Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

..pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
36.1 Mб
Скачать

§22*5. Выделение полностью не наблюдаемой подсистемы

влинейной системе

Система вида

^ * = A ( t ) x , л - е я \ у = 0, y G R r,

называется полностью не наблюдаемою Сравнивая эту систему с системой (22.1.2)—(22.1.3), приходим к выводу, что полностью не наблюдаема та система, у которой c(i) = 0.

Пусть имеется система

^ A(t)x, x G R ny y = C ( t) х, у G Rr,

(22.5.1)

которая не является вполне наблюдаемой на интервале 170, <,]. В этом случае матрица N(t0, t{), определяемая равенством (22.2.1), имеет ранг к < п. При к = 0, что возможно только при c(t) = 0, си­ стема (22.5.1) полностью не наблюдаема.

Если к 5* 0, то попытаемся выделить в пространстве Rn подпро­ странство, в котором система (22.5.1) полностью не наблюдаема, аналогично тому, как это было сделано для управляемых систем в гл. 25. В системе (22.5.1) произведем невырожденное преобразова­ ние

x = X ( t , t 0)Fx,

(22,5.2)

где X(t, t0) — матрица Коши линейной однородной системы

(22.1.3), F — некоторая постоянная невырожденная матрица, о вы­ боре которой речь пойдет ниже. Учитывая свойства матрицы Коши, получаем систему

 

^ = 0 ,

y=C(t)x,

(22.5.3)

где

_

 

(22.5.4)

 

С(0 = C(t)X(i, t0)F.

что

На основании теоремы 22.2.2 можж) сделать заключение о том,

если rank N(t0, *,) = к, то

и N(t0, *,) — к, где

N(t0, /L) =

= F^N^Q, ty)F. Так как матрица

N(t0, ty) имеет ранг к , то суще­

ствует п — к

линейно независимых постоянных ортонормированных

л-мерных векторов

/ А, / 2, .... /„_* таких,

что N(t0, ti) f i = 0

( i = 1, 2, ..., л — к ) , или на основании леммы 21.3.3

 

 

X(t, t0)fy = 0 (г= 1, 2, ..., л — к).

(22.5.5)

Выберем

матрицу

F в виде

блочной матрицы

F — (FyF2),

где матрица

Fv= (/, / 2 ... /„_*)

— размеров

л х ( л — *), а мат­

рица F2= (/„ _ к+, /„ _ к+2 ... /„) — размеров п х к ,

причем F2

выбирается так, что матрица F — ортонормированная матрица.

В этом случае

 

p =

(22.5.6)

Тогда матрица C(i) в равенстве (22.5.4) с учетом (22.5.5) разо­

бьется на блоки C(t) =

(0,C2(f))« где C2(t) — матрица размеров

г х к, В связи с этим

система (22.5.3) представляется в виде

d x j d t — 0, y = C2(t)x2,

Pi]

-

где х = — I,

х1 — (л — А:)-мерный век­

тор, х2 — ^-мерный вектор.

Из анализа этой системы видно, что подпространство, опреде­ ляемое уравнением х2= 0, есть подпространство, в котором состо­

яние х 1 полностью не наблюдаемо. С другой стороны, подпростран­

ство х { = 0 является

подпространством, в котором состояние х2

вполне наблюдаемо. Так как

 

__

 

а

 

rank ЛГ(/0, *,) =

rank $ FIX*(s, t0)CT(s)C(s)X(st t0)Fds =

t

_

_

_

= rank J C2{s)C2{s)ds = rank N2(tQ> = rank N(t0, /t) = к

и размерность подпространства 3ct = 0 также равна к, то подсистема dx2ld t — 0, y = C2(t)x2 вполне наблюдаема. В противном случае

она допускала бы дальнейшее выделение полностью не наблюдае­ мой части.

Посмотрим теперь, какой вид будет иметь многообразие, в ко­ тором система (22.5.1) полностью наблюдаема, в пространстве ко­

ординат Rn. Из выражения (22.5.2) с учетом свойства (22.5.6) мат­

рицы F и свойств матрицы Коши X(t,

t0) следует х = FTX(t0, t)x,

или

 

Xj = F^X^Q, f)x, x2=

Fl(t0, /)JC.

Многообразие, в котором система (22.5.1) полностью не наблюдае­ ма, представляет собой множество Tn~k точек (/, х), удовлетворя­ ющие равенству

И соответственно многообразие, в котором система (22.5.1) вполне

наблюдаема, представляет собой множество Г* точек (/, х), удов­ летворяющих равенству

f]A:(Z0, 0 * “ 0.

