книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfГЛАВА 21
УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§21.1. Понятие управляемости
Вэтой главе мы будем рассматривать систему вида
^ = A(t)x + B(t)u, |
x G R n, |
ц е Г . |
(21.1.1) |
О п р е д е л е н и е 21.1.1. Систему (21.1.1) |
называют |
вполне |
|
управляемой на интервале времени |
[<0, f j , если для любой пары |
||
точек х*, xf Е Rn существует допустимое управление «(/), опреде ленное на интервале [f0, f j, переводящее систему из состояния х0 в состояние xv ■
Иногда рассматривают управляемость системы при не заданном
моменте |
ti (или *0). |
О п р |
е д е л е н и е 21.1.2. Систему (21.1.1) называют вполне |
управляемой относительно момента t0, если для любой пары то чек х0, хг Е Rn существует момент t < <» и допустимое управление u(t), определенное на интервале [*0, tfj, переводящее систему из состояния х0 в состояние x v ■
Очевидно, система, вполне управляемая на каком-либо интер вале (/0, f j , вполне управляема и относительно момента tQ. Однако
система, вполне управляемая относительно момента t0, может не быть вполне управляема ни на каком интервале [*0, /J .
Т е о р е м а 21.1.1. Система, вполне управляемая на интервале [f0, tx\, вполне управляема на любом интервале [<[,, t\\ Э [t0, f j.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что для любых x'Qi х[ Е Rn за время [fj — /0] эту систему можно перевести из состояния Хд в со стояние х\. Действительно, пусть под действием какого-либо управ ления, например u(t) = 0, система переходит'за время t0 — t'0 из состояния Хд в состояние х0, а х { — состояние, из которого система
§ 21.3. УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ |
415 |
§ 21.3. Необходимые и достаточные условия управляемости
Здесь мы получим необходимый и достаточный критерий управ ляемости системы (21.2.3), а следовательно, в силу инвариантности свойства управляемости, и системы (21.1.1).
Л е м м а 21.3.1. Для того чтобы система (21.2.3) была вполне управляемой на ненулевом интервале [*0, /J , достаточно, чтобы
матрица размеров п х п
W(t0, (,) = 5 G(s)CT(s)ds |
(21.3.1) |
была положительно определена.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим u(t) = (Т^/)!- , где 1*— постоян
ный вектор. Тогда |
|
|
|
| f |
= С(0G 40I- |
(2'-3.2) |
|
Интегрируя равенство (21.3,2) |
в пределах от t0 до |
{t{ > t0), по |
|
лучаем |
|
|
|
У(^) - y(tо) = |
J G(s)GT(s)ds & |
|
|
|
|
tn |
|
ИЛИ |
|
|
|
y(h) - |
y(t0)= ИЧ*о> <i)t |
(21-3.3) |
|
Так как матрица W(tQ, Z,) положительно определена, то она неосо бенная, и из соотношения (21.3.3) можно определить вектор £, ка ковы бы ни были точки у0 = y(Z0) и yj = y(*i):
? = И '- ‘(10. Г.Ху. - У о). |
(21-3-4) |
В этом случае управление
u(t) = |
(,)(}-, - у0) |
(21.3.5) |
переводит систему из состояния у0 в состояние у1 за время Z, —Z0
при любых y0,yj € /?л, т.е. система (21.3.3) управляема. ■
З а м е ч а н и е 21.3.1. Систему (21.2.3) из состояния у0 в состо яние у,, очевидно, переводит не только управление u(Z), опреде
ляемое |
формулой (21.3.5), |
но |
и |
любое управление |
вида |
||
й(1) = |
u(t) |
+ to(г), где управление ш(1) удовлетворяет условию |
