книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfН и ж е будем пользоваться обозначениями |
|
|
|
|
||||||
К (т >= (К<т> 4 ” ) |
4 |
” )), |
Л = |
diag |
|
Х<"‘>........Х<™>), |
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
4 “ )(т. с) = |
К а(х) + 2 |
|
(т). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Jk = l |
|
|
|
|
|
|
|
X^)(t,e) = X<,(T) + 2e ‘X'‘'(x). |
|
|
|
(27.3.8) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(fc = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
В (х, е) = Я0 (т) + |
2 |
|
|
(а |
= 1 , 2 , ..., |
л ). |
|
|
||
|
|
k=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что здесь |
|
— столбцовые матрицы, А4т) — скалярны е |
||||||||
ф ункции, а В к( т) — матрицы с размерами л х /. |
|
|
|
|||||||
Подставим соотношения (27.3.8) в (27.3.4): |
|
|
|
|||||||
(je<m) т ф ) ... |
|
|
= (А + Н В + вт + 1Л |
ц ) Х |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
fX(,n) |
0 |
' |
X ( J ^ w) £ <«) ... i^nm>) - |
(A<m> Я< " 0 ... *<"*>) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
К " ‘>) |
Х<“,) |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r |
^ |
' |
" " |
1 ° |
m |
- |
К<ат)к(а"1) |
|
|
|
|
|
|
(o’ — 1 , 2 , . . . , |
л). |
|
|
(27.3.9) |
|||
П одставим в (27.3.9) |
разложения по степеням |
в матриц В , |
4 Г ) И |
|||||||
х<г> в соответствии с выражениями (27.4.8) и в полученном соот нош ении приравняем члены при одинаковых степенях е*. П олучим
|
(А + Н В 0)К „ = К Х , |
(27.3.10) |
||
(А + Я В „ )4 ‘1 = К[кХ |
+ |
HBk) X + |
(27.3.11) |
|
Здесь £ — единичная матрица порядка л, £>01 — столбцовая матри |
||||
цы , не зависящ ие от К[г\ |
XjrJ при г > i и 5 = 1 , 2 , . . . , |
л. Н апример, |
||
* |
5 7 ’ DM = |
iCi1!XOI - |
H B VK M - |
и т.п. |
27 .3 .1 . |
П остроен и е м атр и ц # 0 Д 0. Соотношение (27.3.10) пока |
|||
зы вает, что |
К а является собственным вектором матрицы А + Н В 0, |
|||
отвечаю щ им собственному значению Ха этой матрицы. О пределение
К а, Х0 и В0, удовлетворяющих равенству (27.3.10), должно прово
диться в соответствии с конкретными условиями решаемой задачи. Отм.етим, что в тройке величин К а, \ а, В0, удовлетворяющих матрич
ному соотношению (27.3.10), каждая пара величин может быть вы раж ена через третью.
