книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdf
§ 24.4. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса (случай Б)
Для построения приближенного решения системы (24. L4) здесь мы используем систему (24.1.11) при р. = 0. Имеем
|
М*) ^ 7 = B(z)x + Я(т)и, |
||
и |
|
|
(24.4.1) |
( 7 ( * - Г ' , т > ( / \ т ' ) ^ \ |
v = Т(х)х. |
||
24.4.1. |
Построение формального решения. Введем в рассмот |
||
рение матрицу |
|
|
|
Щ\, т) г Л~'(л)В(т) + |
Л“1Я(т)/г00(Х, х)Т(х) |
||
и определяющее уравнение |
|
|
|
|
| U(k, х) - |
ХЕп| = 0 |
(24.4.2) |
(Еп — единичная матрица порядка л). Каждый корень А0(т) урав нения (24.4.2) является в то же время собственным значением мат рицы х) = U(ka , т), так что если ^ ( т ) (j = 1, 2,..., л) —
собственные значения матрицы lfl°\ то по крайней мере одна из этих скалярных функций совпадает с А0(т). Мы ограничимся рас
смотрением простейшего случая, когда с функцией ка(х) при лю бом х G [О, L] совпадает одно и то же изолированное собственное значение матрицы £Д°)(т), например, ц^(т).
Через Ка и Ма обозначим соответственно столбцовую и строч ную матрицы, определенные равенствами
1/<°>(т)К 0(т) =Хя(т)цР(т), MJx)U<&>b) = |
|
А/„(х)А:ст(т) = 1. |
(24.4.3) |
Будем считать, что в качестве Ка и М0 приняты те решения урав нений (24.4.3), которые дифференцируемы столько же раз, сколько раз дифференцируема матрица lAaK Обозначим
|
S(k, t) = A - \ t ) H R l0(K t)T{t). |
|
Т е о р е м а |
24.4,1. Пусть ka — корень определяющего уравне |
|
ния (24.4.2) |
и при всех х £ |
[О, L] |
1) |
= К(х), ytp * |
U = 2, 3.......я); |
2) M„S„K0 Ф ! (S„ = S(X„ , г)).
Тогда соответствующее этому корню формальное решение CUC- темы (24.4.1) можно представить в виде
xa(t, е) = Ка(т, е)ус, ^ = 1а(т, в)уа , |
(24.4.4) |
где Ка и Ха — соответственно столбцовая матрица и скалярная функция, имеющие формальные разложения
00 |
со |
Ка(хуе) = Я:о(т) + 2 екК ак](х),1 |
Ха(х, е) = Х0(т) + £ еаХ ^(т). |
1 |
* = 1 |
(24.4.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим в уравнения (24.4.1) значение вектора х, определенное равенствами (24.4.4). Получим
А(х)Г " |
--- + |
К 0{х, е)Х0(т, е)| = 5(т)А^(т, е) + Н10 , (24.4.6) |
где по-прежнему |
|
|
/ 0 = |
J G(* - |
т')7,(т ')^ в(т'| е)ехр [0o(f'}е) - 0О(*, е)]Л \ |
а 0а — функция, удовлетворяющая соотношению d%/dt = Ха(т, е).
Имея в виду соотношения (24.4.5), (24.3.7) и (24.3.8), приравняем в равенстве (24.4.6) коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
= КаХа , |
(24.4.7) |
Lt(°>K>kl = К ? 'Х„ + (К а - SaKa)\W +
(24.4.8)
(k — 1, 2,...).
Здесь D^k~L^ — столбцовая матрица, известная при известных
Ка , Ха , ..., K ak~l], XI*-Ч Так, например,
D Ю1 |
Мо |
- А ~ ' я | Л Л . , ) ^ |
+ |
"о |
dx |
dx |
|
|
|
+ к , |
>Т) 4" 2 dx ^ 20(^0 »*) ТК„ |
В силу (24.4.3) и условия (1) теоремы равенство (24.4.7) выполня ется тождественно.