|||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
J G(s)a>(s)ds = Q. |
(21.3.6) |
||||
|
|
'о |
|
|
|
|
|
Л е м м а |
21.3.2. Матрица W(t0, tx), |
определяемая равенством |
|||||
(21.3.1), неотрицательна, т.е, |
неотрицательна квадратичная |
||||||
форма cTW(t0, /,)с. |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, |
|
|
|
||||
|
|
г, |
|
|
|
|
|
c*W(t0, tx)c = $ cTG(s)GT(s)ds = |
|
|
|
|
|||
|
|
t\ |
*1 |
|
|
|
|
|
|
= J cT(7(s)(cTG(s))Trfs= |
J ||CTG(S)||2</£2*0. |
(21.3.7) |
|||
|
|
f0 |
*0 |
|
|
|
|
Л е м м а |
21.3.3. Если матрица W(tQ,tx), определенная равенст |
||||||
вом (21.3.1), имеет ранг к<п, |
то существует ровно п — к ли |
||||||
нейно |
независимых векторов сх, с2, ...» cn_ k таких, |
что |
почти |
||||
всюду на интервале [/0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
c]G{i) |
= 0( / = 1 , 2 ...n - k ) . |
(21.3.8) |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как матрица W(t0, ix) вырождена и имеет ранг к, то существует ровно п — к линейно независимых век торов clf с2, ..., сп_ к, удовлетворяющих условию
c]W(t0, h ) ci = 0 (/ = 1, 2 , ..., п — к). |
(21.3.9) |
А тогда из равенства (21.3.7) следует, что
c]W(l0, t\)C[ — $ ||CJC7(S)||2£/S. |
|
Но это возможно только, если |
|
c]G(t) = 0 |
(21.3.10) |
почти всюду на интервале [/0,
Так как из (21.3.10) в свою очередь следует (21.3.9), то число векторов С[ не может быть больше, чем п —к. Ш
С л е д с т в и е 21.3.1. Е сли матрица |
lV(f0, *А) |
имеет |
ранг |
|||
к $ п, т о ровно |
к строк матрицы G (t) представляют собой л и |
|||||
нейно независимые на [^0,^ ] |
функции времени. Остальные строки |
|||||
(при к < |
п) суть линейны е комбинации эт их к строк. |
|
||||
Суммируя результаты лемм 21.3.1—21.3.3 и теоремы 16.2.1, |
||||||
приходим к следующему результату. |
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
21.3.1. Д ля |
того чтобы |
система |
(21.1.3) |
или |
|
(21.2.3) |
была вполне управляемой на интервале [l0, |
f j , необходи |
||||
мо и достат очно справедливости одного из следующих трех ут верждений:
а) |
мат рица |
W (tQi / J |
положительно определена; |
б) |
строки матрицы |
G (t) — линейно независимые функции |
|
времени t G [г0, |
<,]; |
|
|
в) равенст во c7G (t) = 0 почти всюду на интервале [/0, f j воз можно т олько при нулевом векторе с.
Здесь
G (i) — |
(21.3.11) |
|
W (t0, (,) = 5 Д Г ‘(s, |
О Д (* )Я '(* )(Х н Г '( * . |
(21-3.12) |
*0 |
|
|
И Л И |
|
|
'l |
|
|
W (t0, f,) = $ |
X ( t \ s ) B ( s ) B T( s ) X t( t \ s ) d s . |
(21.3.13) |
*0 |
|
|
До к а з а т е л ь с т в о .
1.Если теорема справедлива для системы (21.2.2), то по теоре ме 21.2.1 она справедлива и для системы (21.1.1), так как системы (21.1.1), (21.1.2) связаны неособым линейным преобразованием.
2. Дост аточность. Достаточность утверждения (а) составляет содержание леммы 21.3.1. Утверждения (б), (в), очевидно, эквива лентны. Из утверждения (в) и леммы 21.3.3 следует, что матрица
W ( t Q, fx) невырождена, а так как W ( t 0, t{) неотрицательна (лемма
21.3.2), то она положительно определена, и в силу леммы 21.3.1 си стема управляема.
3. Необходимость.. Пусть система (21.2.3) вполне управляема на [*о’ *il> а одно из утверждений (а), (б), (в) не имеет места.
