книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

мальных координат удовлетворяет отдельному уравнению второго порядка (P-zJdt2 + vaza = 0.

Как отмечалось выше, при vc > 0 координата га совершает гар­ монические колебания с частотой Vv^i Эта частота колебаний нор­ мальной координаты называется нормальной, или собственной ча­ стотой. В связи с этим операцию приведения уравнения (25.1.7) к виду (25.1.10) называют преобразованием системы к нормальным координатам.

25.1.2. Неоднородная система. Замена переменных (25.1.6) в предположении, что собственные значения матрицы и разбиты на р групп при условии (26.1.3), приводит неоднородную систему

L0 + L2^— ф(0

к расщепленному виду

^ + аO2O= HOL0_i9 (а = 1 , 2,..., р).

Если все собственные значения матрицы и просты, то, разбивая их на п групп ( по одному собственному значению в каждой группе), будем иметь а в форме диагональной матрицы, по диагонали кото­ рой расположены собственные значения vn. В соответствии с

этим расщепленная система примет вид

§ 25.2. Формальные преобразования нестационарной системы

Взамен системы (25.0.1) рассмотрим систему более общего вида:

Поскольку система (25.2.1) при £ = 1 совпадает с системой (25.0.1), то всякие формальные преобразования системы (25.2.1), тождест­ венные по е, можно немедленно перенести на систему (25.0.1), придав параметру е значение 1. Присутствие множителя е при сла­ гаемом L^x, i)dg/dt в левой части системы (25.2.1) не мешает по­

строению этим путем формального решения системы (25.0.1), ка­ кова бы ни была матрица т, е ) .

Иное дело, если речь идет о приближенном решении системы, построенном по формальному решению. В этом случае приближен­ ное решение будет представлять точное с погрешностью тем мень­

шей» чем «меньше» матрица L,(х, е) (т. е. чем меньше по модулю элементы матрицы /,,(т, е)). Если L,(x, е) нельзя рассматривать

как «малую» матрицу, то для построения соответствующего при­ ближенного решения следовало бы использовать формальное реше­ ние системы

Построение формального решения системы (25.2.2), как и ее преобразование к расщепленному виду, — задача более сложная, чем для системы (25.2.1). Мы здесь ограничимся указанием лишь путей расщепления уравнения (25.2.2), не вдаваясь в детали. Прежде всего, подобно системе с постоянными коэффициентами,

здесь тоже можно исключить слагаемое, содержащее ^2.. Так заме­

на переменных q= Vz, где квадратная матрица V — невырожден­ ное решение матричного уравнения

преобразует систему (25.2.2) к виду

где

К системе (25.2.4) применим тот алгоритм, который будет изложен ниже. Правда, переход к этой системе можно осуществить только после построения матрицы w, которая в свою очередь определяется через матрицу V — фундаментальную матрицу системы.

Системы типа (25.2.3) были рассмотрены в гл. 8. В случае, ког­ да все собственные значения матрицы L~lL{ — простые, материа­

лы гл. 8 позволяют легко построить фундаментальную матрицу V этой системы. Расщепление уравнения (25.2.2) можно осуществить и методом гл. 9, предварительно заменив это уравнение эквивален­ тным векторно-матричным уравнением

Вернемся к системе (25.2.1). Мы будем далее считать, что мат­

Такое представление матриц L 0 и L 2 в некоторых случаях может

значительно упростить реализацию предлагаемой расчетной схемы, например, если эти матрицы близки к симметрическим. В целях общности и правую часть уравнения (25.2.1) примем в виде

<Р = То + еЧ>1*

Отметим еще, что алгоритм, который приводится ниже, без тру­ да может быть распространен и на более общий случай, когда м ат­

и условия, при которых это возможно, определяются следующей

* Для удобства записи вместо Lt(т) будем пользоваться так же обозначением г(т).

считая, что £(т)"г(т).

- xjj/ajj/a,, + x£S4i! + 2

и т.д. Предположим, что a )^ , х |2 ( / = 1 , 2 ; / = 0, 1, — , Л: — 1) уже

найдены. Тогда к - я пара равенств (25.2.14) вполне определяет ве­ личины следующего приближения a)*1, xj*J. Действительно, эти ра­ венства, как легко проверить, непосредственной подстановкой, ис­

Приведенные рекуррентные соотношения позволяют последова­ тельно определить члены рядов (25.2.10). Вышеизложенное остает­ ся в силе и при е = 1 . Удерживая в рядах (25.2.10) конечное число первых слагаемых, получим приближенно расщепленную систему.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставив вектор q> определенный равен­ ствами (25.2.19) и (25.2.20), в (25.2.18) и приравняв в полученном соотношении нулю коэффициенты при za, d z j d t и свободный

член, получим равенства (25.2.11), которые обращаются в тождест­ ва, если члены рядов (25.2.10) определены по формулам (25.2.15), (25.2.16), и равенства

(Ч’/о рассматриваются как функции и от /, и от т). Для доказатель­

ства теоремы достаточно показать, что могут быть построены ряды (25.2.21), обращение равенства (25.2.22) в тождества.

Введя обозначения

В равенствах (25.2.23) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим, принимая во внимание (25.2.13),

§25.3. Уравнения управляемого процесса

вканонической форме

Рассмотрим систему автоматического управления с линейным объектом, который описывается уравнением

К ( 0 + mi ( 0 ] | ? + r(t) % + [zo( 0 + Z ,(t)]e=

= e(z) 6 + <p(«). (25.3.1)

Здесь q — столбцовая матрица (типа п х 1 ) обобщенных координат объекта управления, <р — столбцовая матрица внешних возмущений, Ь — матрица (типа 1 x 1 ) управляющих воздействий, т 0, т 1г г, 10, 11 — квадратные матрицы порядка л, а а — матрица типа п х I.

Результаты , полученные в § 25.2, непосредственно применимы к уравнению (25.3.1). Д ля этого нужно лишь в формулах (25.2.26) векторную функцию <р0 заменить функцией ад + <р, <рх положить

равной 0 и в выражениях коэффициентов принять е = 1 . Этим пу­ тем, удерживая в уравнениях члены, содержащие е в степени не выш е первой, получаем преобразованную систему уравнений регу­ лируемого объекта в виде

Преобразованные уравнения объекта управления имеют более простой вид, поскольку левая часть системы оказывается расщ еп­

ленной и связь между подсистемами полной системы сохраняется только через матрицу 6 в правой части системы. Т акая система бо­ лее удобна при всевозможных исследованиях, в частности при мо­ делировании на аналоговых машинах.

П р и м е ч а н и е 25.3.1. При замене переменных ж елательно, чтобы норма вектора za совпадала бы или же мало отличалась от

нормы вектора да . Этого можно достичь так. Пусть

— вектор, который при е = 1 представляет приближенное реш ение системы (25.3.1), соответствующее решению z a системы (25.3.2) или (25.3.3). Квадрат нормы этого вектора равен

+ 2 Х 4 У 2о + 4 x 1 У Х 2 о) + е2...

М атрица ха всегда может быть выбрана так, что

И спользуя произвольность выбора матриц д\}}а, можно добиться вы ­ полнения равенств

5*СГ

Т огда g*aqa = z* za + e2 , т.е. с точностью до членов, содержащих

e2f норма векторов при преобразовании (25.3.4) сохраняется.