2 7 .3 .2 . |
О пределение |
^ |
ПРИ |
заданны х Я0 |
и |
Вк . |
|||||
Определение К\® и Х£**, а |
также |
B k |
из |
равенств |
(27.3.11) |
||||||
проведем |
при |
дополнительном |
ограничении |
на числовые |
ф унк |
||||||
ции Х0 |
(а = |
1 , 2 , |
и), а |
именно |
будем |
считать, |
что |
на |
|||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Ха( х ) - Х 5( г ) \ ^ с > 0 |
( s * от). |
(27.3.12) |
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = ( К { К 2 ... К п), |
А = |
diag (Xt, Х2, ..., Хп), |
|
|
|
|||||
М = К~х = col (Л/, М 2 ... М п),
где K v К 2, ..., К п — собственные векторы матрицы А 4- H B Qt от
вечаю щ ие ее собственным значениям X,, X j, ..., Х„. Тогда, как из
вестно, имеет место равенство
А -1- H B Q= К А М . |
(27.3.13) |
Умножим Х-е равенство в (27.3.11) слева на матрицу М. Тогда,
учиты вая, что (А + |
Я В 0) = A M , |
и обозначив |
|
|||
М К М |
= Q lak] = |
col |
|
<7$ |
е й ) . |
(27.3.14) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
Лsi41= |
+ Л/Х0Х1‘1+ |
|
|
- *£**„). |
(27.3.15) |
|
Т ак как Л — диагональная матрица, равенство (27.3.15) |
распада |
|||||
ется на п независимых равенств: |
|
|
_ нвкка). |
|
||
я'Л 'К = <7Й' К |
+ |
+ |
M s(D\,k - 1 1 |
(27.3.16) |
||
Субматрицы матриц М и К связаны друг с другом соотношени- |
||||||
ями |
|
|
|
|
|
|
|
4 * о |
Г1 , |
s — сг, |
|
(27.3.17) |
|
|
1 |
0 , |
5 ^ 0 . |
|
||
|
|
|
||||
У читывая (27.3.17), из (27.3.16) получаем при s = а
П ри s а |
из (27.3.16) имеем |
(в силу условия (27 .3 .12)) |
|
|
|
ЯsoШ _ |
к - К |
(27.3.19) |
|
|
|
|
|
|
И спользуя |
полученное выражение для |
элементов матрицы |
1 из |
|
(27 .3 .14), |
находим |
|
|
|
*i‘>= *Qi“ =2 |
= |
|
5 = |
1 |
|
= |
Я В А ) + *<.«“ '• |
(27.3.20) |
|
5 = 1 |
|
Обозначим |
|
|
|
р д , |
|
|
Р° = 2 ,Т = К ’ |
(27.3.21) |
|
5 = 1 |
|
|
5*0 |
|
где ^ = K SM S — матрица ортогонального проектирования п-мер- ного пространства на подпространство, порожденное собственным вектором К 5. С учетом (27.3.21) выражение для К\® принимает следующий окончательный вид:
К Ш _ |
11 - |
HBt K„) + Kaq\£. |
(27.3.22) |
Отметим, что фигурирующ ая |
в |
(27.3.22) скалярная |
ф ункция q [akJ |
выше не была ограничена никаким условием, так что ее нуж но рас сматривать как произвольную достаточное число раз диф ф еренци руемую функцию .
Условие тождественного |
(относительно е) вы полнения соотно |
ш ения (27.3.4) приводит к |
следующему выражению для матрицы |
А m+1 |
g lm - « + |
j^Im-a + v] |_ iU&* |
|
dz |
(27.3.23) Т аки м образом, уравнение (27.1.3) может быть заменено соотноше ниям и (27 .3 .2), (27.3.3), (27.3.6), в которых фигурирую т величины , определяем ы е равенствами (27.3.7), (27.3.10), (27.3.11), (27.3.18), (2 7 .3 .2 2 ). При этом недиагональная часть уравнения (27.3.6) содер
жит в качестве множителя £'и+ | , в то время как диагональная часть
имеет множ итель е°.
Поскольку между показателем степени е* и порядком малости вы раж ения, содержащего эту степень в качестве множителя, имеет место определенное соответствие, то можно ожидать, что недиаго нальная часть будет мала по сравнению с диагональной частью.
