книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

целенаправленное изменение фазовых координат, называются

управляющими параметрами, или управлениями. Зависимости этих параметров от времени также называют управлениями, или управляющими функциями. Мы рассмотрим объекты, поведение которых во времени полностью определяется значениями фазо­ вых координат в некоторый момент времени t = /0 и управля­

ющими функциями при t 5= tQ.

В теории автоматического управления принято управляемый объект изображать так, как показано на рис. 20.1. В таком пред­

ставлении управляющие функции u'(t) называются также входны-

Рис. 20.1

ми воздействиями, или просто входами объекта, a .xJ(t) — выход­ ными функциями, или выходами объекта. Говорят еще, что на вход объекта поданы функции ul(t), u2(t), ..., um(t), а на выходе мы

получаем xL(l), x2(t),..., xn(t).

Разумеется, приведенный способ изображения объекта никак не отражает его внутреннее устройство, знание которого необходимо, чтобы выяснить, каким образом с помощью управляющих функций и начальных значений фазовых координат можно вычислить изме­ нение фазовых координат во времени.

Величины и1,и2, ..., ит удобно считать компонентами некоторо­ го вектора и = (и1, и2, ..., ит) Е Rm, величины х 1, х 2, . . . , х п —

компонентами вектора х = (х1, х2, ..., xn) Е Rn, где Rm, Rn — т- мерное и л-мерное векторные пространства соответственно. Вектор

х называют фазовым вектором, вектором фазовых координат объекта, или просто состоянием объекта, а и — вектором управ­

ления, Пространство Rn называют фазовым пространством, а Rm — пространством управления. Функцию u{t) обычно называ­ ют управлением (векторным), x(t) — фазовой траекторией, или просто траекторией. Пара (u(t), *(*)) называется процессом управления.

Для проведения тех или иных исследований, связанных с фун­ кционированием объектов, обычно рассматривается не сам реаль­ ный объект, а его модель (математическая модель) — некоторый

формализованный образ объекта и его свойств, конкретный вид ко­ торого определяется допустимой степенью идеализации (абстрак­ ции), когда отдельные свойства объекта и процесса могут быть ис­ ключены из рассмотрения как факторы, не влияющие существен­ ным образом на результаты решения поставленной задачи. Построение математической модели — важный этап решения зада­ чи управления. Излишне подробная математическая модель, учи­ тывающая несущественные для данной задачи свойства объекта и процесса, усложняет решение задачи и даже может сделать ее не­ решаемой. Наоборот, чрезмерно упрощенная модель, хотя и облег­ чает получение результата, может оказаться неприемлемой, если при ее построении исключены существенные качества объекта и процесса управления.

Всегда при построении математической модели действуют два противоположных стимула:

1) стимул «рентабельность»: математическая модель должна га­ рантировать возможность решения задачи;

2) стремление решить задачу «поточнее» или во всяком случае так, чтобы математическая модель была достаточно адекватна фи­ зической реальности.

Пример 20.1.1. Движение летательного аппарата, который рассматривается как материальная точка, опи­

где V — вектор скорости, г — радиус-вектор, т — мас­ са; Р — вектор тяги двигателя, g — вектор гравитацион­ ного ускорения, р — секундный расход массы, с — ско­ рость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя, р — единичный вектор тяги (рис. 20.2). Компоненты векторов V, г и т — фазовые координаты, компоненты вектора р и р — управления.

Иногда эта модель недостаточно подробна, напри­ мер, если требуется учитывать движение вокруг центра масс или учитывать поведение жидкого топлива в баках и упругости конструкции для очень больших летатель­

ных аппаратов. Иногда она слишком сложна. Если полет осуществляется на неболь­ шие дальности, то ускорение силы тяжести можно считать не зависящим от г. Если рассматривается задача коррекции траектории, то можно считать т = const и по­ следнее уравнение не рассматривать.

Математическое описание систем, как правило, содержит следу­ ющие элементы

— выбор (установление) фазовых координат, характеризующих

Здесь мы будем рассматривать объекты управления, или, как мы их будем называть, управляемые системы, которые можно опи­ сать системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Формально в записи уравнений управляемой системы (20.1.1) фа­ зовые координаты отличаются от управлений тем, что они входят в правую и левую части уравнения, а управления — лишь в правую.