(22.5.8)

Таким образом, мы выделили в пространстве /?п +1 точек (/, х)

многообразие Г” определяемое (22.5.7), в котором система (22.5.1) полностью не наблюдаема. Из построения этого многообра­ зия следует, что оно единственное. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом. Наблюдая выход системы у(Г), мы можем в общем случае (при к< п) определить лишь про­

екцию траектории на многообразие Г*.

На практике встречается много случаев, когда нас интересуют не все координаты системы, а лишь некоторые их комбинации, на­

пример, линейная комбинация координат rj(f) = F(t)x(t). Если вектор l(t) лежит в многообразии Г* на интересующем нас интер­ вале времени, что будет, если F[X(t0, t)l(t) = 0 , то он может быть вычислен по наблюдениям у(*); в противном случае он не наблю­ даем.

Из того, что x(t) = X(t> t0)xQ, с учетом (22.5.8) и свойств мат­ рицы Коши следует, что наблюдаема лишь проекция начального вектора х0 на подпространство, задаваемое равенством F]x0 = 0.

Подобно тому как это было сделано в § 16.8, можно показать, что для стационарных систем многообразия ГА, Г"- * являются ци­ линдрическими по t, т.е. наблюдаема проекция фазового вектора на некоторое ^-мерное подпространство пространства Rn.

§ 22.6. Асимптотический' идентификатор

По известному выходу y(t) и управлению u(t) вполне наблюда­ емой системы мы*всегда можем восстановить начальное (или теку­ щее) состояние системы по формуле (22.2.3). В этом случае требу­ ется знание матрицы Коши линейной однородной системы.

Попытаемся теперь построить динамическую систему, входами которой являются входы и выходы исходной линейной системы, а выходами — вектор x(t), оценивающий вектор состояния х(/). Ди­ намическая система, которая формирует на выходе вектор х(/) по данным о входах и выходах системы, называется идентификато­ ром состояния.

П р и м ер 22.6.1. Построим асимптотический идентификатор для измерения ко­ ординат летательного аппарата, находящегося на околокруговой траектории, по из­ мерениям се текущего радиуса. Уравнения движения летательного аппарата приве­ дены в примере 20.4.1 на с. 411, а наблюдаемость исследована в примере 22.4.1 на с. 450. Уравнение идентификатора согласно (22.6.3) будет иметь вид

'АЙ/

r 0

2v

V2'

'ай; K)

>

 

О О 'W

'дй;

AKt =

-v

0

0

AKf + *2

1

AKt

.ib <1

0

°J \Ar /

\ Ar>

где Дг — измеряемое текущее отклонение радиуса г от радиуса г0.

Так как принципиальная возможность построения асимптотического идентифи­ катора, обладающего желаемыми свойствами, установлена, запишем характеристи­ ческий многочлен матрицы A —DC и подберем dy d2, d3 так, чтобы все его корни

были одинаковыми и равнялись заданному числу -Х ,< 0:

 

0

2v

v2^

 

(\ о o'!

\ A - D C - X E A

-v

0

О

 

(00 1)- О

А. О

 

1

0

0

 

О

О А.

 

 

 

-X

2v

v2 — d

 

 

 

 

-v

-X

~d2 — X3- d 3X2W1+ v 2)X -2v(d2- W 3).

 

 

 

I

0

- d 3- X

 

Потребуем, чтобы

 

 

 

 

 

 

 

У?+ tf

 

+ (dL+ v2)X + 2v(d2+ v d j = (X 4- X

Возводя правую часть последнего равенства в куб и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях» получаем следующие выражения для неизвестных параметров идентификатора d v d2 и d3:

 

 

rf1=3X .,

d 2= 3X2 —v2, </3=

X]

 

 

— — 3vX..

Уравнения идентификатора примут вид

 

 

dAV

 

dAV

,

- j p

= 2vAV'r + vAVt + 3X.(Ar —Ar),

= -vAK, + (3X2 - v 2)(A r-A r),

 

 

= A V +

—3VAJ (A r-A r).

 

 

dt

r ^ 2 v

f

 

Эти уравнения можно интегрировать на борту летательного аппарата в темпе движения, используя текущие измерения Аг, и подавать оценки фазовых координат АЙ,, AVy ДГ (либо Дг) в устройство управления.