Если не выполнено (а), то в силу неотрицательности матрица W ( t Qi t{) вырождена, а тогда из леммы 21.3.3 следует, что неспра
ведливы утверждения (б), (в), т.е. при невыполнении любого из утверждений (а), (б), (в) существует ненулевой вектор с, такой,
что стС7(*) = 0 почти всюду на [t0, / J .
Рассмотрим |
гиперплоскость |
л, |
задаваемую |
равенством |
сту = а, у G Rn, |
и траекторию |
y(t) |
системы (21.2,3). Вычислим |
|
производную |
|
|
|
|
|
~ (сту(0) = |
cTG(t)u = 0. |
(21.3.14) |
|
Из (21.3.14) следует, что любая траектория, начинающаяся в мо мент t0 в гиперплоскости л , не выйдет из нее при любых u(t) и не
сможет попасть в момент /, в точку у, G л. Это противоречит пред положению, что система (21.2.3) вполне управляема на [/0, f j .
Полученное противоречие доказывает необходимость утвержде ний (а), (б), (в) теоремы. ■
Применение теоремы 21.3.1 можно проил люстрировать следующим примером.
П р и м ер 21.3.1. Движение летательного аппарата в вертикальной плоскости описмиастся следующими нелинейными уравнениями:
dt = Р COS'D, |
dV, |
|
dt = P sin D — g, |
||
^х . |
|/ |
±L = |
dt |
х’ |
dt |
Здесь V , V — проекции скорости летательного
аппарата на оси д:, у; Р — тяга двигателя, D — угол тангажа, g — ускорение силы тяжести (по стоянное по величине и направлению) (рис. 21.1).
Пусть тяга Р постоянна, а управлением является угол D. Целью управления яв ляется получение заданных значений фазовых координат в фиксированный момент времени:
Vsitx) = Vx |
У(/1)= У1- |
(21.3.15) |
Линеаризация уравнений в окрестности «номинальной» траектории (V О), V О),
xUh >0)), удовлетворяющей граничным условиям (21.3.15), вдоль которой D«DO), дает уравнения
d&v. |
= Р cos $0)AD, |
|
= |
_ д и (21.3.16) |
- Р sin fi(f)AD, |
dt |
|||
dt |
|
x' dt |
У |
|
Здесь _ Ax = x - x U ) , |
Ay = y - y ( t ) , |
AD=D-DO), |
ДУЛ= Vx— Vx(t), |
|
Д V — V y - V y(.t), Д6 — управление. Уравнения (21.3.16) в матричной записи будут
иметь вид
|
'дк; |
(0 |
0 0 |
0] 'Ьу я |
f~P sin DO)) |
|
||
d_ |
дуу |
0 |
0 0 |
0 |
AVy + |
Р cos DO) |
да. |
(21.3.17) |
dt |
Адг |
10 0 0 |
Ах |
О |
|
|
||
|
lAj,J |
lo |
1 0 oj |
1A*J |
О |
/ |
|
|
Теперь целью управления является выполнение условий
Д Vx{tx) =Д у г р = Д аг(Г1) = Ду((,) =0. |
(21.3.18) |
Фундаментальная матрица системы (21.3.17) имеет простой вид:
|
|
(1 |
|
0 |
0 |
0) |
|
|
еА‘ = |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
t |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1° |
f |
0 |
и |
|
|
Матрица Git) запишется следующим образом: |
|
|
|||||
|
/ 1 0 |
0 |
0^ |
' - р |
sin bit)' |
Р sin « (f)' |
|
Git) = e~Atliit) = |
0 1 0 |
0 |
Р cos «(f) |
Р cos «(f) |
|||
|
Г 0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
Pt sin «(/) |
|
\0 ( |
о |
lj |
|
0 |
/ |
Pt cos «(f)/ |
_ Часто выбирают в |
качестве номинальной |
траектории такую, на которой |
|
tg«(f) — дробно-линейная функция времени: |
|
|
|
|
а + Ы |
|
(21.3.19) |
|
tg (КО = с + dt |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
< 7 (0 -7 -cos$(/)</! / 2 |
/ 3 |
/ 4)т, |
f[= *a -bt, |
11 |
|
f 4= - t i c + d t ) . |
f 2=c + dt, / 3= ( (а +/>/), |
|||
Очевидно c /j + а / 2~ d f ^ ~ b f 4 = 0, поэтому строки <7 линейно зависимы. Сис
тема (21.3.17) не является вполне управляемой, поэтому цель управления (21.3.18) не может быть достигнута в системе (21.3.17) при произвольных отклонениях от но минальной траектории в начальный момент t —tQ.
