
книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdf§22*5. Выделение полностью не наблюдаемой подсистемы
влинейной системе
Система вида
^ * = A ( t ) x , л - е я \ у = 0, y G R r,
называется полностью не наблюдаемою Сравнивая эту систему с системой (22.1.2)—(22.1.3), приходим к выводу, что полностью не наблюдаема та система, у которой c(i) = 0.
Пусть имеется система
^ A(t)x, x G R ny y = C ( t) х, у G Rr, |
(22.5.1) |
которая не является вполне наблюдаемой на интервале 170, <,]. В этом случае матрица N(t0, t{), определяемая равенством (22.2.1), имеет ранг к < п. При к = 0, что возможно только при c(t) = 0, си стема (22.5.1) полностью не наблюдаема.
Если к 5* 0, то попытаемся выделить в пространстве Rn подпро странство, в котором система (22.5.1) полностью не наблюдаема, аналогично тому, как это было сделано для управляемых систем в гл. 25. В системе (22.5.1) произведем невырожденное преобразова ние
x = X ( t , t 0)Fx, |
(22,5.2) |
где X(t, t0) — матрица Коши линейной однородной системы
(22.1.3), F — некоторая постоянная невырожденная матрица, о вы боре которой речь пойдет ниже. Учитывая свойства матрицы Коши, получаем систему
|
^ = 0 , |
y=C(t)x, |
(22.5.3) |
где |
_ |
|
(22.5.4) |
|
С(0 = C(t)X(i, t0)F. |
||
что |
На основании теоремы 22.2.2 можж) сделать заключение о том, |
||
если rank N(t0, *,) = к, то |
и N(t0, *,) — к, где |
N(t0, /L) = |
= F^N^Q, ty)F. Так как матрица |
N(t0, ty) имеет ранг к , то суще |
||||
ствует п — к |
линейно независимых постоянных ортонормированных |
||||
л-мерных векторов |
/ А, / 2, .... /„_* таких, |
что N(t0, ti) f i = 0 |
|||
( i = 1, 2, ..., л — к ) , или на основании леммы 21.3.3 |
|
||||
|
X(t, t0)fy = 0 (г= 1, 2, ..., л — к). |
(22.5.5) |
|||
Выберем |
матрицу |
F в виде |
блочной матрицы |
F — (FyF2), |
|
где матрица |
Fv= (/, / 2 ... /„_*) |
— размеров |
л х ( л — *), а мат |
рица F2= (/„ _ к+, /„ _ к+2 ... /„) — размеров п х к , |
причем F2 |
выбирается так, что матрица F — ортонормированная матрица. |
|
В этом случае |
|
p = |
(22.5.6) |
Тогда матрица C(i) в равенстве (22.5.4) с учетом (22.5.5) разо
бьется на блоки C(t) = |
(0,C2(f))« где C2(t) — матрица размеров |
|
г х к, В связи с этим |
система (22.5.3) представляется в виде |
|
d x j d t — 0, y = C2(t)x2, |
Pi] |
- |
где х = — I, |
х1 — (л — А:)-мерный век |
тор, х2 — ^-мерный вектор.
Из анализа этой системы видно, что подпространство, опреде ляемое уравнением х2= 0, есть подпространство, в котором состо
яние х 1 полностью не наблюдаемо. С другой стороны, подпростран
ство х { = 0 является |
подпространством, в котором состояние х2 |
||
вполне наблюдаемо. Так как |
|
||
__ |
|
а |
|
rank ЛГ(/0, *,) = |
rank $ FIX*(s, t0)CT(s)C(s)X(st t0)Fds = |
||
t |
_ |
_ |
_ |
= rank J C2{s)C2{s)ds = rank N2(tQ> = rank N(t0, /t) = к
и размерность подпространства 3ct = 0 также равна к, то подсистема dx2ld t — 0, y = C2(t)x2 вполне наблюдаема. В противном случае
она допускала бы дальнейшее выделение полностью не наблюдае мой части.
