книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

рицы W существует такая положительно-определенная эрмитова матрица JV, что

Эрмитову матрицу N в соответствии с теоремой о скелетном разло­ жении эрмитовой матрицы представим в виде N = (К~1)*К~1, где К — квадратная матрица, столбцы которой имеют одинаковую эр­ митову норму:

(G~lx t G~lx) = р2, где р> 0. Полная производная по t от функции

(tQ< t < ») системы (18.4.1), которое в начальный момент времени

/0 удовлетворяет неравенству V{x{tQ)) р2, где р> 0 — достаточно малое число, при всех t> t0 удовлетворяет неравенству

V(x(t)) < р2, что свидетельствует об устойчивости тривиального ре­ шения x(t) == 0 на [*0, »).

Так как каждое решение системы (18.4.1) имеет вид

mi

x(t)= 2e> 'l'Pi (t) ( / = 1 , 2 , . . . , я), У-1

где Pj(i) — полиномиальная матрица, а Хр Xj, ..., \ п — все собст­ венные значения матрицы А, отвечающие в нормальной форме

— диагональная матрица порядка л — г. Ее производная по t в силу системы (18.4.11) имеет вид

KJ(0 = 2<o-22;, ReX, + t iy,2>t | J.

Отсюда получаем V2( / 2\ t ) ) = 0 на [/0, «). Это означает, что при

выборе начального значения y ^ ( t 0) столь малого, что

при всех t > t0, будем иметь

т.е. тривиальное решение системы (18.4.1) также устойчиво. Про­ извольное решение системы (18.4.9) имеет вид

(18.4.17) в силу (18.4.12) и (18.4.15) в начальный момент /0 будем иметь

*Ч;К'о)) - [^(^Ч 'о)) + *2(у(2)(*0»1 ^ р2 (р2 = р2 + р%)>

а в силу (18.4.13) и (18.4.16) при всех t > t0

При достаточно малых pLи р2 достаточно малым будет также и р. Теорема доказана. ■

18.4.2. Критерий устойчивости нелинейной системы по пер­ вому приближению. Пусть возмущенный процесс описывается векторно-матричным уравнением вида

где А — постоянная п х n-матрица, /(х) — столбцовая матрица с элементами / j ( x ) ,/ 2(х), ...,/ п(х), причем функция f s(x) = = /Д х р х2, х„) в области ||х(*)|| ** h < «> разлагается в ряды по степеням х1, х2, ..., хп, первые члены которых содержат возмуще­ ния X; в степени выше первой. Наряду с (18.4.18) в дальнейшем мы будем иметь дело и с уравнением первого приближения:

(18.4.19)

Т е о р е м а 18.4.2.1. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части, то тривиальное

в силу теоремы 18.4.1 система (18.4.19) асимптотически устойчива. Введем в рассмотрение функцию V{x) = (#х, х) = (К~1х, К~1х), построенную при доказательстве теоремы 18.4.1. Ее производная в силу системы (18.4.18) имеет вид

Xj, х2, ..., хп первые члены не ниже 1-го порядка. Поэтому правая

часть равенства (18.4.20) при достаточно малых х (по крайней ме­ ре таких, что ||х|| «S А < г) будет отрицательно-определенной фун­ кцией на [*0, »), каковы бы ни были фукции Д(х). В силу этого

при всех t > tQвыполняется неравенство F (x (f))^ ^ (x (i0)), а это означает, что тривиальное решение системы (18.4.18) устойчиво.

V(x(t)) — положительно-определенная функция, то v>0 . В силу непрерывности функции V(x(t)) из (18.4.22) вытекают неравенст­ ва ||х(ОН^§>0. Однако, поскольку форма (18.4.20) — отрица­ тельно-определенная, то при ||х(0И 5s Р > 0 имеет место неравенст­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из уравнения (18.5.2) имеем при t ^ t 0 I

x(t) — x(t0) + J P(x)dx.

<o Отсюда, переходя к нормам, получаем

ll*(OII<l*«o)ll + JlWT)llll*WI|rft.

'о

На основании леммы Гронуолла—Белмана из последнего соотноше­ ния будем иметь

11*0)11 «||х«о)||ехр[||Р(т)||Л .

*0

Но в силу (18.5.6)

| ||* 1 ) ||* « $ ||Р (т )|Л = * .

Поэтому имеем ||л:(/)|| ^ ||х(?0)||£*. Это неравенство показывает, что все решения системы (18.5.2) ограничены на промежутке [/0, «>).

Наконец, пусть Р(х) = (pjk(t)). Тогда при условии (18.5.6) очевидно, что

Таким образом, система (18.5.5) удовлетворяет всем условиям лем­ мы 18.5.1, и поэтому фундаментальная матрица системы (18.5.2) является матрицей Ляпунова. Терема доказана. ■

Отсюда немедленно вытекает С л е д с т в и е 18.5.2. Все системы, матрицы которых абсо­

лютно интегрируемы, эквивалентны между собой по Ляпунову:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть даны две системы одного и того же