ГЛАВА 23

ДИНАМ ИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫ Х СИСТЕМ

В теории линейных систем автоматического управления широко используются некоторые характеристики систем, которые, являясь

носителями довольно полной информации о

свойствах

системы,

■— I

оказываются

очень

удобными

при анализе процессов в системе

уи, в частности, при определении

реакций системы на те или иные

__________ I

входные воздействия. Настоящая

Рис. 23.1

глава посвящается

такого рода

 

характеристикам

многомерной

линейной системы (рис. 23.1), процессы в которой описываются уравнением

A(t) ^ = B(t)x + H(t)u,

det

А * 0,

(23.0.1)

где х — матрица выходных сигналов х,,

х2,

хп (столбцовая

матрица с размерами л х 1 ); и — матрица входных сигналов uv «2» •••» “i (столбцовая матрица с размерам /х 1); А, В, Н —мат­ рицы динамических коэффициентов системы с размерами л X л, л х л и л х I соответственно.

§ 23.1. Единичная ступенчатая функция и дельта-функция

I

Ступенчатой функцией действительной переменной называет­ ся функция, значение которой изменяется только в дискретной по­ следовательности точек разрыва 1-го рода. Часто используемой в приложениях ступенчатой функцией является симметричная еди­ ничная функция

[0,

l ( z ) = 1/2,

1,

z < 0,

 

z = 0,

(23.1.1)

z > 0.

 

График этой функции изображен на рис. 23.2.

Дельта-функция Дирака, или симметричная единичная им­ пульсная функция d(z) действительной переменной z, определяется из условия

$ /а )

- о <11=

 

 

 

а

 

о,

t e [ a ,

Ь],

 

\ / 2 f ( t

 

+ 0),

Г= а,

(23.1.2)

 

I/2 /(f —0),

t = b,

 

 

 

1/2 lf(t —0) + f ( t

+ 0)],

/ e (a,

b),

где a < b, a f(z) — произвольная функция, являющаяся в окрест­ ности точки z = t функцией ограниченной вариации. Для произ­ вольных функций /(z), непрерывных в точке z = t, в частности, имеем

ь

[0,

t ё [а, Ъ],

t/(S ) 6(1 - 0

= 1 /2 /(0 ,

t — а и 1

= Ь, (23.1.3)

a

/(0»

*G (я> 6).

 

Полагая /(z) s 1, из условий (23.1.3) получаем следующие свойст­ ва дельта-функции:

6 (z )= 0

(zi*0),

Jd (S )tf£ = l,

(23.1.4)

 

 

— со

 

которые часто принимаются в качестве определения дельта-функ­ ции.

Среди функций, понимаемых в обычном смысле, нет функций со свойствами (23.1.4); 6(z) является символической (обобщенной) функцией, с помощью которой функциональное преобразование

/( £ ) —/(/)

формально

можно пред­

 

ставить

как

интегральное

преобразо­

7(гН

вание. Формальное применение дель­

 

та-функции

приводит к удобным по­

7-

строениям,

позволяющим

получить

//?"

обобщения

многих математических

 

соотношений, которые,

однако, вооб­

 

ще говоря, нуждаются в строгих обос­

 

нованиях. Мы здесь не будем касаться

Рис. 23.2

вопросов

обоснования

применяемых

 

далее операций с использованием дельта-функции, отсылая читате­ ля к монографиям, в которых более детально рассмотрены приме­ нения дельта-функции Дирака в теории линейных систем (см., на­ пример, [21, 157, 161J).

Производные d'(z), d"(z),

6^(г), ... дельта-функции опре­

деляются условиями

 

 

 

$/№)8<г)(1- < ) « $ =

 

 

 

а

 

 

 

О,

t

[а, 5],

 

= I (—1)г (1/2) /<'>(*+ 0),

t

а,

(23.1.5)

1 (—1)" (1/2) /С->(Г_ 0),

t = b,

 

( - 1 ) '( 1 / 2 ) tf W ( f - O ) + / « ( * +0)], te. (а, Ь),

 

где а < a /(z) — произвольная функция, производная / ^ ( z ) ко­

торой имеет односторонние пределы f ^ ( t — 0) и f^r\ t + 0). Соот­ ношения (23.1.5) могут быть получены путем r-кратного формаль­ ного интегрирования по частям с учетом (23.1.2) и (23.1.4).

Для произвольных функций /(z), производные f^r\ z )

которых

в точке z — t непрерывны, в частности, имеем

 

ь

0,

t Е [а, 5],

 

5 /(!) 6 « ( | - о

. ( - 1 ) ' (1/2) /М (0,

1 = а и t =

*,(23.1.6)

l ( - l ) r / (r)(<).

