книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

При этом система (21.8.9) абсолютно управляема, т.е. при л ю ­ бом реш ении x ^ t ) системы (21.8.8) ее можно перевести допуст и­

мым управлением за заданное время /, — t0 из лю бого сост ояния

х0 в лю бое сост ояние х г

Матрица преобразования М = (Мх М2) строится следующим образом. Столбцы матрицы М 2 размеров п х к получаются ортогонализацией и нормированием к ли­

нейно независимых столбцов матрицы Q, а столбцы матрицы М х дополняют систему векторов, являющихся столбцами матрицы М2, до ортонормированного базиса про­

странства Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В доказательстве нуждается лиш ь управ­ ляемость системы (21.8.9) при любом Jc, (/). Она следует из того,

что решение x ^ t ) системы (21.8.8) не зависит от u(t) и его можно

считать заданной функцией времени. Полагая Л21х, = v(f), полу­

чаем систему общего вида (21.1.2), которая, как отмечалось в на­ чале данной главы, управляема тогда и только тогда, когда управ­ ляема система при v (t) = 0 . Остальные утверждения теоремы не­ посредственно следуют из теоремы 21.8.1. ■

§21.9. Управляемость системы, заданной одним дифференциальным уравнением высокого порядка

Пусть задана система, описываемая одним дифференциальным уравнением высокого порядка

где коэффициенты a{(t) (i = 1, 2 , . . . , п) измеримы и ограничены

на любом интервале времени [г0, tx\.

Система (21.9.1) заменой переменных х 1 = х, x 2 = d x / d t ,

..., х" = d n ~ lx / d t n ~ 1 приводится к системе п уравнений первого порядка

или в матричной форме

где

всегда вполне управляема, т.е. вполне управляема и эквивалентная ей система (21.9.2).

Т е о р е м а 21.9.1. Если коэффициенты уравнения (21.9.1) (п — 2) раза дифференцируемы почти всюду на интервале [f0,

то система (21.9.2) абсолютно управляема на этом интервале.

а на самой побочной диагонали стоят единицы со знаком плюс или минус. Определитель такой матрицы

/|(/1—1)-+I 10(01 = ( - ! ) —

и отличен от нуля во всех точках дифференцируемости коэффици­ ентов аДОПоэтому ранг матрицы Q(t) равен п почти всюду на

интервале [f0, f j и по теореме 21.5.1 система (21.9.2) вполне управляема на любом частичном интервале [л^, xj с [f0, /,J, т.е. абсолютно управляема.

По теореме Гамильтона—Кэли матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению

А* + М ""1+ М и' 2+... + К-1А+ РА = °-

Умножая это равенство справа на матрицу В и перенося все слага­ емые, кроме первого, в правую часть равенства, получаем

Сравнивая (21.10.13) и (21.10.14), видим, что равенство (21.10.13), а следовательно, и равенство (21.10.9) будет выполнено, если в матрице А г положим

где (3/ — коэффициенты характеристического уравнения матрицы А.

alt а2, .... а п матрицы A v В системе (21.10.3) сделаем аналогичную замену переменных: х = Q2y , где

— матрица, отличающаяся от матрицы управляемости системы

циенты характеристического уравнения матрицы A v Но характери­ стическое уравнение матрицы A v как нетрудно убедиться, имеет вид

3. С равнивая (21.10.15) и (21.10.17), видим, что для эквивален­ тности систем (21.10.1) и (21.10.2) необходимо и достаточно вы ­ полнения равенства

Т е о р е м а 21.11.1. Если система (21.11.1) вполне управляема, то она стабилизируема.

Более того, в этом случае все собственные числа матрицы А + ВР замкнутой системы могут быть сделаны любыми напе­ ред заданными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как по условию теоремы система (21.11.1) вполне управляема, то по теореме 21.10.1 она эквивален­ тна системе вида (21.10.3)

Управление и выберем в виде линейной комбинации компонент вектора х:

и = рх = рпх1+ Рп- {Х2 + ... +Р,х„.

Матрица замкнутой системы примет вид

Характеристическое уравнение для этой матрицы запишется следу­ ющим образом:

где А? — желаемые значения собственных чисел замкнутой системы,

И Л И

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я, получаем J)k = a k.

Следует заметить, что зависимость элементов матрицы Р от ж е­ лаемых собственных значений матрицы А + В Р нелинейна, а зави­ симость Р от коэффициентов характеристического уравнения мат­ рицы А + ВР линейна.

Учитывая равенство (21.10.18) и формулу преобразования сис­ темы (21.10.3) в систему (21.11.1), окончательно имеем следую­ щую формулу для определения матрицы коэффициентов обратной

§ 21.12. Н уль-уп равляем ость линейных систем

До сих пор в этой главе мы рассматривали неограниченные управления u(t). Оказывается, полученные критерии управля­ емости и устойчивости иногда позволяют судить и об управля­ емости с ограниченным управлением. Рассмотрим систему

управление, переводящее абсолютно управляемую систему из лю ­ бого состояния х 1 в любое состояние х 2 за заданное конечное время