Не нужно смешивать физические и • управляющие параметры с формальными управляющими параметрами математи­ ческой модели. Например, если уравне­ ние dxf dt = f((, х, и) описывает движе­ ние самолета, то управление и может ха­ рактеризовать отклонение руля высоты.

Если мы уточним модель, учтя инерционность органов управления, то математическая модель системы может иметь вид

ские модели, где управляющим параметром является высота полета, текущее время и т.д.

§ 20.2. Задача управления

Часто рассматривается следующая задача, связанная с управля­ емыми системами. В начальный момент времени tQсистема нахо­

Задача управления может иметь и более сложный вид. 6 общем случае задаются множество x(t0) £ Ф с Rn начальных состояний в момент t0 и цель управления, состоящая в том, что в некоторый момент система должна оказаться под действием управления

u(t) в состоянии jtj = x(/j) € Ф1С Rn, где Ф, — заданное множе­ ство, называемое целевым множеством. 'Множество Ф1 может за­ висеть от времени t: ФД/).

Будем предполагать, что класс допустимых управлений состоит из измеримых ограниченных функций u(t), заданных на различ­ ных интервалах (f0, /,], каждое из которых переводит систему из

множества Ф0 в множество Ф,, т.е. решает задачу управления. Для

приложений более естественен класс непрерывных или кусочно-не­ прерывных управлений. Однако в большинстве случаев решение рассматриваемых задач в классе измеримых u(t) может быть всегда сколь угодно точно аппроксимировано кусочно-непрерывными или непрерывными управлениями. Это обосновывает использование измеримых управлений в теории. На значения функции u(t) могут

быть наложены ограничения u(t) £ Q(t) С R"\ где Q(t) — задан­ ное множество, в общем случае зависящее от t и называемое огра­ ничивающим множеством.

Функции x(t) будем считать абсолютно непрерывными. На

где Ф(0 — априори заданное множество, зависящее от t. Ограни­ чение (20.2.1) называют ограничением на фазовые координаты.

Будем предполагать, что пара (x(t), u(t)) на рассматриваемом интервале [*0’ М почти всюду удовлетворяет дифференциальному уравнению (20.1.1).

Окончательно задачу управления можно сформулировать следу­ ющим образом.

З а д а ч а у п р а в л е н и я . Определить измеримую ограничен­ ную вектор-функцию u(t) £ Rm и абсолютно непрерывную функ­ цию x(t) £ Rn на интервале [f0, /J так, чтобы они почти всюду на этом интервале удовлетворяли дифференциальному уравнению

ограничениям вдоль траектории x(t) £ Ф(/), u(t) Е Ф(*) и крае­ вым условиям x(tQ) = х0 £ Ф0, x(t{) = х[ Е Ф(^).

Если, например, предположить, что правая часть уравнения (20.2.2) непрерывна по t, х, и и непрерывно-дифференцируема по х, то начальное состояние дс0 и управление u(i) действительно од­

нозначно определяет траекторию х(0» хотя это предположение и не является обязательным при рассмотрении поставленной фор­ мальной задачи управления.

Доказательство факта единственности траектории составляет содержание теоремы Каратеодори (существования и единственно­ сти), доказательство которой для линейных уравнений приведено в гл. 6. Задача управления может, очевидно, иметь неединственное решение, и мы может отбирать из множества решений в некотором смысле лучшее.

Обычно, наряду с целью управления, вводится еще критерий качества управления, позволяющий выделить это лучшее реше­ ние задачи управления — оптимальное решение. Оптимальность не есть объективное качество системы, а зависит от критерия*. Оптимальный процесс управления по одному критерию скорее всего окажется не оптимальным по другому критерию. Чаще всего критерий выбирается в виде некоторого функционала, заданного на множестве процессов управления (x(t), u(t)), ре­ шающих задачу управления: / = J(x(t), u(t)). Это может быть время протекания процесса (задача быстродействия), затраты энергии, и средств и т.д.

