книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdf
Умножим это выражение слева на X*(t, /0)СТ(Г) и проинтегрируем полученное соотношение в пределах от t0 до t:
J X*(s, t0)CT(s)C(s)y(s)ds = [^ (s , f0)CT(s)C(s)Z(s, *0)rfs]x(*0). *0
Сравнивая правую часть этого равенства с (22.2.1), замечаем, что в квадратных скобках стоит матрица N(t0, fL), поэтому имеем
$ Хт(s, *0)CT(s)C(s)y(s)</s= N(t0,
‘0
Так как матрица N(t0, /,) — неособенная, то состояние системы x(t0) может быть определено по выходу y(t), известному на интер вале [*0, /J , формулой
x(t0) = t T l(t0>rt)J ^ (5 , tQ)Cr(s)y(s)ds. |
(22.2.3) |
Лемма доказана. ■ Формула (22.2.3) дает конструктивный способ вычисления на
чального состояния. Если обозначить CTN = X T(t, ^0)СТ(^), то мат рица N(t0, *,), как нетрудно видеть, будет иметь вид (21.3.1) и к ней применимы леммы 21.3.2, 21.3.3, а также справедливо следст вие из леммы 21.3.3 с заменой W{t^ *х) на N(t0, ft) и G(t) на G*N.
Имеет место следующая теорема, аналогичная теореме 21.3.3. Т е о р е м а 22.2.1. Для того чтобы система (22.1.2)—(22.1.3)
была вполне наблюдаема на интервале [f0, fj, необходимо и до
статочно справедливости одного из трех утверждений: а) матрица N(t0, tx) положительно определена;
б) столбцы матрицы GN(t) = C(t)X{t, /0) — линейно незави симые функции времени на интервале [l0, f,];
в) равенство C(t)X(t, tQ)f = 0 возможно только при нулевом векторе /.
До к а з а т е л ь с т в о .
1.Достаточность доказывается совершенно аналогично дока зательству достаточности теоремы 21.3.3 и следует из леммы 22.2.1, 21.3.2, 21.3.3 и следствия из леммы 21.3.3.
2. Докажем необходимость. Если не выполнено условие (а) те оремы, то, как и в теореме 21.3.3, из этого следует нарушение ус
S(t) — невырожденная и дифференцируемая на |
[*0, *,] матрица |
размеров п х п. Будем иметь новую систему |
|
§ = A(t)x, |
(22.2.4) |
У = С ( 1 ) х , |
(22.2.5) |
где |
|
A(t) = S - ,( O A ( t ) S ( t ) - S - ' ( t ) ij f !-, C(t) ~ C(t)S(t). (22.2.6)
Для систем (22.1.2)—(22.1.3) и (22.2.4)—(22.2.5) справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 22.2.2. Система (22.2.4)—(22.2.5) вполне наблюда ема на интервале [/0, /J тогда и только тогда, когда вполне на
блюдаема на интервале [<0, |
система (22.1.2)—(22.1.3). |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Запишем |
матрицу наблюдаемости |
|||
(22.2.1) для системы (22.2.4)—(22.2.5): |
|
|
|||
|
____ |
_ |
|
|
|
1,) = \ |
y (s, |
l0)C’(s)C(s)X(s, |
l0)ds. |
(22.2.7) |
|
Здесь X(t0, *j) — матрица |
Коши |
системы |
(22.2.4). |
Матрица |
|
X(t, t0) связана с матрицей Коши X(t, t0) системы (22.1.3) соотно
шением А t0) = S~l(t)X(t, t0)S(t0). Учитывая это равенство и обозначения (22.2.6), получаем
C(t)X(t, t0) = S~l(t)X(t, t0)S(t0).
Подставляя это выражение в (22.2.7) и принимая во внимание (22.2.1) , имеем N(t, t0) = i,)5(i0). Так как S(l) - не вырожденная матрица, то ранги матриц N(t0, ^) и N(t0, tx) совпа
дают. Это и доказывает теорему. ■ Следовательно, свойство наблюдаемости инвариантно относи
тельно преобразований координат, т.е. не зависит от выбора коор динат в Rn.
§22.3. Принцип двойственности в теории управляемости
инаблюдаемости
Мы уже видели, что теорема о необходимых и достаточных ус ловиях наблюдаемости имеет большое сходство с соответствующей теоремой об управляемости. Имеется глубокая связь между управ ляемостью и наблюдаемостью.
Рассмотрим две системы: |
|
|
|
||
|
4±= A (t)x + B(t)u, |
|
(22.3.1) |
||
х е л " , |
и £ Г ; |
у = C(t)x, |
y e |
||
Rr, |
|||||
|
^ = — Лт(0* —Си, |
|
(22.3.2) |
||
x G R n, |
|
y = - B I(t)x, |
|
||
й € / г г; |
у e |
R,n. |
|||
Система (22.3.2) называется двойственной (или сопряженной) по отношению к системе (22.3.1). Легко видеть, что и наоборот, сис тема (22.3.1)—двойственная системе (22.3.2). Системы (22.3.1), (22.3.2) называют также взаимно двойственными.
Следующая теорема устанавливает связь между наблюдаемостью системы (22.3.1) и управляемостью двойственной системы (22.3.2).
Т е о р е м а 22.3.1. Система (22.3.1) вполне наблюдаема на ин тервале [/0, *,] тогда и только тогда, когда сопряженная систе
ма (22.3.2) вполне управляема на [f0, fj.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимые и достаточные условия на блюдаемости системы (22.3.1) на основании теоремы 22.2.1 можно исследовать до рангу матрицы N(i0, f,), определяемой из (22.2.1):
N(t0, J X*(s, tQ)CT(s)C(s)X(s, t0)ds.
Аналогично необходимые и достаточные условия управляемости си стемы (22.3.2) на основании теоремы (21.3.3) можно исследовать по рангу матрицы W(t0, tL), определяемой из (21.3.13) с точностью
до обозначений в системе (22.3.2):
W(t№(,) = $ Х (/0, s)C(s)C(s)X'U0, s)ds,
где X(l, <0) — матрица Коши, нормированная в точке tQ, системы
dxf dt = —AT(t)x. Из свойства матрицы Коши имеем X(tQ, t) =
= X~l(t, t0). В свою очередь матрица X(t, t0) удовлетворяет урав нению
^ = |
W 0. = Еп- |
Сравнивая два последних равенства, замечаем, что X(i0, t) =
= X7(t, /0), откуда следует равенство
