книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfСравнивая с (23.0.1), получаем
оо
х = J G(t, %)u(%)dt
Принимая во внимание, что и(|) = 0 при | < t0 (система до момен та t0 находилась в невозбужденном состоянии), и учитывая условия физической реализуемости системы, имеем
<?(<.£)«(£)= О, | < t0; С ( / , | ) и ( | ) - 0, \ > и (23.3.2)
и поэтому будем иметь
* = $ G(t, l) u ( \) d t *о
П р и м е ч а н и е . Соотношение (23.3.1) представляет связь меж ду входными и выходными сигналами системы в общей форме. Если в качестве начала отсчета времени (первый аргу мент импульсной пере ходной функции) принять момент подачи входного сигнала, то аргумент t импульсной переходной функции должен быть сдвинут на величину \ (рис. 23.3). Учитывая это, импульсную переходную функцию более детально следует записывать как
G(t — |, £). В соответствии с этим формула (23.3.1) предстанет в виде
* = j G ( < - | , £ ) i i ( 0 d $ . |
(23.3.3) |
Расширяя нижний предел интегрирования (с учетом (23.3.2)), связь между входными и выходными сигналами системы можно за писать и так:
§23.4. Реакции системы на входной сигнал в виде производной и интеграла от дельта-функции
Рассматривая входной сигнал в виде производной г-го порядка от дельта-функции и учитывая (23.1.6), получаем
j G(t, |
о а (г)( * ' “ 5 ) Л ' - ( - 1 ) |
г d'Git, ю |
|
д¥ |
|||
|
|
Значит, выходной сигнал в виде производной от дельта-функции г-го порядка вызывает реакцию (см. (23.3.1))
Gr(U \) = ( - 1 )г drG(.t, t)
П'
Можно показать, что Gr(t, |) удовлетворяет дифференциально му уравнению
A(t) ^ = B(t)Gr + ff(t)6^(t - 1) |
(23.4.1) |
при условии Gr(lj — О, I) = 0. Действительно, дифференцируя ле вую и правую части уравнения (23.2.4) г раз по | и учитывая, что
f .W - V = ( - 1 V |
,~ £ ) _ (-1 )'б (')(г --|), |
д¥ |
эг |
придем к соотношению (23.4.1).
Теперь рассмотрим входной сигнал в виде интеграла от дельта- t
функции J 6(т — %)dx, который представляет собой единичную сту-
пенчатую функцию. Согласно (23.3.1) |
|
|
||
t |
v |
t |
|
|
$ G(t, f')$ 6(T-!)rfKft' = J G(t, t’) l ( t ' - $ ) d t ' = |
|
|
||
*0 |
*0 |
*0 |
|
|
|
|
G(t, t')l(t’ - l ) d f |
G(t, t')dt'. |
|
Реакцию |
системы на |
единичную ступенчатую функцию |
1(t — \) |
|
называют обычно переходной функцией. Поэтому матрицу |
|
|||
|
|
t |
|
(23.4.2) |
|
|
F(t, £) = | G(t, t’)dt' |
|
|
можно рассматривать как матрицу переходных функций многомер ной системы.
