книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfрицы Ка(т, е) и Лст(т, е) имеют размеры п х ka и ках ка соответст венно и представляются рядами
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
е) = |
Л"0(т) + 2 |
1*1, |
|
||
|
|
|
|
|
t - i |
|
(23.7.7) |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
Ла(т, е) = Л0(т) + 2 |
е*ЛМ(т). |
|
||||
|
|
|
|
|
* =1 |
|
|
|
Члены |
первого ряда |
(23.7.7) определяются по формулам |
||||||
/Cj*1= |
KQlak] (к = 1, 2, 3, ...), |
где К = ( К 1 |
Кр) — матрица пре |
|||||
образования |
матрицы |
U |
к |
квазидиагональному |
виду |
|||
А = diag (А,, ...» Ap); |
Q]*1 — блочная матрица типа п х ка, состо |
|||||||
ящая |
из блоков |
(s = It 2,...» р) |
с размерами ks x k a. При |
|||||
s ^ a |
блоки матрицы |
|
однозначно определяются уравнением |
|||||
где Ms — s-й блок матрицы М = K~l = col (М, М2 ... Мр), а мат
рица D\k~^ вычисляется по формуле
|
rfjrfk-l» |
77'*- " = |
+ 2 ^ 'A i* - « « 01 = *„)• |
|
i= 1 |
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА
§ 24.1. Интегро-дифференциальная система уравнений управляемого процесса
Будем рассматривать управляемый процесс, течение которого представляется некоторыми параметрами (координатами) х у,
х 2, ...» удовлетворяющими системе уравнений
i а>А‘) 4 t = |
i |
Ъц№*1+ s |
hu UJ |
(24.1.1) |
|
j=i |
j=i |
j= i |
|
||
(i= |
1,2,..., |
n; |
det (aiy) =*=0). |
|
|
Управляющие воздействия Uj , рассматриваемые как выходные сиг
налы регуляторов, предполагаются линейными функциями входных сигналов регулятора V j, которые формируются как линейные ком
бинации координат х1Ух2, .... хп: |
|
|
|
||
vj = 2 tu 4 |
С/ = U 2,.... т). |
|
(24.1.2) |
||
/к=*1 |
|
|
|
|
|
Допустим, что связь между входными сигналами н,, |
г>2, |
-ит и |
|||
выходными сигналами и{, |
и2, |
ut регулятора представлена |
по |
||
средством импульсных |
переходных функций |
gtj{i — t\ |
t') |
||
(i = 1, 2, ...» /; / = 1,2, ..., |
/п), |
так что |
|
|
|
ui = 2 |
|
< > /(*’)<«’• |
|
(24.1.3) |
|
j« 1 |
|
|
|
|
|
Итак, рассматриваемый здесь процесс полностью описывается си стемой уравнений (24.1.1)—(24.1.3). Запишем эту систему в матрич-
ном виде. Положим
|
4 i а 12 |
а 1п У |
|
|
^21 |
Ь\ 2 |
4 |
|
|
M |
|
А = а г\ |
а гг |
а2п |
|
В = |
^22 |
|
|
||||
9 |
bln |
9 |
X = |
x 2 |
|||||||
|
^ nl |
а п2 |
а пп} |
|
|
Л ' |
K l |
bntlj |
|
|
* n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
' h u |
h l2 |
|
|
|
'*11 |
*12 |
8 ш |
|
|
h ) |
|
h 2i |
h 22 |
h 2l |
|
|
*21 |
822 |
|
|
|
|
Н = |
7 |
G = |
|
, |
u = |
U2 |
|||||
|
|
ч |
|
||||||||
|
Л - |
h n2 |
|
|
\ * п |
812 |
&lm ^ |
|
Ui4 |
||
|
|
|
( V |
|
|
|
*12 |
*ln |
' |
|
|
|
|
v = |
V2 |
9 |
Т — |
*21 h i |
l 2n |
• |
|
|
|
|
|
|
l ”lJ |
|
|
|
t m2 |
tilltlj |
|
|
|
В этих обозначениях уравнения управляемого процесса принимают вид
(24.1.4)
v = T(t)x.
В пределах данной главы, не оговаривая особо, будем предполагать, что А, В, Н, Г, G дифференцируемы по своим аргументам любое нужное число раз.
