книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

составленная в силу системы (18.6.30), является отрицательно­ определенной эрмитовой формой, т.е. ((А*Н + НЛ)х, х) < 0

(11*11 £ 0 ) .

Составим производную по t формы (18.6.31) в силу системы

где постоянная матрица В = А*Н 4- НА — отрицательно - опреде­ ленная. Из (18.6.28) следует неравенство ||<p(f, х)|| <е||х|| для до­ статочно малых ||х||:||х|| < /£ < г, где е — произвольно мало. Поэ­ тому из (18.6.32) имеем неравенство

откуда следует, что V(t, х) < 0 для всех t > 0, если только выпол­ няются неравенства

Таким образом, для системы (18.6.27) в некоторой окрестности нуля существует положительно-определенная эрмитова форма К(х), явно не зависящая от t и допускающая отрицательно-опреде­ ленную производную по t в силу уравнения невозмущенного дви­ жения (18.6.27). Значит, невозмущенное движение (т.е. тривиаль­ ное решение системы (18.6.27)) устойчиво на [0, «).

т.е. невозмущенное движение (тривиальное решение системы (18.6.27) ) асимптотически устойчиво. В самом деле, в силу нера­ венства (18.6.33) функция V(x(t)) — монотонно убывающая, и по­ этому она при t-+ со будет монотонно стремится к некоторому пределу а, оставаясь все время больше этого предела, так что для всех /> 0

Докажем, что а = 0. Пусть а =/= 0, следовательно, а > 0. Так как Г(х(/)) есть функция непрерывная, то из (18.6.35) вытекает, чго нетривиальное решение x(f) уравнения невозмущенного движения (18.6.27) удовлетворяет неравенству

где jij(£),..., (<) — все собственные значения эрмитово-симмет-

ризованной матрицы AN(t) = ^ (Л*(*) + Л(01» т0 невозмущенное

движение (тривиальное решение уравнения (18.6.37)) устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть преобразование x = K(t)y приво­ дит уравнение (18.6.38) к диагональному виду

(см. гл. 12), причем можно, используя имеющуюся произвольность

Будем предполагать, что в (18.6.43) матрицы X{i)y С, Z(t) по­ строены таким же образом, как и при доказательстве теоремы 18.6.1.5. Из (18.6,44) следует, что K(t) € Кд. Следовательно, для

доказательства теоремы достаточно показать, что все решения x(t) Ф 0 уравнения (18.6.37), удовлетворяющие условию

для всех t > t0 удовлетворяют условию

Преобразование х = K(t)y приводит уравнение (18.6.37) к виду

Производная по t положительно-определенной эрмитовой формы

V(U х) = (K-'(t)x, K-'(l)x) = 1Ы12,

вычисленная в силу уравнения (18.6.48), представляется в виде

На основании (18.6.40) имеем на [а, »): |det Х(*)| > /и, > 0. Для постоянной невырожденной матрицы С имеем: | det С| 5* т 2 > 0, а так как каждое решение уравнения первого приближения (18.6.38)

Из (18.6.53), (18.6.55) и (18.6.56) следует, что в (18.6.43) К есть матрица Ляпунова. Но так как M(t) = К~1также есть матри­ ца Ляпунова, значит, она ограничена по норме на [а, »). Кроме того,

Ит Л(/, К » /||у || = 0

у-0

в силу (18.6.39) равномерно по t на [а, оо). В этих условиях ||у||/||у0|| — ограниченная величина, и так как ограничены и все другие множители подынтегрального выражения в (18.6.52), то

и существует такое 6 > 0, что

С другой стороны, учитывая (18.6.51), можно указать такое р> 0,

ющее условию (18.6.46), где 0 < р < р0 для всех / > t0, удовлетворяет неравенству (18.6.47). Теорема доказана. ■

^«.УСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ И ТЕХНИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

В настоящей главе будет показано, что теория устойчивости на конечном интервале времени по Каменкову (и в других постанов­ ках), а также теория технической устойчивости могут быть получе­ ны в рамках теории /^-устойчивости.

§ 19.1. Ад-устойчивость на конечном интервале времени

Общее определение понятия Ад-устойчивости, приведенное в гл. 15, представляется следующим образом:

О п р е д е л е н и е 19.1.1. Если в заданном классе Ад существует такая матрица. G(t), совпадающая в момент t = t0 с заданной по­ стоянной матрицей G0 класса А£, что при достаточно малом р > О любое возмущение x(t), начальное значение х = x(tQ) которого удовлетворяет условию

то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае — не­ устойчиво. ■

Л = [<0, /0 + т), существует такая матрица G, что при достаточно ма­ лом р > 0 любое возмущение x(t), начальное значение х0 = x(t0) ко­ торого удовлетворяет условию (C7_I JC0, С7_1л0) ^ р2, на конечном ин­ тервале [/0, Т) удовлетворяет условию

(<Г1х(0,СГ1х ( 0 ) « | *

то невозмущенное движение устойчиво на конечном промежутке времени [/0, tQ+ т). В противном случае — неустойчиво. ■

Сравнивая последнее определение понятия устойчивости с опре­ делением понятия устойчивости по Каменкову (см. § 14.6), легко видеть, что они эквивалентны и отличаются лишь обозначениями. Роль постоянной матрицы А в определении Каменкова здесь играет

постоянная матрица G~l.