Дифференцируя (23.4.2) по получим выражение матрицы импульсных переходных функций линейной системы через матри цу ее переходных функций: G(t, |) = —dF(t, |)/д |. Матрицу пере ходных функций можно трактовать как решение дифференциаль ного уравнения
A(t)4£ = B(t)F + H(t) I (t - £) |
(23.4.3) |
при начальном условии F(\ — 0, £) = 0. В самом деле, интегрируя левую и правую части уравнения (23.2.4) по | от 0 до t, имеем
Д(<) £ $ G(t, %)d%= B(r)| G((, у A + |
АГ(0 J ьи - |
|
0 |
0 |
0 |
Отсюда, так как |
|
|
| 6 ( ( - |
$ b(z)dz = 1 (z) = l(t - |), |
|
О |
о |
|
получаем |
|
|
t |
t |
|
A(t) £ $G(«, l ) d |= |
£)<£ + |
H(t) 1 (1 -1 ), |
о |
0 |
|
что совпадает с (23.4.3), ибо |
|
|
t |
t |
|
S G(l, «</!== t GO, l ) d l - F 0 , \ ) . |
||
0 |
t |
|
§ 23.5. Преобразование начальных условий на выходе системы в эквивалентный входной сигнал
До сих пор процессы в линейной системе при воздействии вход ных сигналов рассматривались в предположении, что до начала подачи входных сигналов система находилась в невозбужденном со стоянии. Допустим теперь, что система, состояние которой описы вается уравнением
A(t) |
= B(t)х + H(t)u(t)l(i - £), |
(23.5.1) |
к моменту £ приложения входного воздействия уже находилась в возбужденном состоянии, так что
x(l —0) = xt (х^О). |
(23.5.2) |
Подберем такой дополнительный сигнал f{t, £), чтобы на выхо де предварительно невозбужденной системы получить процесс, тождественный при / ^ | + 0 процессу на выходе возбужденной си стемы. Другими словами, надо найти такую функцию /(<, £), чтобы решение уравнения
|
>4(0 4* = B (t)x+ H ( t ) u ( t ) i ( t - l ) + /( /, |), |
(23-5.3) |
удовлетворяющее условию |
|
|
|
х(£ — 0) = 0, |
(23.5.4) |
при |
+ 0 совпадало бы с решением уравнения (23.5.1), удов |
|
летворяющим условию (23.5.2), т.е. |
|
|
|
£ (0 = * (0 1 (* -£ ). |
(23.5.5) |
где x(t) и x(t) — решения соответствующих уравнений, удовлет воряющих условиям (23.5.2) и (23.5.4) соответственно. Продиффе ренцируем (23.5.5) по t:
§ = § i(< -D + *(O S « -l).
Исключая из полученного равенства производные с помощью диф ференциальных уравнений (23.5.1) и (23.5.3), имеем
B(t)x + |
- *) + / ( / , |
= |
= |
B ( t ) x + |
- |) + A(t)x(t)5(t - 1). |
Отсюда f ( t , £) = A(t)x(t)b(t—|) при I > £ + 0, или, в силу свойства дельта-функции, /(/, £) = Л (|)*(|)6(г—£), причем *(£) = *(1—0), так как выходная функция х, как решение линейного дифференци ального уравнения (23.5.1), непрерывна в точке £.
$ 23.6. Определение дифференциального уравнения по импульсной функции
Пусть задана п х /-матрица G{t}£) импульсных переходных функций линейной системы и требуется найти соответствующее ей векторно-матричное уравнение вида (23,0.1). Два векторно-мат ричных уравнения, каждое из которых получается из другого путем умножения слева или справа на невырожденную непрерывную квадратную матрицу соответствующего порядка, представляет две эквивалентные системы в том смысле, что при произвольном вход ном сигнале u(t), подаваемом на обе системы одновременно, вы ходные сигналы этих систем будут также идентичны. Поэтому за ранее матричный коэффициент при производной от матрицы вы
ходных сигналов примем равным единичной матрице: A(t) з Е, Тогда (см. (23.2.3))
в{и о= x(t)x-ia)H(\).
Отсюда, .полагая / — находим Я (|) — <?(|, £). Значит.
<ки t) = m x-'WGfo а,
и поэтому связь между матрицей и входных сигналов и матрицей х выходных сигналов системы представляется в следующем виде:
t
х = $ X (t)X - l(t')G(t\ t’)udt'.
'о
Продифференцируем обе части последнего соотношения по С
§= X - \ f ) G { t \ t’)udf + XU)X-4t)G(t, t)u.
