книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfПодставим блочные выражения матриц и в матричное уравнение (26.4.4). Получим следующую расщепленную систему:
л . о й 1 = О й 1 Л„ + |
+ M sH B kK + M SD } T Ч |
( 2 6 4 6) |
|||
|
|
(s,o — 1 } 2 , ...,р)« |
|
|
|
Отсюда, принимая во внимание (26.4.3), будем иметь |
|
||||
K & S = е й 1 Л , + Л1« + М „Н В кК + |
М М “ - " |
(26.4.7) |
|||
|
|
(при |
5 = 0'), |
|
|
|
AsQl? = Й ‘'Л0 + MsHBt K + M,D? - « |
(26 4 8) |
|||
|
|
(при |
s чь сг). |
|
|
И з (26.4.7) |
находим |
<212К - |
|
|
|
л ' 4 |
= A0QW - |
MaHBkK„ - |
M 0 Dl* - " . |
(26.4.9) |
|
Здесь Q W — произвольная достаточное число раз дифф еренцируе м ая квадратная матрица порядка ка. Остальные субматрицы матри цы Q 1 *1 однозначно определяются алгебраическими соотношениями
(26 .4 .8), ибо в этих равенствах A s и Л а при |
по предположе |
||||
нию, не имеют общих собственных значений; |
|
||||
Определив из (26 |
.4.8) |
(s ч* а ) и задавшись произвольными |
|||
матрицами |
(о = |
\ , 2 |
, р ) , |
будем иметь матрицу Q 1*1, после |
|
чего легко построить К т |
по формуле |
|
|||
|
|
|
= |
K Q ^ . |
(26.4.10) |
Таким образом, уравнение (26.1.6) может быть заменено соот нош ениями (26.2.1), (26.2.2), (26.2.5), в которых ф игурирую т ве личины , определяемые равенствами (26.2.8), (26.2.9), (26.4 .8), (26.4.10). Отметим еще, что общее решение уравнения (26.2.4) представляется в виде
Z = I ( t ) c r l(t), I(t) = 5 Л W d t, |
(26.4.10а) |
'о
где С — произвольная постоянная матрица порядка п.
26.4.2. Построение Вк. Из (26.4.8) имеем
М 0Н В кК 0 = (Л „Q i*1 - |
е й 'Л „ ) + (Л'Ч + M aD I * - " ) . |
(26.4.11) |
Д ля удобства дальнейшего изложения обозначим |
|
|
А>« = (Л0<Э'Ч - |
йй'л„) + (Д'41+ |
(26.4.12) |
Тогда будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
М аН В кК а = Д М . |
|
|
(26.4.13) |
|||||
Теперь |
предстоит равенство |
(26.4.13) |
разрешить относительно |
||||||||||
В к. |
М атрицу |
N |
представим |
в |
виде |
блочной |
матрицы |
||||||
Н = |
(/ij h2 |
h[). Далее введем в рассмотрение «растянутую» мат |
|||||||||||
рицу |
В к |
= |
( b p |
|
Ь(Р ) |
типа |
1 х /л, |
составленную |
из строк |
||||
Ь\к\ |
..., Ь\к) |
матрицы В к. Выражение для В к введем в предположе |
|||||||||||
нии, |
что выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l | W vAv| | ’6 0 |
Со-— 1 . 2 ........р). |
(26.4.14) |
|||||||
|
|
|
V—J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (26.4.13) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M ah tb\“>Kp + M ah 2b?>Ka + |
... + |
M ph,b<f'Ka = д w . |
(26.4.15) |
||||||||||
Отсюда, учитывая, что M ahv — скаляры, получаем |
|
||||||||||||
b ^ K e M 'h , |
+ b[l >KaM ah 2 + |
+ b<f>K'Mah, = |
Д'*> |
(26.4.16) |
|||||||||
|
|
|
|
|
(o' — |
1 , 2 , . . . , р). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Запиш ем (26.4.16) в развернутом виде: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
+ |
ь р к ^ м |
^ + |
... + |
tfp K iM yh i = A p J, |
|
|||||
b[k'>K2M 2h 1 + |
b p K 2M 2h2 + |
... + |
b(p K 2M 2hl = Д ^ 1, |
(26.4.17) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ^ K pM ph, + ь^> крм рь 2 + |
... + |
b[^K pM pht = д м . |
|
||||||||||