24.1.1.О существовании и структуре преобразования к диф
ференциальной системе. |
матрицы |
A(t), |
|||
Т е о р е м а 24.1.1. |
Пусть функциональные |
||||
B(t), H{t), |
G(t — |
T(t) удовлетворяют условиям существо |
|||
вания и единственности решения на промежутке t0^ t ^ T |
мат |
||||
ричного интегро-дифференциального уравнения |
|
|
|||
A{t) |
= B (t) X + H { t) \ G(t - t\t')T{t')X{t,)dt\ |
|
|||
|
|
—00 |
(24.1.5) |
||
Тогда преобразование |
W o) = En• |
|
|
||
x = K ( t ) y |
(24.1.6) |
||||
|
|
||||
с невырожденной и дифференцируемой на [/0,Т) матрицей К при водит систему (24.1.4) к векторно-матричному уравнению
с непрерывной на [/0,7"] матрицей U тогда и только тогда, когда
K(t) = X(t)CZ(t), |
(24.1.8) |
где X (t ) — единственное решение уравнения (24.1.5), С — постоян ная невырожденная матрица порядка п, a Z(t) — непрерывно-диф ференцируемая и невырожденная на [t0,T] матрица порядка п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Замена переменных (24.1.6) приводит си стему (24.1.4) к матричному уравнению
х с ^ р = а-'н \ Git-t^tWnxinciziOyiO -ziOyioUt',
—00
которое допускает решение Z(t)y(t) = const. Отсюда
dj_ = _ z -i dz |
(24.1.9) |
|
dt |
dt y' |
|
В силу свойств матрицы Z матрица U = |
преобразованного |
|
уравнения (24.1.9) непрерывна на |
[<0 ^ 71]. |
|
Пусть, далее, АГ(0 -матрица преобразования, которое систему (24.1.4) приводит к уравнению (24.1.7). Покажем, что тогда K(t) представима в форме (24.1.8). Матрица этого преобразования удов летворяет уравнению
^+ K U - A ~ 1BK)j y = А~1н \ G ( t - t \ t')T(t')K(t')y(t')dt'.
Имеем у = Yc, ще У-фундаментальная матрица системы (24.1.7), а с-столбцовая матрица произвольных постоянных. Учитывая это, получаем
^ г = A~lB K - KU + A~XHIY~\ |
(24.1.10) |
где
t
/(/) = $ < ? (* - t \ ^)Т(ОК(1')У(1')сП'
Принимая во внимание (24.1.5) и (24.1.10), а также соотношения X = KY , = UY, будем иметь
d {X ~ lK Y ) |
_ |
dX~l |
, |
v - i d K |
v - l t r d Y _ |
--------------dt |
- ~ i r K Y + x |
~ d f Y + x |
K W ~ |
||
|
= - |
X~l( A4 BX + A~lHI) X~lKY + X"1A~lB K Y - |
|||
- X ~ lK U Y + X - lA - lH / Y - lY + X~lK ^ = 0.
Поэтому X~lKY = С = const. Отсюда, полагая Y = Z~\ получаем
к= XCZ. Теорема доказана. ■
24.1.2.О методике построения приближенного решения уравнений. Интегро-дифференциальная система (24.1.4) содержит
ся в следующем семействе уравнений более общего вида:
|
|
|
|
t |
|
Л (т )^ = |
В(т)х + е(*Я(т)и, |
и = J G(t — t')v(t',T')dt', |
|||
|
|
|
|
|
(24.1.11) |
|
|
|
V = T ( T ) X |
(T= е/ , e> 0, |
0). |
Ясно, |
что |
при |
e = 1 (24.1.11) совпадает с (24.1.4). В силу этого |
||
всякое |
решение x(t,t) системы (24.1.11) при значении парамет |
||||
ра е, |
равном |
единице, |
будет являться |
решением системы |
|
(24.1.4). Учитывая это, для построения приближенного решения нестационарной интегро-дифференциальной системы (24.1.4) по ступим так. Сначала для системы (24.1.11) построим формаль ное решение в виде бесконечного ряда по степеням е. Частич ные суммы этих рядов будем трактовать как приближенные решения системы (24.1.11), а при е = 1 — как приближенные решения исходной системы (24.1.4). Такой путь построения приближенных решений системы (24.1.4) является эффективным и плодотворным тогда и только тогда, когда A(t), B{t), #(r), T(t), а также G(t — как функция от второго аргумента являются медленно меняющимися функциями.
В дальнейшем будем различать два случая:
А) Воздействие регулятора на регулируемый процесс мало, так что решения уравнений замкнутой системы близки к решениям уравнений при и = 0;
Б) Воздействие регулятора на регулируемый процесс нельзя считать малым.
Приближенное решение системы (24.1.4) будем строить на ос нове формального решения системы (24.1.11) при значении (д.= 1 в случае А, и ц = 0 в случае Б.
§24.2. Приведение уравнений управляемого процесса
красщепленной дифференциальной системе (метод последовательных приближений)
При довольно общих предположениях решение интегро-диффе- ренциальной системы (24.1.11) можно свести к интегрированию не которого числа независимых друг от друга подсистем дифференци альных уравнений 1-го порядка. Мы здесь ограничимся рассмотре нием случая ц = 1.