Остается построить В к в явном виде в зависимости от Х ^ . Из
(27.3.18) имеем
|
М аН В кК а = \ ak][ |
+ M 0 Z)l* " 11. |
(27.3.24) |
М атрицу |
N представим в виде блочной матрицы |
|
|
|
Н = (h { Л2 ... h{). |
(27.3.25) |
|
Д алее |
введем в рассмотрение |
«растянутую» |
матрицу (типа |
1 х п / ) |
|
|
|
|
Я* = (${*>.., Ц*>), |
(27.3.26) |
|
составленную из строк b[k\ Ь ^ \ ...» Ь\® матрицы B k. Выражение
для В к выведем в предположении, что выполняется условие
|
i |
|
|
|
|
2 |
I M A I * 0 |
(0 = 1 , 2 ........я ). |
(27.3.27) |
|
V = |
1 |
|
|
Из (27.3.24) находим |
|
|
||
М а |
+ Mahib<t>K„ + ... + |
Mahtb ^ K a = X'*l + |
М „В'‘ - Ч. |
|
(27.3.28) Отсюда, учитывая, что M D/iv и Ь ^ К а — скаляры, получаем
b\«KaMaht + ь^>кам аьг+ . . . + |
Ь<ркам аь, = |
|
|
|
|
||||
|
|
= Х»' + М„2>1* - |
11 |
(0 = 1 , 2 |
........л). |
(27.3.29) |
|||
Запиш ем |
(27.3.29) в развернутом виде: |
|
|
|
|
||||
Ь[к)К {М ^ |
+ |
+ |
... + |
b(l^ K lM 1hl = |
Х}*1 |
+ |
|
||
b[VK2M 2А, + |
b ^ K 2M 2h 2 + |
... + |
b\k)K 2M 2h t = |
Х ^ |
+ M 2D[k ~ “ , |
||||
b ^ K ^ h , + Ь ^ К 'М ^ + ... + |
|
b\»K„Mnh, = |
X'« + |
WaZ)l* - '1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27.3.30) |
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У РЫ
1.Абга р я н К. А. Матричные и ассимптотические методы в теории линейных систем.—М.: Наука, 1973.
2. Абгарян К. А. Приведение квадратной матрицы к квазидиагональному ви ду и разложение ее на составляющие//Изв. АН АрмССР. Физико-математические науки.—1965.—Т. 18, N2 2.
3. Абгарян К. А. Метод асимптотического расщепления системы линейных дифференциальных уравнений//Изв. АН АрмССР. Математика.—1966.—Т. 1, № 2.
4. Абгарян К. А. Одно формальное преобразование системы линейных диф ференциальных уравнений//Изв. АН АрмССР. Математика.—1970.—Т. 5, № 4.
5.Аб гарян К. А. Одно асимптотическое преобразование линейной дифферен циальной системы//Изв. АН АрмССР. Математика.—1971.—Т. 6, № 5.
6.Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений//Вестн. Моек, ун-та. Сер. Мат. и мех.—1961.—
№2.—С. 28—36.
7.Веллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969.
8.Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.—Львов: Изд. АН УССР, 1945.
9.Булгаков Б. В. Колебания.—М.: Гостехиздат, 1954.
10.Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифферен циальных уравнений.—М.: Мир, 1968.
11.Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Пятая летняя математи
ческая школа.—Киев: Изд. АН УССР, 1968.
12.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1988.
13.Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и малые ко лебания механических систем.—М.—Л.: Гостехиздат, 1950.
14. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Наука, 1971.
15.Горбунов А. Д. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений//Вестн. Моек, ун-та. Сер. физ.-мат. и естест. наук.—1950.—№ 10.—С. 19—26.
16.Горбунов А. Д, О некоторых свойствах решений системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений//Вестн. Моек, ун-та. Сер. физ.-мат. и естест. наук.—1951.—№ 6.—С. 3—15.
17.Горбунов А. Д. О некоторых свойствах решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Вестн. Моек, ун-та. Сер. физ.-мат. и естест. наук.—
1952.—№ 12.—С. 3—16.
18. Горбунов А. Д. Об оценках координат решений систем обыкновенных ли нейных дифференциальных уравнений//Вестн. Моек, ун-та. Сер. физ.-мат. и естест. наук.—1954.—С. 27—31.
19. Далецкий Ю. Л., Крейн С. Г. О дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве//Украинский математический журнал.—1950.—Т, 2,
№4.
20.Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе.—М.: ИЛ, 1961.
21. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем.—М.: Наука, 1970.
22.Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференци альных уравнений.—М.: ИЛ, 1958.
23.Коллатц Л. Задачи на собственные значения.—М.: Наука, 1968.
24.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров.—М.: Наука, 1968.
25.Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.— Киев: Изд, АН УССР, 1937.
26.Курош А. Г. Курс высшей алгебры.—М.: Наука, 1971.
27.Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Гостехиздат,
1957.
28. Лященко Н. Л. Об одной теореме разделения линейных дифференциаль ных уравнений//ДАН СССР.—1954.—Т. 97, № 6.
29. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационар ных колебаний.—М.: Наука, 1964.
30.Пар од и М. Локализация характеристических чисел матриц и ее приложе ния.—М.: ИЛ, 1960.
31.Пилютик А. Г., Талалаев П. А. Об улучшении оценок решений систе мы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициента- ми//ПММ.—1965.—Т. 29, № 6.—С. 1092—1097-
32. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: На ука, 1970.
33. Пугачев В. С. Об асимптотических представлениях интегралов систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр//Математический сборник.—1944.—Т 15 (57), № 1.
34.Разумихин Б. С. Оценки решений системы дифференциальных уравне ний возмущенного движения с переменными коэффициентами//ПММ.—1957.—
Т.21, № 1.—С. 119—120; 1958.—N2 2.
35.Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории диффе ренциальных уравнений.—Киев: Изд. АН УССР, 1954.
36. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линей ных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ря ды.—Петроград, 1917.
37.Территтин X. Л. Асимптотическое разложение решений систем обыкно венных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр/Сб. пер. ♦Математика*.—М.: ИЛ, 1957.—Т. 1,2.
38.Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной ал гебры.—М.: Физматгиз, 1963.
39.Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.—Киев: Наукова думка, 1966.
40.Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике.—М.: ИЛ, 1950.
41.Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.—М.: ИЛ, 1962.
42. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновен ных дифференциальных уравнений.—М.: Мир, 1964.
43.Штока ло И. 3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.—Киев: Изд. АН УССР, 1960.
44.Эрдейи А. Асимптотические разложения.—М.: Физматгиз, 1962.
45. Аб гар ян К. А. Об устойчивости движения на конечном промежутке време-
НИ//ПММ.—1968.—Т. 32, № 6.—С. 977—986.
46. Абгарян К. А. Об устойчивости движения на конечном промежутке време- ии//ПММ.—1968.—Т. 32, № 6.
47. Абгарян К. А. Об устойчивости движения на заданном промежутке времени//Изв. АН АрмССР. Механика.—1972.—‘Т. 25, № 5 —С. 35—44.
48.А б г а р я н К. А. Одна постановка задачи об устойчивости процессов на за данном промежутке времени//ДАН СССР.—1973.—Т. 212, № 6.—С. 1313—1316.
49.А б г а р я н К. А. К теории устойчивости процессов на заданном промежутке времени//ПММ.—1975.—Т. 39, № 5.—С. 827—834.
50.А б г а р я н К. А. Основные теоремы об устойчивости процессов на конечном интервале времени//ПММ.—1981.—Т. 45, № 3.
51. |
А б г а р я н |
К. А., Аванян |
В. Т. К теорйи устойчивости процессов на за |
данном промежутке времени//Труды МАИ.—1975.—№ 339.—С. 5—11. |
|||
52. |
А б г а р я н |
К. А. Устойчивость движения на конечном интервале време- |
|
ни//Итоги науки и техники. Общая механика.—М.: ВИНИТИ, 1976.—Т. 3. |
|||
53. |
А б г а р я н |
К. А., А в а н я н |
В. Т. К теории устойчивости на заданном интер |
вале времени//ПММ.—1977.—Т. 41, № 5. |
|||
54. |
А б г а р я н |
К. Л., Аваня н |
В. Т. К теории устойчивости процессов на за |
данном промежутке времени. Труды МАИ.—1975.—№ 339.—С. 5—11.
55.А б г а р я н К. А. Об одной постановке задачи устойчивости на конечном интервале//ПММ —1979 —Т. 43, № 1.
56.А б г а р я н К. А. Основные теоремы об устойчивости процессов на заданном интервале времени//ПММ.—198].—Т.15, № 3.
57. Б а й р а м о в Ф. Д. О технической устойчивости систем с распределенными и сосредоточенными параметрами//Изв. вузов. Авиац. техника.—1.975, № 2.—С. 19—24.
58.Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости.—М.: Наука, 1968,
59.Б а р б а ш и н Е. А. Функции Ляпунова.—М.: Наука, 1970.