Отсюда
<LL = 4 f l x ( l)x + G(t,t)u. |
(23.6.1) |
Матричное уравнение
G(t, £) = G0(t, £)С/(|, |),
где |
G0(t, £) = A ^ ^ A T 'd ), разрешимо относительно G0(r, £), так |
|||||
как |
ранг матрицы G'(J*, |) |
равен |
рангу |
расширенной матрицы |
||
(G‘(tt |) |
G '(l, £)) |
(см. замечание |
23.2.1). |
Поэтому, предполагая |
||
матрицу |
G0(t, £) |
известной, |
матрицу уравнения (23.6.1) можно |
|||
определить так. Имеем |
|
|
|
dGo(t' V |
_ dXit) |
y_l m |
|
dt |
dt |
Л ^ |
|
Отсюда |
|
|
|
dX(t) |
_ aGo(f’ |
|
|
dt |
V) ~ |
dt |
I-< |
|
|
|
|
Таким образом, искомое дифференциальное уравнение имеет вид
d x . |
dG0(f, £) |
G(t) t)u. |
|
dt |
dt |
x + |
|
|
|
||
З а м е ч а н и е 23.6.1. dG0(t, £)/dtJ^=t есть решение матричного |
|||
уравнения |
|
dGQ(t, $) I |
|
dG(t, V |
|
£ { t , t). |
|
dt |
|
dt I |
|
§23.7. Построение импульсной переходной функции
23.7.1.Стационарная система. В случае стационарной систе мы А, В, и Н — постоянные матрицы. Фундаментальная матрица
X{t) однородного векторно-матричного уравнения имеет вид
X{l) = eut (U — А~~1В). В соответствии с этим матрица импульсных переходных функций стационарной системы
= |
(23.7.1) |
Если J — жорданова форма матрицы U, а К — соответствующая преобразующая матрица, то в силу (23.7.1)
G(l - |) = KeJ« - ^M A~xH |
(М = /Г 1). |
|
Пусть / = diag ( Z , ^ ) , Z2(^)> —» |
г«е |
= h Eki + |
+Нкг Тогда, представляя К и М в виде блочных матриц
К= (Kt К2 ... Кр), М = col {Мх М2 ... Мр),
где К., Мi — матрицы типа п х ki и к-( х п соответственно (к: — порядок жордановой клетки /ДХ;)), будем иметь
0(t - | ) = 2 K,Y,(I -
/=1
Здесь (см. § 7.5)
|
t - l |
(f-|)2 |
|
|
|
2! |
( t - $ kr 2 |
||
О |
1 |
t - ъ, |
||
(.к.-2)1 |
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
23.7.2. Нестационарная система.
О бщ ие с о о б р аж е н и я . Для построения импульсных пере ходных функций (23.2.3) требуется знание фундаментальной мат рицы X(t) однородного уравнения (23.2.1). В случае произвольного дифференциального уравнения (23.2.1) определение 2f(/) сопряже но со значительными трудностями, и не всегда эта матрица может быть выражена в замкнутой форме. Поэтому, имея в виду произ вольную линейную нестационарную систему, можно говорить лишь о приближенном построении импульсных переходных функций.
Приближенное выражение импульсной переходной функции можно получить, если известна приближенно фундаментальная матрица уравнения (23.2.1). Так, если X r{t) « X(t), то согласно
(23.2.3)
G(t, |) » G'Hl, |) = <%>(!, i)A~la)H(l,),
где
\) = X r{t)X-r '{\).
Возможны, различные пути построения приближенного выра жения фундаментальной матрицы уравнения (23.2.1), а значит,
и матрицы импульсных переходных функций С ^(/, £), и суще ствующая литература содержит описания некоторых способов такого построения [34,46]. Мы ниже приведем один метод построения приближенного выражения матрицы импульсных пе реходных функций, основанный на использовании разложения в ряд фундаментальной матрицы однородного дифференциального уравнения по степеням исскуственно вводимого параметра е. Общая идея этого метода заключается в следующем. Привлечем к рассмотрению вспомогательное уравнение
^ U ( x ) x (U = A ~ lB, т = е/), |
(23.7.2) |
которое при е = 1 совпадает с уравнением (23.2.1). |
Допустим, |
что нам известно разложение (сходящееся или формальное) фундаментальной матрицы уравнения (23.7.2) в рад по степеням параметра е, т.е.
X(<,e) = 2 s* * I* l(0 , |
(23.7.3) |
к=О
частичные суммы которого, а именно
Г
е) = 2 e ‘XW(0 (г = 0,1, 2,...),
к—О
могут быть приняты в качестве приближенного выражения фундаментальной матрицы. Тогда приближенное построение мат рицы G0(t, е) удобно провести одним из следующих двух спо
собов.