Продолжим наши рассуждения. Применим общую теорему о Ад-устойчивости (см. теорему 16.2.1) к понятию устойчивости со­

имеет только отрицательные собственные значения или комп­ лексные с отрицательными вещественными частями, то невоз­ мущенное движение обладает устойчивостью на конечном интер­ вале времени [/0, t0 + т).

Аналогичная теорема о Ад-устойчивости формулируется так:

3е. ^ <0 при V /е [t0, *0 + т),

то система

% = Р 0х + ДP(t)x + h(l, х)

устойчива.

Пусть А — матрица, преобразующая матрицу системы Р0 == = P(t0) к каноническому виду Л. Предположим, что столбцы мат­

Так как в данном случаем G = К = const и согласно определению понятия устойчивости имеем G0 = G, условие 1° теоремы о Яд-ус- тойчивости выполняется:

A(t0) = (К -'УК “ = (G0-')-G -'.

Далее согласно теореме 16.1.1 о скелетном разложении положи­ тельно-определенная эрмитова матрица А может быть представлена

в виде А~1= Я Я \ где Я — квадратная матрица, все столбцы ко­

А = (G~l)*G~l = (G‘)~xG~i - GG\

так что, очевидно, Я = G = А, и значит, в данном случае ст = со, поэтому условие 2° теоремы также выполняется.

Остается проверить условие 3°. Очевидно, имеем К(г, х) = (К~'х, JT'x) = ||уН2.

Надо из уравнения возмущенного движения определить d\\y\\/dt, и тогда при условиях теоремы Каменкова будет ясно, что

% =Чу\\^ « о .

Тем самым будет показана эквивалентность теоремы Каменкова об устойчивости движения на конечном интервале времени [<0, t0 + T) и общей теоремы Яд-устойчивости в условиях теоремы

Каменкова. Аналогично можно установить эквивалентность и дру­ гих теорем Каменкова и общей теоремы о Яд-устойчивости.

§19.2. Ад-устойчивость и техническая устойчивость

Вопределении понятия Яд-устойчивости область допустимых отклонений задается в форме

«г Ч О * . с - ‘ ( / ) * ) « р ? ,

посредством матрицы G{t) класса К%. Полагая

% = {•V (G"'(!o)*0’ G->(t0)x0) « р2},

ш(() = {x:(G-'(r)x. G-‘(r)x) Sp2}

определение понятия /^-устойчивости можно представить так.

О п р е д е л е н и е 19.2.1. Невозмущенное движение (тривиаль­ ное решение уравнений возмущенного движения) называется К%- устойчивым на 1 — [/0, /0 + т) относительно заданных областей

о)0 и со в том и только в том случае, если всякое возмущенное дви­ жение уравнений, определенное начальным условием

x(t0) Е u)0 = {*0:(G-i(f0)x0. G~l(lo)xo) < Р2>>

удовлетворяет условию

х(0 Е со(И) = {x:(G~l(t)x(t),G~l(/)x(t)) « S p 2} при V/ Е /. ■

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

ГЛАВА 20

УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

§ 20.1. Понятие об управляемых системах

Управление — это такой процесс, который охватывает чрезвы­ чайно обширные области деятельности человека. По сути дела, прак­ тически любое сознательное действие человека означает некоторое воздействие с его стороны на ход событий с той или иной целью. В данном параграфе мы коснемся вопросов управления лишь в очень небольшой части этой обширной области, а именно — будем рассмат­ ривать управление такими объектами, которые при допустимых иде­ ализациях можно описать системами линейных обыкновенных диф­ ференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

Состояние объекта в каждый момент времени обычно можно охарактеризовать посредством некоторого числа (конечного или бесконечного) параметров. Так, поступательное движение твердого тела по прямой можно задать некоторой линейной координатой точки на прямой, по которой движется тело, и скоростью его дви­ жения. В некоторых задачах этими двумя параметрами можно ог­ раничится, например, при рассмотрении движения автомобиля (или другого подобного технического объекта) по прямой. Для опи­ сания движения материальной точки на плоскости требуется уже четыре параметра, в трехмерном пространстве — шесть.

Параметры, которые характеризуют состояние объекта, при­ нято называть фазовыми координатами. В приведенных приме­

разную природу (геометрические, кинематические, динамиче­ ские, термодинамические, химические и т.д.).

Объект является управляемым, если имеется возможность путем вмешательства «извне» влиять на изменение фазовых

координат х1 (/'= 1, 2 ,..., л). Например, на величину пройден­ ного пути и скорость автомобиля можно воздействовать путем изменения положения педали газа и педали тормоза. Его дви­ жением по дороге можно управлять еще путем поворота руле­ вого колеса. Те величины, посредством которых осуществляется