Итак, имеем
A^ ~ d i~ В^ х + еЯ(т)“’ |
(24.2.1) |
|
|
t \ x , ) v ( t \ x ' ) d t , t v — Т(х)х. |
|
Пусть собственные значения матрицы U(т) = Л-1(т) В(х) на сег менте [0,1/] разделяются на р непересекающихся групп. Предпола гая, что коэффициенты уравнений в системе (24.2.1) имеют на [0,£] производные по х всех порядков, решение этой системы будем искать в виде
* = £ * . ( М Ш 0 . |
(24.2.2) |
|
о=1 |
|
|
^ f = Aa(r,c)% |
(а = 1. 2, ..., р), |
(24.2.3) |
где |
|
|
со |
оо |
|
Ка(х,с) = 2 * кк1к](*), |
A0(T,E) = 2 E‘Ai‘'W - |
(24.2.4) |
к=0 |
к=0 |
|
В свою очередь решения уравнений (24.2.3) будем строить в форме ряда
V0 = 2 e‘j'itl- |
(24.2.5) |
*==0 |
|
Подставим значения Ас и уа из (24.2.4) и (24.2.5) в (24.2.3) и
приравняем в полученном соотношении коэффициенты при одина ковых степенях е. В результате придем к следующей системе урав нений:
dJ0\ |
d>°' = A W + V A I* -'1^ |
(к = |
1. 2. ...). |
|
£ - = М °Ч 01. |
||||
dt |
|
|
||
|
i=0 |
|
|
|
Пусть Уlof — |
фундаментальная матрица решений |
уравнения |
||
d y £ 4 d t = |
так что у^>] = У^>]са (са — матрица-столбец |
|||
произвольных постоянных). Тогда частное решение уравнения
Используя принятые выше обозначения, равенства (24.2,12) пере пишем так:
ик},к' = К'»Л0 + К0А1,» + 0 ^ - » |
(к = 1.2,...). |
(24.2.13) |
|
где |
|
|
|
о |* - ч = 2 ^ - “' л н + ^ г - + |
' 2 Ц,к-°'у™ + |
/ ‘‘о '11 |
г-1 |
d х |
|
||
а = 1 |
|
|
|
Мы пришли к соотношениям, из которых, как было показано в
§ 8.2, можно определить K aki{ |
и Л]*], если D[k~^ — известная мат |
|||
рица. Нам известно значение |
(см, (24.2.11)). Поэтому можно |
|||
определить |
по формуле |
(24.2.10). Тогда |
будет известной |
|
величиной, |
что позволит |
определить К Ш и |
Л ^ , используя |
|
(24.2.13). И вообще, если уже найдены ^J,01, Л£°*, |
/*,01, ..., К\,к~ 1], |
|||
Л ^ - п , то можно определить |
|
используя для этого (24.2.6) и |
||
(24.2.10), а затем |
посредством соответствующего равен |
|||
ства (24.2.13).
Итак, приведенная расчетная схема позволяет интегрирование уравнения (24.2.1) свести к интегрированию расщепленной систе мы дифференциальных уравнений (24.2.3), а точнее, к интегриро
ванию уравнений d y ^ / d t = Ла>401 (а = 1, 2, ..., р), ибо, имея
матрицы фундаментальных решений этих уравнений У{°1,
..., yjj*1, можно определить уа (а = 1, 2,..., р), пользуясь форму лами (24.2.6) и (24.2.7).
§ 24.3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса при малом воздействии регулятора на процесс (случай Л)
Для построения приближенного решения системы (24.1.4) ис пользуем систему (24.1.11), полагая ц = l . -Итак, имеем
A{i)^7 = в(т)х + еЯ(т)и,
t |
(24.3.1) |
и - i G C t - i W M W d f , |
v=T(z)x . |
Формальное решение системы (24.3.1) существенно зависит от по ведения собственных значений матрицы £/= А~1В на рассматрива
емом промежутке 0 «S т ^ L. Мы здесь ограничимся изложением процесса построения формального решения в простейшем случае, когда на [0, L] все собственные значения матрицы U — простые.
24.3.1.Построение формального решения. Собственные значе
ния квадратной матрицы U порядка п обозначим через А.,, Х2,
...» Хп, а собственный вектор этой матрицы, отвечающий собственно му значению к0 , — через К0 .
|
Т е о р е м а 24.3.1. Если |
|
|
|
| ХДт) — А.у.(т) | > 0 |
(г, j — 1, 2, ..., п; |
i=^j; т е |
[О, L]), (24.3.2) |
|
то |
формальное |
решение системы |
(24.3.1) |
на промежутке |
0 |
т < L можно представить в виде |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
е) = 2 *о(т>БЪ’о . |
(24.3.3) |
|
|
|
О=1 |
|
|
=ОЗ'а .
А
где Ка и ка — соответственно столбцовая матрица и скалярная функция, имеющие формальные разложения
£) = K0(t) +
Jt=1 |
(24.3.4) |
Х0(т,
к—1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (24.3.3) в систему уравнений (24.3.1). Получим
dK
2 А \£~df + КоК\Уо =
а= 1
|
-2 |
в К у0 + еИ\ G0 - |
т')Т(т')Ка(т', е)уа dt' |
|
o s l |
L |
|
Выбор Ка и £а ограничим требованием выполнения равенств |
|||
dK |
~ ~ \ |
~ |
|
(е -jf- |
+ * A J У„= ВК„уа + |
|
|
+ e# J |
G(t — t \ г')Т(г')К0(г', t)y0 dt' |
(<J= I, 2.......n). (24.3.5) |
|