Посмотрим теперь, какой вид будет иметь многообразие, в ко тором система (22.5.1) полностью наблюдаема, в пространстве ко
ординат Rn. Из выражения (22.5.2) с учетом свойства (22.5.6) мат
рицы F и свойств матрицы Коши X(t, |
t0) следует х = FTX(t0, t)x, |
или |
|
Xj = F^X^Q, f)x, x2= |
Fl(t0, /)JC. |
Многообразие, в котором система (22.5.1) полностью не наблюдае ма, представляет собой множество Tn~k точек (/, х), удовлетворя ющие равенству
И соответственно многообразие, в котором система (22.5.1) вполне
наблюдаема, представляет собой множество Г* точек (/, х), удов летворяющих равенству
f]A:(Z0, 0 * “ 0. |
(22.5.8) |
Таким образом, мы выделили в пространстве /?п +1 точек (/, х)
многообразие Г” определяемое (22.5.7), в котором система (22.5.1) полностью не наблюдаема. Из построения этого многообра зия следует, что оно единственное. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом. Наблюдая выход системы у(Г), мы можем в общем случае (при к< п) определить лишь про
екцию траектории на многообразие Г*.
На практике встречается много случаев, когда нас интересуют не все координаты системы, а лишь некоторые их комбинации, на
пример, линейная комбинация координат rj(f) = F(t)x(t). Если вектор l(t) лежит в многообразии Г* на интересующем нас интер вале времени, что будет, если F[X(t0, t)l(t) = 0 , то он может быть вычислен по наблюдениям у(*); в противном случае он не наблю даем.
Из того, что x(t) = X(t> t0)xQ, с учетом (22.5.8) и свойств мат рицы Коши следует, что наблюдаема лишь проекция начального вектора х0 на подпространство, задаваемое равенством F]x0 = 0.
Подобно тому как это было сделано в § 16.8, можно показать, что для стационарных систем многообразия ГА, Г"- * являются ци линдрическими по t, т.е. наблюдаема проекция фазового вектора на некоторое ^-мерное подпространство пространства Rn.
§ 22.6. Асимптотический' идентификатор
По известному выходу y(t) и управлению u(t) вполне наблюда емой системы мы*всегда можем восстановить начальное (или теку щее) состояние системы по формуле (22.2.3). В этом случае требу ется знание матрицы Коши линейной однородной системы.
Попытаемся теперь построить динамическую систему, входами которой являются входы и выходы исходной линейной системы, а выходами — вектор x(t), оценивающий вектор состояния х(/). Ди намическая система, которая формирует на выходе вектор х(/) по данным о входах и выходах системы, называется идентификато ром состояния.

График этой функции изображен на рис. 23.2.
Дельта-функция Дирака, или симметричная единичная им пульсная функция d(z) действительной переменной z, определяется из условия
$ /а ) |
- о <11= |
|
|
|
а |
|
о, |
t e [ a , |
Ь], |
|
\ / 2 f ( t |
|||
|
+ 0), |
Г= а, |
(23.1.2) |
|
|
I/2 /(f —0), |
t = b, |
||
|
|
|||
|
1/2 lf(t —0) + f ( t |
+ 0)], |
/ e (a, |
b), |
где a < b, a f(z) — произвольная функция, являющаяся в окрест ности точки z = t функцией ограниченной вариации. Для произ вольных функций /(z), непрерывных в точке z = t, в частности, имеем
ь |
[0, |
t ё [а, Ъ], |
|
t/(S ) 6(1 - 0 |
= 1 /2 /(0 , |
t — а и 1 |
= Ь, (23.1.3) |
a |
/(0» |
*G (я> 6). |
|
Полагая /(z) s 1, из условий (23.1.3) получаем следующие свойст ва дельта-функции:
6 (z )= 0 |
(zi*0), |
Jd (S )tf£ = l, |
(23.1.4) |
|
|
— со |
|
которые часто принимаются в качестве определения дельта-функ ции.
Среди функций, понимаемых в обычном смысле, нет функций со свойствами (23.1.4); 6(z) является символической (обобщенной) функцией, с помощью которой функциональное преобразование
/( £ ) —/(/) |
формально |
можно пред |
|
|||
ставить |
как |
интегральное |
преобразо |
7(гН |
||
вание. Формальное применение дель |
|
|||||
та-функции |
приводит к удобным по |
7- |
||||
строениям, |
позволяющим |
получить |
//?" |
|||
обобщения |
многих математических |
|||||
|
||||||
соотношений, которые, |
однако, вооб |
|
||||
ще говоря, нуждаются в строгих обос |
|
|||||
нованиях. Мы здесь не будем касаться |
Рис. 23.2 |
|||||
вопросов |
обоснования |
применяемых |
|
далее операций с использованием дельта-функции, отсылая читате ля к монографиям, в которых более детально рассмотрены приме нения дельта-функции Дирака в теории линейных систем (см., на пример, [21, 157, 161J).
