книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Закон управления (21.4.2) скорее всего окажется неоптималь­ ным по интересующему нас критерию, но привлекательна его про­ стота. Теоретически управление u ( t , х) не становится бесконеч­ ным вдоль любой траектории, но при практической реализации за­ кона управления (21.4.2) при I, близких к матрица Ж (/, t L)

будет близка к вырожденной, и управление необходимо прекратить

§21.5. Представление критерия управляемости через матрицу управляемости

Использование критерия управляемости, даваемого теоремой 21.3.3, требует знания фундаментальной матрицы Коши. Заманчи­ во получить критерий управляемости, выраженный через исходные матрицы системы A ( t ) и B(t). Оказывается, это возможно в слу­

ст ема (21.1.2) вполне управляема на [f0,*,], если хот я бы в одной

т очке эт ого инт ервала матрица Q(t) имеет ранг п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . И з условий теоремы и леммы 21.5.2 сле­ дует, что матрица W(tQitv) имеет ранг л, а значит, положительно определена. Тогда по теореме 21,3.3 система (21.3.1) управля­ ема. ■

Теорема 21.5.1 дает достаточный критерий управляемости на интервале

§21.6. Критерий управляемости для линейных стационарных систем

Если система (21.1.2) стационарна, то матрица управляемости Q{t) приобретает простой вид. Условия теоремы 16,5.1 в этом слу­ чае и необходимы. Кроме того, для линейной стационарной систе­ мы понятия вполне управляемой на интервале [f0, / J , управляемой относительно момента tQи абсолютной управляемой системы совпа­ дают.

Л е м м а 21.6.1. Д л я линейной стационарной системы

и ранги матрицы W { t ^ t x)-u Q совпадают при лю бы х значениях t0,

> t0.

До к а з а т е л ь с т в о .

1.Из леммы 21.5.2 следует, что ранг Q не превышает ранга W .

Q равен s < п. В этом случае существует п — s линейно независи­

По теореме Гамильтона—Кэли матрица удовлетворяет своему ха­ рактеристическому уравнению

Xй + а1Х'*-1 + + а п- 1Ь + ап = О,

т.е.

Умножая последнее равенство справа на В и слева на с], получаем

Из этого равенства и (21.6.3) следует

Если предварительно умножить равенство (21.6.4) на А и по­ вторить процедуру, то будем иметь

с]Ап ~ 1В + ахс)АпВ + + ап _ хс\А2В + апс}АВ = 0,

откуда с учетом (21.6.3) и (21.6.6) с]Ап~{В = 0 и т. д. Таким об­ разом,

Тогда для матрицы G(t), определяемой равенством (21.3.11), полу­ пим, что при всех { и / = 1,2, ..., л — s

c}G(t) = с}<ГА<‘- '’>/?= с]\Еп + А(Г - 0 + А (t2~ t}- + ...

По лемме 21.6.1 матрица W(tQ,tx) имеет ранг s< t.

Это противоречит предположению, что ранг W равен к. Остает­ ся предположить, что ранг Q также равен к.

3. Так как матрица Q не зависит от моментов t0, tv, то ее ранг

постоянен, а тогда и ранг матрицы W постоянен и не зависит от моментов начала и конца движения. ■

(21.6.1) была вполне управляемой на любом интервале времени

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оно.следует из теоремы 21.3.3 и леммы 21.6.1, если учесть, что матрица Qc отличается от матрицы Q

(21.6.2) знаками столбцов, что не изменяет ее ранга. ■

Из теоремы 21.6.1 вытекает, что для стационарных систем по­ нятия вполне управляемости на нитервале и абсолютной управля­ емости совпадают.

Далее будет показана эквивалентность этих определений управ­ ляемости определению 21.1.2.

Пр им ер 21.6.1. Линеаризованные уравнения движения летательного аппарата в окрестности круговой траектории в предположении, что возмущенные траектории остаются в плоскости круговой траектории, как показано в примере 20.4.1 на с. 411т имеют вид

d*vr

— — = 2vA Vx+ v^Ar + s,

dt т

Физический смысл переменных ДVr%AVv Дг, Т и постоянной v был также ука­ зан в примере 20.4.1. Проекции 5 и Т силы тяги двигателя Р на радиус и нормаль

крадиусу являются управлениями.

Вматричной записи уравнения движения летательного аппарата будут иметь

вид

Tit) жо. Из этого следует, что летательный аппарат в общем случае нельзя вернуть на круговую траекторию одним лишь радиальным ускорением.