60. Б а р б а ш и н Е. А., К р а с о в |
с к и й Н. Н. Об устойчивости движения в це |
лом//ДАН СССР.—1952 —Т. 86, № |
3.—С. 453—456. |
61.Б е л л м а н Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравне ний.—М.: ИЛ. 1954.
62.Б е л о ц е р к о в с к а я Л. С. Об устойчивости движения на конечном проме жутке времени цилиндра переменной массы вне поля силы тяжести//Труды III Ка захстан. межвуз. науч. конф. по мат. и мех., 1967.—Алма-Ата: 1970.—С. 226—270.
63.Б е л я в с к и й С. С. О специализированной устойчивости на конечном про
межутке времени//Диф. ур.—1970.—Т. 6, № 11.
64. Б о ч к а р е в А. Ф. К вопросу об устойчивостй нсустановившегося движения на конечном интервале времени//Труды Куйб. авиац. ин-та.—1957.—Вып. 3.—С.
11—14. |
Д а н ь - Ч ж и , |
С т е п а н о в |
С. Я. Численное исследование на конечном |
65. В ан |
|||
интервале времени//ЖВМ и МФ.—1974.—Т. 14, № 2.—С. 350—364. |
|||
66. В ан |
Д а н ь - Ч ж и , |
С т е п а н о в |
С. Я. Стабилизация управляемых движе |
ний на конечном интервале времени//ЖВМ и МФ,—1975.—Т. 15, № 1.—С. 908— 922.
67. В о в ч е н к о И. И. Об устойчивости некоторых случаев движения твердых тел с одной закрепленной точкой на конечном интервале времени//Труды Казанск. авиац. ин-та.—1962.—Вып. 68—С. 3—10.
68. Г а л и у л л и н А. С. Об устойчивочти движения тяжелой точки переменнной массы//Труды Казанск. авиац. ин-та.—1959.—Вып. 45.— С. 45—62.
69.Г а л и у л л и н А. С. Некоторые вопросы устойчивости программного движе ния.—Казань: Тат. книж. изд., 1960.
70.Г а л и у л л и н А. С. Устойчивость движения.—М.: Ун-т Дружбы народов им.
Патриса Лумумбы, 1973.
71. Г е р м а н и д з е |
В. Е., К р а с о в с к и й Н. Н. Об устойчивости при постоянно |
|
действующих возмущениях//ПММ.—1957.—Т. 21, № 6.—С. 769—774. |
||
72. Д а л е цк ий |
10. Л., К р е й н М. Г. Устойчивость решений дифференциаль |
|
ных уравнений в банковом пространстве.—М: Наука, 1970. |
||
73. Д е м и д о в и ч |
Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.—М.: |
|
Наука, 1967. |
Г. Н. Устойчивость движения//Механика в СССР за 30 лет.— |
|
74. Д у б о ш и н |
||
М.—Л.: Гостехиздат, |
1950,—С. 73—98. |
|
75.Б р у г и н Н. П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качествен ная теория дифференциальных уравнений в целом//ПММ.—1950.—Т. 14, № 5.—
С.495—512.
76.Ж у к о в с к и й В. Н. Об условной устойчивости на заданном интервале вре-
мени//Диф. ур.—1968.—Т. 4, № 5.—С. 858—867.
77- К а м е н к о в Г. В. Об устойчивости движения на конечном интервале време- ни//ПММ .—1953.—Т. 17, № 5.—С. 529—540; 1956,—№ 10.
78. К а м е н к о в Г. В. Об устойчивости движения в случаях, близких к критическим//Труды Ун-та Дружбы народов им. ПатрисаЛумумбы.—1963.—Т. 1.—С. 3— 15.