Задачу оптимального управления можно сформулировать следу­

§ 20.3. Два подхода к решению задачи управления

Существует два подхода к решению задачи управления. Пусть задача управления состоит в том, что систему необходимо переве­ сти из заданного состояния х0 в состояние *|. Если состояние х0 за­

ранее известно, то можно найти функцию u(t), решающую задачу управления. Если же состояние х0 заранее не известно и становится

известным лишь в момент начала движения (оно требует некоторо­ го времени, иногда довольно большого), то целесообразно строить управление не в виде функции времени u(t), а в виде функции и = u(t, х). При этом нужно постараться подобрать функцию

u(t, JC ) так, чтобы управление и(/, *(<)) совместно с траекторией x(t) уравнения

при любом начальном состоянии х0 е Ф0 решало задачу управле­ ния, т.е. чтобы *(/,) G ФД^) в некоторый момент 1Х.

Этот способ управления называется программным управлением и может быть изображен схемой рис. 20.6. Он называется также

Управляющее u(t) Объект устрайстбо управления

Т

х0

Рис. 20.6

управлением по разомкнутому контуру. Для формирования управ­ ления u(i) не требуется никаких приборов, кроме часов.

Второй способ управления называется управлением с обратной связью, или управлением по замкнутому контуру, а функция

и = u(t, х) называется законом управление Управление с обратной связью может быть изображено в виде схемы рис. 20.7. Преимуще-

t

Рис. 20.7

ством управления с обратной связью является то, что система реа­ гирует на не известные заранее начальные условия. Управление с обратной связью, как показывает опыт реализации таких систем и теоретические исследования, является более устойчивым к факто­ рам, не учтенным в постановке задачи, и к неконтролируемым воз­

мущениям, действующим на систему. Зато для реализации управ­ ления с обратной связью требуется измерение в каждый момент фазовых координат системы.

Иногда фазовые координаты системы непосредственно недоступ­ ны для наблюдателя, и мы можем измерить лишь некоторые их комбинации у = #(/, х), причем размерность вектора у может быть меньше размерности вектора х. В этом случае управление с обрат­ ной связью приходится строить по ограниченным измерениям. Управление целесообразно тогда строить в форме оператора

где запись (20.3.1) означает, что управление и формируется в за­ висимости от текущего времени t и значений измеряемого вектора у во все моменты времени т < /.

Блок-схема управления имеет вид рис. 20.8.

t

Рис. 20.8

Различие двух способов управления —программного и с обратной связью можно проиллюстрировать следующим простым примером.

П р и м е р 20.3.1. Вращение тела вокруг неподвижной

затормозить вращение, т.е. выполнить условие ш=0. Положим для простоты У— 1. Бели известно начальное состояние, например <о(0) = 1, и необходимо затормо­

зить вращение за время, равное 10 с, то управление

решает задачу управления. Однако, если ш(0) = 2, то при *>10 с будет о>=1, т.е. система не реагирует на изменение начального состояния.

Управление с обратной связью

+ 1, со < 0

решает задачу управления при любых начальных условиях.

Если цель управления состоит не в остановке прощения, а в уменьшении со до некоторой малой величины, то можно предложить следующий закон управления:

где к > О — постоянная, называемая коэффициентом усиления. Если подставим за­ кон управления (20.3.3) в уравнение (20.3.2), то получим (при J — 1) уравнение

d a ld t = -k(a, решением которого будет си=ш0«Г*', откуда видно, что при к > 0 фун­ кция to(f) затухает, но достигнет нуля лишь при

§20.4. Основные задачи теории управления

Вдальнейшем нас будут интересовать следующие основные зада­ чи, которые более строго сформулированы в последующих главах.

в момент t = t0 содержится в множестве Ф0, х (tQ) G Ф0. Сущест­ вует ли момент t* > t0 такой, что x(t) 6Ф,(/) при всех t > / \ где ФД0 — заданное множество?

Строго говоря, это не задача управления, однако может потре­ боваться подобрать управление с обратной связью и — и{1, х), ко­ торое, будучи подставленным в уравнение (20.2.2), делает систему устойчивой, т.е. необходимо синтезировать устойчивую систему. Вопросам устойчивости систем посвящено большое количество ра­ бот, поэтому в данной работе эта задача не рассматривается.

2. З а д а ч а у п р а в л я е м о с т и . Существует ли хотя бы од­ но управление u{i), решающее задачу управления при заданных уравнении системы (20.2.2) и множествах Ф0 и Ф|(/).?