2. Если 5Ц )"0, т.е. тяга двигателя направлена по нормали к радиусу, то мат­

и ее определитель \Qc\ = — 4у2^ 0 . Система является вполне управляемой, т.е. ле-

тательный аппарат всегда можно перевести на круговую траекторию ускорением, направленным по нормали к радиусу. Оказывается, что такой способ оптимален по расходу топлива.

§ 21.7. Структура пространства состояний линейной управляемой системы

Изучим сначала структуру пространства состояний для преобра­ зованной системы (21.2.3).

Т е о р е м а 21.7.1. Если матрица W(tQ) tx) имеет ранг к, то

ортогональным преобразованием у = А*Гу система (21.2.3) может

V 7

размерность к, а система (21.7.2)вполне управляема на интерва­ ле [/0, /,]. Очевидно, что система (21.7.1) вообще неуправляема.

До к а з а т е л ь с т в о .

1.При к = 0 теорема верна, так как в этом случае равенства (21.3.8) возможны только, если <7 = 0, и тогда исходная система

имеет вид (21.7.1), а система (21.7.2) отсутствует.

ванными и порождают (п — к)-мерное подпространство Ry~к про­ странства Rn. Образуем матрицу М — (Л/, М2), где столбцы мат­ рицы М, составлены из векторов ср с2, ..., сп_ а столбцы матри­

цы Мг представляют собой орты подпространства Rk,

дополняющего Rny~k до Rn. Тогда можно положить у — Af*y или

Вектор сп_ к+, представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы М2 и поэтому ортогонален всем векторам с,, с2, ...» сп_ к.

А тогда из равенства (21.3.8) и (21.7.3) вытекает, что матрица G( t) имеет меньше, чем к линейно независимых строк, и поэтому

мы 21.3.3. ■ Так как ранг — целочисленная переменная, то, например, при

увеличении tx ранг W (t0, tx) в некоторые моменты времени может

измениться скачком, так что зависимость ранга W от 10 представ­

ляет собой ступенчатую функцию .

Из доказанной выше теоремы 21.7.1 видно, что пространство R n

векторов у расслаивается на подпространство А" ” * и А*. Подсисте­

ма, леж ащ ая в А”, вполне управляема, а леж ащ ая в А " - * неуправ­

ляема. Если сделать обратное преобразование переменных

у = Х ~ *(<, Г)х, то подпространство А” ~ к перейдет такж е в (п — к )-

мерное подпространство R xn ~ k(t) С А”, но зависящее от t. Аналогич­

то многообразие L k точек ( t , х ) G R n + [, которые описывает под­ пространство R * ~ k(t) при изменении времени /, задается равенст­ вом

а многообразие L k точек (/, х) £ Ал + 1, описываемых подпростран­ ством А *(г), равенством

Следствием теоремы 21.7.1 для исходной системы (21.1.1) явля­ ется следующая теорема.

Т е о р е м а 21.7.3. Пусть матрица W{tQ, /,) имеет ранг к< п.

Тогда существует единственное многообразие L C Rn + l размер­ ности к, такое, что:

а) многообразие Lk — инвариантное многообразие для системы (21.1.1), т.е. каждая траектория, начинающаяся в любой момент t G [/0, /, J в этом многообразии, не выходит из него, и каждая тра­

ектория, начинающаяся в любой момент т G [/0, /х] вне Lk, не мо­

точки дс0 такой, что (/0, л'0) G Lk, можно перевести систему за время — /0 любую точку x v (t, V) G ZA

Справедливость теоремы следует их теоремы 21.3.3 и взаимной однозначности преобразования у= МТХ~1(1, 1*)х. ■

Заметим, что на меньшем интервале [xg, xj G [*0, i{] система

может оказаться неуправляемой даже в многообразии Lk, так как ранг матрицы 1К(т0, х,) может оказаться меньше к. Если же матри­

ца W{т0, х,) имеет ранг к для любых х0, xt G [/0, /,](х0 < т,), то си­

стема (21.1.1) будет абсолютно управляемой в многообразии ZA

§21.8. Структура пространства состояния стационарной системы

Весьма интересно, что для стационарных линейных систем мно­ гообразия Lk и Ln~k являются цилиндрическими по t, т.е. подпро­ странства Rk(t), не зависят от t. Для стационарной линей­ ной системы

а подпространство R k — равенством

получающимися из (21.7.4), (21.7.5) подстановкой выражения для фундаментальной матрицы линейной системы X{t, t*) — еЛ^~^К Из вида равенств (21.8.2), (21.8.3) далеко не очевидно, что подпро-