Покажем, что при соответствующем выборе К^к] и равенст
ва (24.4.8) также обращаются в тождества. Предварительно прове дем некоторые дополнительные построения. Квадратная матрица Ра — Ком о является проекционной, соответствующей собственному
значению p.j°) = |
Хс матрицы |
В силу условия ( 1 ) теоремы про |
||||
екционная |
м атрица, |
соответствующая всем |
остальным значениям |
|||
м атрицы |
lfla\ |
равна |
Р_а — Е п — Ра . Ранг |
квадратной матрицы |
||
Р _ а |
равен |
п — 1, и поэтому она может быть разложена на множ и |
||||
тели |
К _ д и М _ а (Р _ а = К _аМ _а)' — матрицы типа соответственно |
|||||
п х (п — 1) и (п — 1) х я, как и матрица Р_а дифференцируемы по
т столько |
ж е раз, |
сколько раз дифференцируема |
|
М атрицы |
||||||
К_.д и |
М _ а друг с другом и с матрицами |
К а , М д связаны соотно |
||||||||
ш ениями |
М _ аК _д = E n _ v |
М _ дК д = |
М дК _д = 0. |
|
|
|||||
Д алее, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К<^ = (К а К_а), |
м<”>= [ М Л |
|
( К |
о ) |
|
||||
|
А(°> = |
> Q1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
М _ д 1 |
к |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
°) |
|
|
|
|
где А |
= |
М _ ди & К _ д , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц(°) = ^ )А (°)М < а>, |
М & к р ) = |
|
= Е п |
(24.4.9) |
||||
(см. гл. 5). Заметим еще, |
что |
собственными значениями |
матрицы |
|||||||
А _ 0 служат собственные |
значения |
|
(/' = |
2, 3 , . . . , п) |
матрицы |
|||||
СД°>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим теперь k - t равенство (24.4.8) слева на |
М^а\ |
заменив |
||||||||
в нем if? ) выражением (24.4.9). Получим |
|
|
|
|||||||
A H Q U] = Q W ^ |
+ м ( а>(Ка - |
SgK a) \M |
+ |
|
11 . |
(24.4.10) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q M = |
м & У кю = |
' м . |
к * 1 ' |
'о т ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
G !So/ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ак как А ^ — квазидиагональная |
матрица, |
равенство |
(24.4.10) |
|||||||
распадается на следующие два: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
М а(К„ - S „ K J \ 1*1 + |
M 'D U - n |
= 0, |
|
(24.4.11) |
||||
A-oQ!2o = Q-o„К + M_a(Ka - s„JC0)A'« + |
|
|
||||||||
В силу условия (2) теоремы первое равенство (24.4.11) |
разреш имо |
|
относительно |
, и для любого Q]® получаем |
|
|
1 - M as jc a- |
(24.4.12) |
М атрица А _а не имеет собственных значений, равных Ха . Значит,
А _ 0 — ХдЕ п _ { — невы рож денная матрица и из второго равенства
ГЛАВА 25
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математическая модель многих процессов, происходящих в ре альной действительности, представляется дифференциальной систе мой, которая в векторно-матричной записи имеет вид
А>(0 “ j2 + Li(0 |
Li(t)Q = <Р» |
(25.0.1) |
где q — столбцовая матрица параметров процесса <?,, <?2,..., |
qn (нап |
|
ример, обобщенных координат механической системы); L0, Lv L2 —
некоторые квадратные матрицы прядка п (матрицы динамических коэффициентов системы); — столбцовая матрица, элементы кото рой являются , вообще говоря, функциями от t и, быть может, управ ляющих функций, которые, в свою очередь определяются значения ми 0 j, 0 2,..., qn. Уравнениями такого типа описываются, в частно
сти, малые колебания механических систем, поведение линейных объектов управления в системах автоматического управления и т.п.
Анализ и синтез процессов, описываемых системой дифференци альных уравнений 2 -го порядка с переменными коэффициентами (особенно, если дифференциальная система имеет высокий порядок) связаны с преодолением немалых трудностей. Эти затруднения в зна чительной мере могут быть сняты, если предварительно произвести «диагонализацию» исходной системы, т. е. соответствующей заменой переменных преобразовать эту систему к системе, матрицы коэффи циентов которой имеют диагональную или по крайней мере квазидиагональную форму. Настоящая глава посвящена изложению некото рых алгоритмов таких канонических преобразований.
§25.1. Преобразование системы уравнений
спостоянными коэффициентами к расщепленному виду
Рассмотрим простейшую систему уравнений 2-го порядка с по стоянными коэффициентами
L °^2 + LiV= Ч>(0 (detA> * °>- |
(25.1.1) |