Легко проверить, |
что систему (26.4.17) можно представить и так: |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
b i» K F v = |
(Д{*> |
Д<*' |
|
Д М ) , |
(26.4.18) |
|||
|
|
|
|
д. _ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
Fv = |
diag (MjAv, М 2 ЛУ, ..., |
M phv). |
(26.4.19) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
Обозначим |
|
|
|
/■ = |
col ( f , |
F2 ... F ,). |
|
(26.4.18a) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Д алее, из |
(26.4.18) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(b\Q t i p |
Ъ\*>) diag |
(К , К , ..., |
K )F = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
’--------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Систему |
(27.1.1) — (27.1.3) |
представим |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( А + Н В ) х + h(t, |
х) . |
|
|
(27.2.6) |
||
В |
(27.2.6) произведем замену |
переменных (27.2.1) |
— |
(27,2*3): |
||||
|
j ^ C Z + A T C ^J + X C Z & |
= [А + |
Н В ] К у + |
h(t, х) . |
||||
Отсюда, принимая во внимание (27.2.4) и (27 .2 .5), |
получаем |
|||||||
|
- X C Z D y + |
X C Z |
= h{U X), |
|
|
|
||
и |
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
= |
D y + |
f ( t , у), |
|
|
|
(27.2.7) |
д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч>(<, у) = |
K ~ \ t ) h ( t , Ку) . |
|
|
(27 .2 .8) |
|||
|
Д ля доказательства |
теоремы |
остается |
показать, |
что если |
|||
К(1) — матрица преобразования (27.2.1), приводящего уравне ние (27.2.6) к виду (27.2.2), тогда K ( t ) представляется в форме (27 .2 .3). В самом деле, матрица K ( t ) преобразования (27.2.1)
связана |
с матрицами А + Н В и D(t) соотношениями |
кинем ати |
ческого |
подобия |
|
|
= ( А + Н В ) К - KD. |
(27.2.9) |
У читы вая это и используя (27.2.4) и (27.2.5), нетрудно установить, что
|
|
^ |
[Х~1К г ~ [] = 0. |
|
|
|
|
|
О ткуда следует, что X ~ l K Z ~ l = С s= const |
и, |
значит, |
им еет место |
|||||
(27 .2 .3). Теорема доказана. ■ |
|
|
|
|
||||
П р и м е ч а н и е |
27.2.1. Система, сопряженная системе (27 .2 .5), |
|||||||
им еет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
= D ( t ) Y . |
|
|
|
(27.2.10) |
Ф ундам ентальны е |
матрицы |
решений систем |
(27.2.5) |
и |
(27.2.10), |
|||
к ак известно, |
связаны друг с другом соотношением Z { t ) |
— |
||||||
У читы вая это, |
доказанную |
теорему можно |
представить и в такой |
|||||
редакции . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
27.2.1а. |
Пусть Л + Н В — матрица линейной час |
||
т и сист емы |
(27.2.6) |
— |
квадратная матрица |
порядка п, непре- |
pbienasi на [*0, Т]. Тогда преобразование |
|
|||
|
|
|
x = K ( t ) y |
(27.2.11) |
с невырож денной и дифференцируемой на [/0, |
Т] матрицей K(t) |
|||
приводит систему (27 |
.2.6) к векторно-матричному уравнению |
|||
|
|
^ |
= D ( t ) y + <р(/, у) |
(27.2.12) |
с наперед заданной непрерывной на [*0, Т) матрицей D ( t ) тогда и т олько тогда, когда
K ( t ) = X ( t ) C Y ~ l(t), |
(27.2.13) |
где X ( t ) и Y ( t ) — соот вет ст венно единственные решения мат ричны х дифференциальных уравнений
^ = |
( А + Н В ) Х , X ( t 0) = Е, |
(27.2.14) |
% |
= D ( t ) Y , Y(t0) = E , |
(27.2.15) |
С - пост оянная мат рица порядка п.
