книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Докажем теперь достаточность. Пусть имеет место формула (18.5.12). Отсюда

(18.5.11) эквивалентны. Теорема доказана. ■ В частном случае, когда одна из систем, например, (18.5.11) яв­

ляется системой с постоянными коэффициентами dy/dt = By (В = const), мы имеем Y — eBt, и соотношение (18.5.12) принимает

вид X(t) — K(t)eB t при этом, как нетрудно видеть, теорема 18.5.3 переходит в известную теорему Н. П. Еругина о приводимости ли­ нейной системы [75].

Продолжим наши исследования по проблеме приводимости ли­ нейных систем. Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами

где D — матрица простой структуры с чисто мнимыми собственны­

ми значениями. Фундаментальная матрица этой системы eDt, как нетрудно показать, является матрицей Ляпунова. На основе выше­ изложенного все системы, фундаментальные матрицы которых яв­ ляются матрицами Ляпунова, приводимы к системе вида (18.5.15), т.е. приводимы к системе с постоянными коэффициентами. Этот результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Т е о р е м а 18.5.4. Все системы, фундаментальные матрицы которых суть матрицы Ляпунова, являются приводимыми сис­ темами.

18.5.3.Об устойчивости линейных систем.

Оп р ед ел ен и е . Линейную систему вида (18.5.1), фундамен­ тальная матрица которой является матрицей Ляпунова, назовем

ляпуновской системой. U

Остается рассмотреть вопрос об устойчивости системы (18.5.16) в случае, когда эта система не является ляпуновской. В этом случае вопрос об устойчивости нулевого решения линейной однородной си­ стемы решается в зависимости от того, выполняется или не выпол­ няется условие (18.5.5). Рассмотрим раздельно эти случаи.

1. Пусть система (18.5.18) не является ляпуновской, а условие (18.5.5) выполняется. Тогда система (18.5.5) неустойчива. В самом деле, если допустить устойчивость, то это в сочетании с выполне­ нием условия (18.5.5), согласно лемме 18.5.1, определяло бы, что система (18.5.16) является ляпуновской, что противоречит исход­ ной предпосылке.

2. Наконец, рассмотрим случай, когда система (18.5.16) не явля­ ется-ляпуновской и в то же время не выполняется условие (18.5.5). Учитывая, что матрица P(t) является непрерывной матрицей, невы­ полнение условия (18.5.5) означает, что имеет место следующее:

В этом случае тривиальное решение линейной системы устойчиво*. Таким образом, может быть сформулирована следующая итоговая те­ орема об устойчивости тривиального решения системы (18.5.16).

Т е о р е м а 18.5.7. Пусть матрица P(t) системы 2 вида (18.5.16) непрерывна на [<0, »). Тогда тривиальное решение этой

системы устойчиво по Ляпунову, если Г. л е KL

или

2". 2 ё Ки но имеет место (18.5.19).

Оно неустойчиво, если 2 ё KL и выполняется условие (18.5.5).

§18.6. Устойчивость неавтономных систем

Вэтом параграфе, как и в предыдущем, в качестве заданной по­ ложительной функции a>(t) принимаем постоянную величину, т.е.

ш= const.

18.6.1.Линейная однородная система. Рассмотрим систему

где P(t) — непрерывная и ограниченная на [а, ») л х п-матрица та­ кая, что каждое решение системы (18.6.1) ограничено на [а, »). Рас-

* Mi n - Ye n W и. On Stability of linear Time — varying Sistems//Inter. J. Syst. Sci — 1984.—N 9 2.

Матрицу B(i) в соответствии с теоремой о скелетном разложе­ нии эрмитовой матрицы представим в виде

где M(t) — квадратная матрица, столбцы которой h{{t) , ..., hn(t) имеют на [*0, оо) одну и ту же эрмитову норму.

Полагая ЦАу-(ОН ==%(0 (/ = 1* 2,..., л), получим

(18.6.9)

Здесь

Легко видеть, что H(t0) = K(t0) = HQ. Таким образом, рассмат­

риваемый пучок решений уравнения (18.6.1) представляется соот­ ношением

Используя приведенные выше построения, можно установить относительно простые условия устойчивости и асимптотической ус­ тойчивости на [f0, оо).

Т е о р е м а 18.6.1.1. Если при всех t> t0

то невозмущенное движение (тривиальное решение системы

(18.6.1)) устойчиво на [*0, оо).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть соотношение (18.6.11) выполняется при всех i > tQ. Рассмотрим рш-трубку

где G(t) = (оо/co2(f))#(r), a H(t) — матрица, определенная разло­ жением (18.6.8). Очевидно, G(t) G К%. Пусть х° Ф 0 — какое-ни­

будь нетривиальное решение уравнения (18.6.1), принадлежащее пучку (18.6.10). На промежутке [*0, оо) имеем

« г ‘ ( 0 * Ч 0 . е г Ч 0 * ' ( 0 ) « ^ р г-