3. З а д а ч а н-аблюдаемости. Доступна измерению лишь функция y(t) = g(t, *(/)). Вектор у может иметь размерность, меньшую чем х. Можно ли по известным наблюдениям y(t) на не­ котором интервале [/0, /J восстановить функцию x(t) на этом

интервале?

4. З а д а ч а а в т о н о м н о сти . Каковы условия того, чтобы управление не влияло на некоторую функцию времени и фазовых координат со(/, дс), т.е. функция u)(i, х(()) была бы той же самой при любых u(t)?

Эта задача имеет смысл тогда, когда управление находится не в «наших руках», а в руках «противника», либо им управляют неиз­ вестные нам факторы (например, «природа»).

шем мы будем рассматривать линейные системы, т.е. системы, описываемые векторно-матричным дифференциальным уравнени­ ем вида

где x — вектор-столбец размеров п х 1, и — вектор-столбец разме­ ров т х 1, А{1) — матрица размеров п х п, B ( t ) — матрица разме­ ров п х т, v(/) — вектор-столбец размеров п х 1. Будем предпола­ гать, что элементы матрицы A ( l ), B(t), v(t), заданные на всей числовой оси t, суть измеримые функции времени. Нормы ||.А(1)||, II в{ 0 1|, ||и(0Н считаем интегрируемыми на любом компактном подмножестве оси t. Управление u(t) считается измеримым и огра­ ниченным, определенным на некотором интервале [/0, I,] числовой оси t. Если матрицы A { t ), B(t), v(<) определены не на всей число­ вой оси, то их всегда можно доопределить, положив их равными нулю там, где они не были определены.

Решением уравнения (20.4,1) при заданном управлении u(t) будем называть абсолютно непрерывную вектор-функцию х(0» определенную на интервале [/0, f j, почти всюду удовлетворяющую уравнению (20.4.1). Рассматривавшиеся выше множества й(/), Ф0, ФД/) будем считать произвольными.

Иногда на систему (20.4.1) накладываются дополнительные ог­ раничения, которые будут оговариваться особо. Систему, у которой матрицы А и В постоянны, будем называть стационарной.

Большинство систем, встречающихся в действительности, явля­ ются нелинейными, т.е. правая часть f ( t , х, и) уравнения (20.2.2) — нелинейная функция переменных хин. Однако исследования линей­ ных систем имеет важное значение по следующим причинам:

а) имеется много динамических систем, движение которых с хорошей степенью адекватности действительности описывается с помощью линейных уравнений: это линейные электрические цепи, механические системы, изучаемые в классической механике, ли­ нейные объекты регулирования;

б) линейная теория имеет законченный вид, разработаны доста­ точно эффективные численные методы решения линейных задач;

в) с помощью линейной теории можно эффективно изучать не­ линейные системы в окрестности их номинальных траекторий.

Таким образом, теория линейных систем в ряде случаев может служить основой для изучения нелинейных систем.

20.4.2. Линеаризация нелинейных систем. Пусть имеется не­ линейная система вида (20.2.2)

=/(<,*,«) . (20.4.3)

Предположим для простоты, что функция /(/, х, и) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по х , и. Пусть, далее, (£(/), u(t)) — процесс управления, удовлетворяющий уравнению (20.4.2) (почти всюду). Траекторию x(t) назовем номинальной тра­ екторией, a u(t) — номинальным управлением. Обозначим

(х + Ах) —f{ t , х + Ах, и + Aw).

Учитывая, что x(t), u(t) удовлетворяют уравнению (20.4.3), имеем

= f(t, Х + Ах, и + Аи) —f{t, X, и),

или

Отбрасывая член 0(||Дх||, ||Ди||), получаем следующее уравнение в отклонениях от номинального процесса:

где

Уравнение (20.4.5) представляет собой уравнение вида (20.4.1). Имеются теоремы, позволяющие судить о свойствах системы

(20.4.1) при малых Ах, Аи по свойствам системы (20.4.5). Имеют­ ся и другие способы перехода от нелинейной системы к линейной, использующие допущения, отличные от сделанных выше: гармони­ ческая линеаризация, статистическая линеаризация и другие.