Теорема 27.2.1а позволяет сформулировать условия приводимо сти линейной части системы (27.2.6) к диагональному виду. В са мом деле, пусть D(t) — диагональная матрица. Тогда из соотноше ния (27.2.15), интегрируя, находим
t |
|
Y(t) = exp J D(t')dt' . |
(27.2.16) |
Как это видно из (27.2.15) и (27.2.16), если D ( t ) имеет диагональ ную структуру, то фундаментальная матрица Y(t) также есть диа гональная матрица. И наоборот, если Y - диагональная матрица, то D ( i ) , определяемая формулой
m = % r - l V ) . |
(27.2.17) |
является диагональной матрицей. Это обстоятельство в сочетании с теоремой 27.2.1а позволяет сформулировать следующую теорему о диагонализации.
Т е о р е м а 27.2.2 |
(о д и а г о н а л и |
з а ц и и ) . |
Пусть А + Н В — |
|
мат рица линейной |
части системы |
(27.1.1) |
— (27.1.3) — |
есть |
квадрат ная мат рица порядка п, непрерывная на (/0, Г]. |
Тогда |
|||
преобразование |
|
|
|
|
с невырож денной и дифференцируемой на [t0, Т ) мат рицей K ( t ) приводит сист ему (27.1.1)— (27.1.3) к вект орно-м ат ричном у уравнению
|
$ |
= М О У + v 0 . У) |
(27.2.19) |
|||
с диагональной |
и непрерывной |
на |
[f0, Т) мат рицей |
Л (/) тогда и |
||
т о лько тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
|
K ( t ) = |
X ( t ) C Y - l (t), |
(27.2.20) |
|||
где X ( t ) и Y ( t ) |
— соот вет ст венно единст венные реш ения м ат |
|||||
р ичн ы х диф ференциальных уравнений |
|
|
||||
|
% = ( А + Н В ) Х , |
Х(1„) = Е, |
(27.2.21) |
|||
|
% |
- A ( t ) Y , |
Y(tB) = E, |
(27.2.22) |
||
С — пост оянная мат рица порядка п. |
|
|||||
П риведенная теорема |
определяет |
структуру и вид преобразо |
||||
вания линейной системы к системе с диагональной матрицей.
Однако, чтобы |
воспользоваться преобразованием (27 .2 .18), |
|
(27.2.20), нужно |
располагать |
фундаментальной матрицей реш е |
ний линейной |
системы. В |
некоторых случаях, например, в |
случае линейной системы с постоянной матрицей или диагональ ной матрицей, определение фундаментальной матрицы X , а значит, и матрицы преобразования линейной системы к диаго нальному виду не представляет труда. Но все же случаи, когда могут быть найдены точные выражения для X в конечном виде, исклю чительны. В свете этого представляют значительный прак тический интерес алгоритмы преобразования линейной диф ф е ренциальной системы к системе, близкой к диагональной. В следую щ ем параграфе излагается один метод такого преобразо вания.
§ 27.3. Метод асимптотического преобразования уравнений управляемого процесса к системе уравнений с матрицей, близкой к диагональной
Введем в рассмотрение дифференциальную систему
~ = Л (х )х + Я (т)В (т, с)х + h ( t , т, х ), |
(27 |
.3.1) |
|
содерж ащ ую параметр е и так называемое медленное время т = |
е*. |
||
П ри е = 1 уравнение (27.3.1) эквивалентно системе |
(27.2.6), |
|
так |