1 |
0,145 |
—0,0117 |
1,016 |
—0,209 |
|
20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0,104 |
—0,0048 |
1,092 |
—0,119 |
|
|
|
30 |
|||||
|
|
1 |
0,169 |
—0,0139 |
0,802 |
—0,203 |
|
|
|
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
36 |
0,1625 |
1 |
0,114 |
—0,0021 |
0,888 |
—0,056 |
|
20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0,105 |
+0,0007 |
0,908 |
+ 0,028 |
|
|
|
30 |
|||||
|
|
1 |
0,165 |
+0,0025 |
0,688 |
+ 0,058 |
|
|
|
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
54 |
0,2548 |
1 |
0,220 |
+0,0060 |
0,699 |
+ 0,278 |
|
20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0,299 |
+0,0067 |
0,702 |
+0,461 |
|
|
|
30 |
|||||
546 РА С Ч Е Т У П Р У Г И Х А РО К
их со смещениями, относящимися к круговой арке с постоян ным сечением, в таблице XI, мы видим, что смещение веревочной кривой книзу от продольной оси вызывает перемещение кривой дав ления кверху.
Как и можно было предвидеть, эти смещения тем больше, чем тоньше арка и чем значительнее величина расстояния у—уг.
Чтобы вычислить усилия, появляющиеся от действия собствен ного веса в момент раскружаливания, особенно интересно знать перемещения кривой давления в пятах, так как именно здесь эти усилия могут достичь максимальных значений. Для этого мы
ala
определим изгибающий момент М г по формуле М г= М -+-fH —-у и соответственное нормальное усилие по формуле
Nx= Н cos а + -у- sin а.
Полученные таким образом численные значения приведены в таблице XXVI. Они послужат нам для определения величины сме щения бх, которые имеет кривая давлений в пятах. Они приведены в той же таблице и имеют знак минус, когда смещение происходит от центра сечения к центру кривизны, и знак плюс в обратном слу чае.
Сравнение этих результатов с соответственными числами табли цы XIX показывает нам, что обстоятельства, обусловливающие сме щение кривой давления кверху, смещают ее в пятах таким образом, что удаляют ее от центра кривизны и уменьшают величину отрица тельного изгибающего момента, который имеет место при совпаде нии продольной оси арки с веревочной кривой.
В арках малой пологости, для которых расстояния между пара болической кривой и круговым очертанием арки значительно, мо мент в пятах становится положительным, и продольная ось дважды пересекает кривую давления в каждом полупролете 1). Эти условия получены для самой тонкой арки при углеа=36° и для арок при уг ле а=54°.
Полученные таким образом результаты дают некоторые ука зания для выбора рационального очертания продольной оси арки. Отодвигая ее кверху от веревочной кривой, мы можем получить значительные уменьшения изгибающего момента в пятах за счет увеличения, менее значительного, момента в ключе. Выбор под ходящих отклонений может быть сделан повторным применением формул (72) и (73).)*
*) Эти пересечения необходимы, так как в противном случае изгибающий мо мент сохранил бы один и тот же знак на всем полупролете, что противоречит основ ному условию, заключающемуся в том, что сечение ключа не может провора чиваться.
§ 2 9 . ОСЬ А Р К И Б Л И З К А К В Е Р Е В О Ч Н О Й К Р И В О Й |
547 |
Для примера изучим арку переменного сечения, удовлетворя ющего условиям
F = -% L . и J = - ^ ~ . |
|
cos ф |
соэ^ф |
Для случая круговой оси арки формулы (а) дают нам
(d)
н' = lit [ (JS r + Шоf 1у- уЛ(у~ с>cos3 ф d(f
Входящие в эти выражения интегралы проще всего вычислить по формуле Симпсона. Численные значения подынтегральных функ ций для угла а=36° при разложении полуарки на шесть клиньев приведены в таблице XXVII.
|
|
Т а б л и ц а XXVII |
ф* |
~ ( У ~ Pi) COS* Ф/p |
— (11 — Ух) Уcos* Ф/р* |
0 |
0 |
0 |
6 |
0,000553 |
0,0000030 |
12 |
0,001912 |
0,0000418 |
18 |
0,003307 |
0,0001618 |
24 |
0,003809 |
0,0003293 |
30 |
0,002742 |
0,0003674 |
36 |
0 |
0 |
На основании таблиц имеем: |
|
|
|
а |
|
- |
J (У-Уг) Уcos'* <pd<p = 0,002871 - - ^ V , |
|
ял
—J (у— */x)cos3<pdq> = 0 , 0 3 7 8 5 p.
С другой стороны, из таблиц VIII и X мы находим:
|
|
с = 0,05537 |
для |
- ^ = 1 , |
|
||
|
|
|
|
|
р |
10 |
|
|
|
с = 0,05471 |
для |
•£- = ! , |
|
||
|
Р8 |
sin а |
|
sin а |
для |
А0 |
1 |
: |
EJn |
т |
EJ0 |
282,0 |
h0 |
|
|
_ |
Р |
sin а |
|
|
ДЛЯ |
1 |
|
Uc = |
EJt |
360,4 |
|
|
Т |
= 20 |
|
|
|
|
ДЛЯ |
||||
548 |
Р А С Ч Е Т У П Р У Г И Х А Р О К |
Внося эти величины во вторую из формул (d), получим:
# ' |
- |
(°,0004946—0,000°271) = 0,2242#„ |
для |
- ^ = 1 , |
Я ' |
= |
(0,0001237 — 0,0000279) = 0,0587#, |
для |
у = |
Как можно было предвидеть, величина распора Я ' получается немного больше, чем для арки постоянного сечения той же толщи
ны |
в |
ключе. |
|
|
|
Вычислим изгибающий момент в ключе. Имея равенство |
|||
|
|
а |
|
|
|
|
0 Ж = £771 cosS Vd(p= -Щ ( sina~ SJi r ) = °’5201 ж ’ |
||
на основании формулы (d) получаем: |
|
|
||
м ' |
( т ^ - 0 . 0 0 1 3 2 1 ) = - 0 ,0 0 1 5 3 2 » * |
для £ |
= ^ , |
|
М |
' = |
И м Г ( т ^ ~ ° ’°°1321) = —°.°°2288HJ > |
для £ |
= |
Момент в ключе и смещение б кривой давления получаются из следующих отношений соответственно для каждого из рассматри ваемых случаев
для Л0/р = 1/10
М = Н'с— М' = 0,2242- 0,05537#оР + 0,001532#оР = 0,01394#оР,
б = 0,° 1394gop = 0,01797р = 0,1797Л0,
Пц— П
для hjp =1/20,
М = 0,0587- 0,05471#0р + 0,002288#0р = 0,005499#0р;
б = °’° ^ 9^ оР = 0,00584р - 0,117#,.
Мы видим и здесь, что влияние изгибающего момента, вызван ного удалением веревочной кривой от оси арки тем больше, чем тоньше арка. Имея М и Я, легко найти величины момента Mi и пере мещения 6i в пятах. Изменяя расстояние оси от веревочной кривой, можно подбором найти наивыгоднейшее очертание для рассчитывае мой арки.