 

 

Согласно приведенным соотношениям в случае совпадения одно­ го из пределов интегрирования с моментом действия дельта-фун­

кции t перед функцией f ^ ( t ) (г = 0, 1, 2,...) в правых частях соотношений появляется коэффициент 1/2. Это является следст­ вием того, что как дельта-функция, так и ее производные обладают симметрией относительно момента t. Однако в боль­ шинстве случаев, связанных с практическим применением, ко­ эффициент 1/2 опускают, предполагая такое расширение преде­ лов интегрирования, при котором импульс целиком оказывается в интервале интегрирования. Следуя этому, мы также будем считать, что

$ / « ) »(г,( 6 - О

<4 = 5 № )

о

(-1 )'/М (г ),

/

Г-0

 

 

$/а ) Ъ,г>(1 - 0 ^

= 1/(%) Ь('Ч\ - t ) d \ = ( - 1)' /М(г)-

а

а

Связь между дельта-функцией 6(z) и единичной функцией l(z) представляется символическим соотношением 6(z) = d l( z ) /d z , ко­

торое легко устанавливается, например, с помощью преобразования

Лапласа:

00

6(/ - D =

5 6(t - %)е~Р* dt = & -1[е~*Р] =

 

О

П р и м е ч а н и е . Все соотношения настоящего параграфа сохра­ няют свой внешний вид и в том случае, когда вместо скалярной функции /(z) стоит прямоугольная матрица, элементами которой служат скалярные функции с соответствующими свойствами.

§23.2. Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функции. Импульсная переходная функция

Реакцию предварительно невозбужденной системы на входной сигнал в виде дельта-функции принято называть импульсной пере­ ходной функцией (иногда эту реакцию называют весовой функцией).

Допустим, что на /-й вход предварительно невозбужденной системы подается сигнал в виде дельта-функции 6(t — |). На i-м выходе поя­ вится выходной сигнал — импульсная переходная функция, которую обозначим через ^ .(/, £). Сигнал в виде дельта-функции, поданный на у-й вход, вызовет на разных выходах системы, вообще говоря, раз­ ные сигналы g4 (t, £), g2j(t, | ) , ..., gnj(t, |). С другой стороны, сиг­

налы в виде дельта-функции, поданные на разные входы, вызовут на одном и том же (например, z'-м) выходе разные выходные сигналы

£)>

£)> •••»

£)•

 

 

Многомерная линейная система с I входами и п выходами харак­

теризуется

nl

импульсными

переходными

функциями g^it, |)

(z = 1, 2, ..., л;

J = 1, 2,..., I). Эти функции удобно собрать в одну

матрицу G(t, £) с размерами п х /:

 

 

 

^

#п(*5 £)

£)

8ц{и I) ^

 

 

1) =

*21 (*» Ю *2г(*> I)

£)

 

 

f i t

 

 

 

 

 

gn2{U I)

gnl(t, £)

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

Столбцы матрицы G(x, £) обозначим через gj(t, |):

fSij(U Щ

gjiU |) = S i j ( U £) ( / = 1 , 2 , , . . , /). gnj{u I)

Каждый столбец представляет собой набор импульсных переходных функций по всем выходам системы, отвечающий какому-нибудь ее входу.

Выходные сигналы не могут появиться раньше, чем будет при­ ложен входной сигнал, поэтому в реальных системах g^it, |) = 0

при t < Это свойство реальных систем принято называть услови­ ем физической осуществимости, или условием физической реали­ зуемости системы.

Для определения матрицы G(t, !;) уравнение (23.0.1) заменим эквивалентным соотношением

t

х = х ( 0 с + $ d t\ *0

где X(t) — фундаментальная матрица однородного уравнения

A(t) ^ = B(t)x.

(23.2.1)

Если система до подачи выходного сигнала находилась в покое, так что x(t0) = 0, то с = 0 и в случае предварительно невозбужденной

системы имеем

* = $ X { t ) X - '( f ) A - '( f ) H ( f ) u d f

(23.2.2)

Пусть на j-w. вход предварительно невозбужденной системы подан сигнал в виде дельта-функции, т.е. и5 = 0 Uj = b (t— |)

(£ е [t0, г1]). Тогда, имея в виду, что Н = (h{ h2 ... Л,), и используя (23.2.2), получаем

gjO, а = j х ^ х - ^ п А - ' и ^ к ^ п ы г - \) d t\

или gj(t, £) = .Х(0АГ-1(£М -1(£)ЛД£). В соответствии с этим

G(t, ю = X(OX~la ) A - la)ffG ) .

(23.2.3)

Согласно изложенному выше <?(/, £) представляет собой реше­ ние матричного дифференциального уравнения

А ( » % = B ( t ) C + H(t)b(t-%)

Соседние файлы в папке книги