Производные d'(z), d"(z), |
6^(г), ... дельта-функции опре |
|||
деляются условиями |
|
|
|
|
$/№)8<г)(1- < ) « $ = |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
О, |
t € |
[а, 5], |
|
|
= I (—1)г (1/2) /<'>(*+ 0), |
t — |
а, |
(23.1.5) |
|
1 (—1)" (1/2) /С->(Г_ 0), |
t = b, |
|||
|
||||
( - 1 ) '( 1 / 2 ) tf W ( f - O ) + / « ( * +0)], te. (а, Ь), |
|
где а < a /(z) — произвольная функция, производная / ^ ( z ) ко
торой имеет односторонние пределы f ^ ( t — 0) и f^r\ t + 0). Соот ношения (23.1.5) могут быть получены путем r-кратного формаль ного интегрирования по частям с учетом (23.1.2) и (23.1.4).
Для произвольных функций /(z), производные f^r\ z ) |
которых |
||
в точке z — t непрерывны, в частности, имеем |
|
||
ь |
0, |
t Е [а, 5], |
|
5 /(!) 6 « ( | - о |
. ( - 1 ) ' (1/2) /М (0, |
1 = а и t = |
*,(23.1.6) |
“ |
l ( - l ) r / (r)(<). |
|
|
Согласно приведенным соотношениям в случае совпадения одно го из пределов интегрирования с моментом действия дельта-фун
кции t перед функцией f ^ ( t ) (г = 0, 1, 2,...) в правых частях соотношений появляется коэффициент 1/2. Это является следст вием того, что как дельта-функция, так и ее производные обладают симметрией относительно момента t. Однако в боль шинстве случаев, связанных с практическим применением, ко эффициент 1/2 опускают, предполагая такое расширение преде лов интегрирования, при котором импульс целиком оказывается в интервале интегрирования. Следуя этому, мы также будем считать, что
$ / « ) »(г,( 6 - О |
<4 = 5 № ) |
о |
(-1 )'/М (г ), |
/ |
Г-0 |
|
|
$/а ) Ъ,г>(1 - 0 ^ |
= 1/(%) Ь('Ч\ - t ) d \ = ( - 1)' /М(г)- |
а |
а |
Связь между дельта-функцией 6(z) и единичной функцией l(z) представляется символическим соотношением 6(z) = d l( z ) /d z , ко
торое легко устанавливается, например, с помощью преобразования
Лапласа:
00
6(/ - D = |
5 6(t - %)е~Р* dt = & -1[е~*Р] = |
|
О |
П р и м е ч а н и е . Все соотношения настоящего параграфа сохра няют свой внешний вид и в том случае, когда вместо скалярной функции /(z) стоит прямоугольная матрица, элементами которой служат скалярные функции с соответствующими свойствами.
§23.2. Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функции. Импульсная переходная функция
Реакцию предварительно невозбужденной системы на входной сигнал в виде дельта-функции принято называть импульсной пере ходной функцией (иногда эту реакцию называют весовой функцией).
Допустим, что на /-й вход предварительно невозбужденной системы подается сигнал в виде дельта-функции 6(t — |). На i-м выходе поя вится выходной сигнал — импульсная переходная функция, которую обозначим через ^ .(/, £). Сигнал в виде дельта-функции, поданный на у-й вход, вызовет на разных выходах системы, вообще говоря, раз ные сигналы g4 (t, £), g2j(t, | ) , ..., gnj(t, |). С другой стороны, сиг
налы в виде дельта-функции, поданные на разные входы, вызовут на одном и том же (например, z'-м) выходе разные выходные сигналы
£)> |
£)> •••» |
£)• |
|
|
|
Многомерная линейная система с I входами и п выходами харак |
|||||
теризуется |
nl |
импульсными |
переходными |
функциями g^it, |) |
|
(z = 1, 2, ..., л; |
J = 1, 2,..., I). Эти функции удобно собрать в одну |
||||
матрицу G(t, £) с размерами п х /: |
|
||||
|
|
^ |
#п(*5 £) |
£) |
8ц{и I) ^ |
|
|
1) = |
*21 (*» Ю *2г(*> I) |
£) |
|
|
|
f i t |
|
|
|
|
|
|
gn2{U I) |
gnl(t, £) |
|
|
|
|
|
||
|
|
\ |
|
|
|
Столбцы матрицы G(x, £) обозначим через gj(t, |):
fSij(U Щ
gjiU |) = S i j ( U £) ( / = 1 , 2 , , . . , /). gnj{u I)