79. |
К а м е н к о в |
К. В., Л е б е д е в |
А. А. Замечания к статье об устойчивости на |
|||
конечном интервале времени//ПММ.—1954.—Т. 18, № 4.— С. 512. |
||||||
80. |
К а р а ч а р о в |
|
К. А. Некоторые варианты достаточного критерия устойчиво |
|||
сти движения//Науч. труды Моек, лесотехн. ин-та.—1958.—Вып. 8.—С. 63—89. |
||||||
81. |
К а р а ч а р о в К. А. Некоторые критерии устойчивости движения при наличии |
|||||
постоянно действующих возмущений//Диф. ур.—1970.—№ 11.—С. 1963— 1969. |
||||||
82. |
К а р а ч а р о в |
|
К. А. Об одном экспозантном критерии устойчивости//Науч. |
|||
труды Моек, лесотехн. ин-та.—1974.—Вып.бЗ.—С. 220—222. |
||||||
83. |
К а р а ч а р о в |
|
К. А., П и л ю т и к |
А. Г. Введение в техническую теорию ус |
||
тойчивости движения.—М.: Физматгиз, 1963. |
||||||
84. |
К и р и ч е н к о |
Н. Ф. Устойчивость движения при постоянно действующих |
||||
возмущениях в конечном//Диф. ур.—1968.—Т. 4, № 11.—С. 2010—2014. |
||||||
85. |
К и с л я ков |
|
С. О технической теории устойчивости движения//Годишн. |
|||
Высш. тех. учеб, завед, Прилож. мех.—1967 (1968).—№ 2, 3. |
||||||
86. |
К р а с о в с к и й |
Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости.—М.: Физмат |
||||
гиз, 1960. |
|
|
|
|
|
|
87. |
Л я п у н о в |
А. М. |
Общая |
задача об устойчивости движения. М.—Л.: |
||
Гостехиздат, 1950. |
|
|
|
|
|
|
88. М а л к и н Н. Г. Теория устойчивости движения.—М.: Наука, 1966. |
||||||
89. |
М о и с е е в |
Н. Д. |
О некоторых |
методах теории технической устойчиво- |
||
сги//Труды ВВА им. Жуковского.—1954.—Вып. 136.
90.М о и се е в Н. Д. Обзор развития неляпуновских теорий устойчивости движения//3ап. семинара по теории устойчивости движения. ВВА им. Жуковского.— 1946.—№ 1.— С. 75—93.
91.М о и с е е в Н. Д. Квазиинтегральный вывод прямого коэффициентного кри терия асимптотической устойчивости для обыкновенной системы линейных однород ных уравнений с постоянными коэффициентами//Зап. семинара по теории устойчи вости движения ВВА им. Жуковского.—1948.—№ 3.—С. 41—71.
92.М о и с е е в Н. Д. Очерки развития теории устойчивости.—М.—Л.: Гостехиз дат, 1949.
93. Н а с ы р о в Р. М. Некоторые теоремы об устойчивости движения на конеч ном интервале времени//Исследов. по теории пластик и оболочек. № 4.—Казань Казанск. ун-т, 1966.—С. 392—410.
94. П е р с и д с к и й |
С. К. К устойчивости на конечном промежутке//Труды 2-й |
|
Респуб. конференции |
по |
мат. и мех., 1959.—Алма-Ата: АН КазССР, 1962.— |
С. 156— 160. |
|
А. А., Р у т к о в с к а я Л. Д. Исследование некоторых за |
95. П и о н т к о в с к и й , |
||
дач теории устойчивости с помощью векторной функции Ляпунова//АТ.—1967.—
№10.—С. 23—31.
96.Р а з у м и х и н Б. С. Об устойчивости неустановившихся движений//ПММ.—
1956.—Т. 20, № 2.—С. 266—270; 1957.—№ 1.
97.Р у д а к о в В. П. О существовании интервала устойчивости движения по пер вому приближению//Диф. ур.—1965.—Т. 1, № 3.—С. 357—359.
98.Р у д а к о в В. П. Оценка решений и устойчивость на конечном интервале псевдолинейных систем//Диф. ур.—1969.—Т. 5, № 8.—С. 1285—1389.
99.Р у м я н ц е в В. В. Метод функции Ляпунова в теории устойчивости движения//Механика в СССР за 50 лет.—М.: Наука, 1968.—С. 7—66.