Можно предложить три выхода из создавшегося положения:
1)рассмотреть исходную нелинейную систему, которая может оказаться управ ляемой, несмотря на то, что линеаризованная система (21.3.17) неуправляема;
2)ввести в систему дополнительное управление Pit), т. е. регулируемую тягу двигателя;
3)изменить номинальную траекторию.
Исследование нелинейной системы, как правило, намного сложнее, чем линей ной. В рассматриваемом примере и нелинейная система не является вполне управ ляемой, те. не из любой точки окрестности начального состояния Ух= K/fg).
Vy=Vyit), x = xit0), у + у itQ) ее можно привести в момент (j в начало координат.
Это объясняется тем, что управление « —«(f), где 0(f) определяется выражением (21.3.19), оптимально_ по быстродействию, и из точек, близких к точке (P,(f0), i y / 0), x(t0), у (tg)), может оказаться невозможным перевести систему
(16.3.17) в начало координат за время f —/0.
Регулирование двигателя может потребовать изменений в конструкции лета тельного аппарата.
Оказывается, изменением номинальной .траектории .можно добиться того, что система будет вполне управляемой. Зададим 0(f) в виде 0(О—f, тогда
Git) = Р col (sin f cost sin t cost). |
(21.3.20) |
В этом случае строки матрицы Git), очевидно, линейно независимы. Можно взять и
более сложную зависимость tit), например 5(f) —a +bt + ct2+dt*, и подобрать константы а, Ь, с, d из условия попадания в заданные граничные условия в момент tl при заданных начальных в момент tQ.
§21.4. Построение закона управления с обратной связью для абсолютно управляемой системы
Условия абсолютной управляемости системы (21.1.1) позволяют конструктивно построить управление, переводящее систему из со стояния х0 в состояние х1 за время ty— (0. Производя в формуле
(21.3.5) |
обратную замену переменных у = X ~ \ t , |
l')x и используя |
|
выражение для G{t) (16.3.11), получаем, что управление |
|||
u(t) = |
0*4*, C ) W - l(10, |
Г)х, - |
O x Q\ |
|
|
|
(21.4.1) |
переводит систему (21.1.1) из состояния х0 в состояние х, за время
Весьма интересен следующий факт. Вообще говоря, вектор £, за даваемые формулой (21.3.4) и вычисленный в момент t0 в точке х0, и вектор вычисленный спустя некоторое время, которое система дви галась с управлением (21.3.5), могли оказаться различными. В этом случае управление u(t), вычисленное спустя некоторое время после момента tQ, не совпало бы в прежним, вычисленным в момент 10,
Оказывается, однако, что вектор £ остается постоянным вдоль траектории, если управление вычисляется по формуле (21.3.5). Действительно, заменим в формуле (21.3.4) *0 на а у0 на y(t); тогда
- W -'iU Ч)ОДСЧ/ ) £ = |
tl)G(t)CP(i)W-l(yl - y(t)) - |
Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования обратной матрицу *,), определяемым равенствами (21.3.2), (21.3.3), и выражением для £ (21.3.4). Из этого следует, что в формуле (21.4.1) можно заменить *0 на t, а х0 на х. В результате , полагая для простоты i* — tv получаем закон управления с обратной связью:
u(t х ) = ЯЧ02ГЧГ, t j w - ' i u <,)[Х, - X(t, /,)*], (21.4.2)
обеспечивающий приведение системы из любого начального состо яния х0 в момент t0 < ty в состояние х, за время /, — tQ.