1. Принимая
х г(*>£) = 2 ^ х Ш 0> -с), * =0
имеем |
|
|
(% > (!, t Е ) = x , ( t , |
е). |
(23.7.4) |
Отсюда, полагая е = 1 и учитывая, что при этом уравнение (23.7.2) переходит в уравнение (23.2.1), получим приближенное выражение матрицы Коши уравнения (23.2.1):
С^)(М) = |
Х , ( 0 ^ 1(О. |
(23.7.4а) |
2. Имея разложение (23.7.3), |
можно и G0(t, |
е) разложить в |
ряд по степеням параметра е. Для этого нужно сначала представить в виде ряда по степеням е обратную матрицу X~l(t, е). Полагая
|
|
*-'(*, е) = |
£ e*Z<‘'(*,x), |
|
|
|
к = О |
из условия тождественного |
выполнения равенства X(t, е) х |
||
х X~1(t, е ) |
= Е получаем рекуррентные соотношения |
||
|
|
|
к |
Z l0] = |
X i0]~ l, |
Z lk] = - Z [0,2 X li]Z l/c~i] (A = 1,2,...). |
|
|
|
|
/ = i |
Группируя коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
|
|
оо |
|
G0((, I, е) = А■((, б)7Г 'а. е) = 2 |
(23.7.5) |
||
где |
|
к = 0 |
|
|
|
|
|
GI01 _ |
х»1(/, t)Zl°l(t, Т|), |
= е|, |
|
к |
|
|
|
Gj*1= 2 |
t)Zl‘ - ‘l ( i |
(А = |
1, 2, 3, ...). |
/«1 |
|
|
|
Ограничиваясь в разложении (23.7.5) некоторым числом г пер вых членов, получим соответствующее приближенное выражение
матрицы Коши уравнения (23.7.2): |
|
tf0'> ( ^ ,e ) = 2e*Gl*'. |
(23.7.6) |
* =о |
|
Отсюда, полагая е = 1, получаем приближенное выражение матри цы Коши уравнения (23.7.1):
Ц г)( Л Ю = £ с ‘*1(/, 1=). |
(23.7.6а) |
А*О |
|
По |
матрице G ^ \t, |
I*), полученной первым |
или вторым спо |
собом |
(по формулам |
(23.7.4а) или (23.7.ба)), |
легко определить |
и приближенное выражение матрицы импульсных переходных функций:
& К и S) = Gir)(*> £)Л-‘(!)Я (!).
З а м е ч а н и е 23.7.1. Матрицы G^r)(t, е), построенные по формуле (23.7.4) и формуле (23.7.6) и отмеченные соответственно
индексами |
I и II, с точностью до членов, содержащих е* |
||||
( к ^ |
г + 1), |
совпадают, т.е. |
|
||
|
(&>((, Ь «) - |
<#/,((, I в) = е' +'Д С ^ ,, I |
£), |
||
где |
AGfy\t, £, е) |
— |
функция, регулярная относительно е в |
||
окрестности |
точки |
е = 0. Исходя из этого, г-с, |
приближения, |
||
полученные |
одним |
и |
другим способом, следует |
рассматривать |
|
как эквивалентные, так что выбор того или иного способа построения матрицы C%\t, £) в каждом конкретном случае нужно производить, руководствуясь соображениями удобства в
практическом применении. |
|
|
П р и м е н е н и е |
а л г о р и т м а |
а с и м п т о т и ч е с к о г о |
р а с щ е п л е н и я . |
Алгоритм расщепления системы линейных |
|
дифференциальных уравнений на подсистемы уравнений меньше го порядка, описанный в гл. 8, позволяет свести задачу постро ения разложения фундаментальной матрицы уравнения (23.7.2) в виде ряда по степеням параметра е к более простой задаче
построения такого разложения для подсистем расщепленной си стемы.
Пусть собственные значения матрицы U(т) = Л-1(т)^(т) на рассматриваемом промежутке изменения аргумента разбиваются на некоторое число р непересекающихся групп
.......X f (ст= 1, 2 , р; У ка = п).
СГ= 1
Тогда (см. гл. 8) асимптотическое выражение фундаментальной матрицы уравнения (23.7.2) можно записать так:
X(t, е) = (* ,(т, е) ... Кра , e))diag (У,(*, е), ..., Yp(t, е)),
где Ya(t, е) — асимптотическое выражение фундаментальной мат рицы подсистемы d y j d t = Л0(т, е)уа расщепленной системы. Мат-