книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МНОГОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ВЫБОРОМ СТРУКТУРЫ МАТРИЦЫ УПРАВЛЕНИЯ

§26Л. Постановка задачи

Вэтой главе рассматривается система автоматического управле­ ния, представленная системой уравнений вида

где х — вектор фазового состояния {* е /?'*}, и — вектор управлений {и G /5/}, A(t), Н(1) — матрицы с размерами соответственно п х п,

нужное число раз, h(t, х) — столбцовая матрица (типа л х 1), эле­ менты которой — нелинейные функции отношений Xj такие, что рав­ номерно по t на [i0,T]

Связь между вектором управлений и вектором состояния рассмат­ риваем в виде

где B(i) — матрица с размерами п х I и элементами, дифференци­ руемыми по t любое нужное число раз.

Рассмотрим следующую задачу: можно ли соответствующим вы­ бором матрицы K (t) линейного преобразования

Д л я реш ения поставленной задачи, следуя не раз использованному

по обеим аргументам и регулярная по е в окрестности точки е = 0 .

и к исходной однородной системе, если в этих соотношениях при­ нять е = 1. Учитывая это, построим сначала аппарат формального расщ епления (26.1.6) путем соответствующего выбора матрицы ли ­ нейного преобразования (26.1.4) и матрицы В ( т, е).

§26.2. Алгоритм формального расщепления уравнения (26.1.6)

Формальное расщепление уравнения (26.1.6) определяется сле­ дую щ ей теоремой.

Те о р е м а 26.2.1. Замена переменных

причем — невырож денная дифференцируемая мат рица* по ­ р яд ка п, удовлет воряю щ ая уравнению

♦ Смысл верхнего индекса будет понятен из дальнейшего.

т то

Здесь М ^> — матрица, обратная К^т\ a D 1' 1 — квадратная матри­

риц К и К\® — вообще говоря, прямоугольные матрицы, размеры

которых уточняю тся ниже, а Л ^ ] — субматрицы квазидиагональ-

§26.3. Исследование уравнения (26.2.8)

Имеем

М атричное уравнение (26.3.1) при заданных Л и Н связы вает м еж ­ ду собой три матрицы К ,А и В0. Аналогичным образом при задан­

ных А и В0 это уравнение связывает тройку матриц К , А, Н .

В конкретных задачах, особенно в задачах синтеза, возникает потребность конструировать одну или две матрицы из этих троек так , чтобы третья матрица имела бы вполне определенный вид. Т ак возн и кает проблема: можно ли по каждой матрице из одной или другой тройки определить две другие из той же тройки и, если м ож но, то как это сделать? В соответствии с такой постановкой рас­ смотрим различны е возможные ситуации, которые могут возникать при реш ении практических задач, не вдаваясь пока в существо этих задач . Подробное рассмотрение всевозможных комбинаций, мысли­ мы х при такой постановке, потребовало бы слишком много места и вн им ания, и потому выходит за рамки настоящей книги. Мы огра-

ничимся лишь рассмотрением некоторых, на наш взгляд, наиболее интересных для приложений случаев, проведя это рассмотрение до конца, а в остальных случаях ограничимся лишь формулировкой алгебраической задачи.

Матрица BQзадана. Требуется построить матрицы К и Л. В рас­ сматриваемом случае матрицы А, Я, и В0 являются известными и требуется построить К и Л так, чтобы матрица Л имела заданную структуру. Мы здесь будем требовать, чтобы Л имела квазидиаго-

значения могут быть разбиты на некоторое число р непересека-

В этих предположениях могут быть построены матрицы К А, удов­ летворяющие уравнению (26.3.1), и при этом А будет иметь квазидиагональный вид А = diag(A,, Л2, ...» Ар).

Метод построения этих матриц с подробным обоснованием изло­ жен в гл. 5 настоящей книги и коротко сводится к следующим по­ строениям. Каждой группе сг собственных значений матрицы U ста­ вится в соответствие многочлен

р*»

Ранг матрицы А0(Я), которая получается Да(Х) после замены X из на U , оказывается в точности равным числу касобственных значений матрицы £/, включенных в группу сг. Поэтому матрицу Aa(U) можно представить в виде произведения матрицы Катипа п х ка с калиней­ но независимыми столбцами на матрицу М0отипа кд х п с калинейнб независимыми строками:

д ,{V) = К„ма .

О

(Здесь мы использовали то обстоятельство, что М0 Ка — невырож-

о

денная квадратная матрица порядка ка.) Построенные таким обра­

Ek — единичная матрица порядка ка.

о

Пусть К JL М — блочные матрицы порядка п, составленные из построенных указанным выше способом субматриц Ка , Ма , так

что

К = ( Kl K2 ... Кр), М = col (M t Мг ... Мр).

В силу (26.3.6) очевидно

Наконец, субматрицы А0 квазидиагональной матрицы А опреде­ ляются соотношениями

Рассмотрим другой случай. Пусть теперь заданы субматрицы Ла(а = 1, 2, ..., р) матрицы Л или же собственные значения этих

матриц, а именно

(26.3.1).

Алгоритм построения матриц Ка, М0, Ла(ст= 1, ..., р), приве­

денный в п. 26.3.1, можно использовать в рассматриваемом случае для построения К и М , а затем и BQ. В самом деле, в случае за­

дания собственных значений субматриц Л0 вопрос решается авто­

матически, поскольку собственные значения этих субматриц как раз и образуют в совокупности все множество собственных значе­ ний матрицы А + НВ0 = U, причем, при разбиении собственных

значений матрицы U на непересекающиеся группы, группа «сг» бу­ дет как раз состоять из собственных значений субматрицы А а.

/

П (Л, -

5—1 У= 1

р

П ГКЛг-^Ч,)

5=1 У= 1 5*0

П П(Л„-*$»£.)

5=1 У= 1 5*0

5=1 У= 1

5 * 0

Вводя обозначение

Согласно (26.3.10) имеем