книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

6 .4 .1 2 6 . Привести пример функции, которая определена и не имеет пре­ дела во всех целых точках (ж G Z ), но имеет предел во всех остальных точках.

6 .4 .1 2 7 . Доказать, что:

1)сумма (разность) бесконечно малых при х -»> жо функций также бесконечно малая при х -* хо функция;

2)произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в частности, произведение двух бесконечно малых) есть бесконечно малая функция.

6 .4 .1 2 8 . Показать на примерах, что:

1)частное двух бесконечно малых при х -* XQ функций может

не быть бесконечно малой функцией;

2)если а (х ) — бесконечно малая при х -> жо, а /3(х) — беско­ нечно малая при х -»■ х\, то сумма с*(ж) 4- /3(х) может нигде не

быть бесконечно малой функцией;

3)сумма бесконечно больших функций при х -4 XQ может быть даже бесконечно малой при х -4 жо-

§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Непрерывность функции в точке

^Функция /( х ) называется непреры вной в т очке хо, если она

определена в некоторой окрестности этой точки и Иш /(х ) = х—Ухо

= /( я о).

Если обозначить х — жо = Дж (приращение аргумента), /(ж ) — f ( x о) = = Д у (приращение функции, соответствующее приращению аргумента

Дж), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

Таким образом, если функция /( х ) непрерывна в точке хо, то беско­ нечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует беско­ нечно малое приращение функции.

Односторонняя непрерывность

Функция /( х ) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т. е. когда

Непрерывность функции на промежутке

^Функция /( х ) называется непреры вной на данном промежутке

(интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

При этом если функция определена в конце промежутка, то под не­ прерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или сле­ ва. В частности, функция /( х ) называется непрерывной на от резке [а; 6],

если она:

1) непрерывна в каждой точке интервала (а; 6); 2) непрерывна справа в точке а; 3) непрерывна слева в точке Ь,

Точки разрыва функции

^Пусть точка хо принадлежит области определения функции

/( х ) или является граничной точкой этой области. Точка хо называется т очкой разры ва функции /(х ), если /(х ) не явля­

ется непрерывной в этой точке.

Из этой теоремы, а также из двух предыдущих следует, что также непрерывны в каждой точке своих областей определения все функции, полученные из простейших с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 6.8 (Больцано-Коши). Пусть функция /(х) определена и непрерывна на отрезке [а; 6] и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдется хотя бы одна такая точка XQ 6 (а; Ь), что /(XQ) = 0.

Теорема 6.9 (о промежуточных значениях). Пусть функция /(х) определена и непрерывна на отрезке [а ;Ь\. Тогда для любого числа С, заключенного между числами /(а ) и f(b), найдется такая точка

.т0 е [а; 6], что /(т 0) = С.

Теорема 6.10 (1-я теорема Вейерштрасса). Пусть функция /(х) оп­ ределена и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.

Теорема 6.11 (2-я теорема Вейерштрасса). Пусть функция /(х) оп­

ределена и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда эта функция принимает на отрезке [а; Ь] свои наибольшие и наименьшие значения, т. е. суще­ ствуют такие точки xi,X2 G [а;6], что для любой точки х G [а;Ь] спра­

ведливы неравенства

f(xi) ^ Да;) < f(x2).

Заполнив таблицу, сделать предположение о поведении функ­ ции в данной точке. Построить график функции и указать на

не является непрерывной в точке жо = 0, но непрерывна справа

в этой точке. Построить график функции /(ж ).

О Найдем односторонние пределы в точке жо = 0. Слева от точки жо имеем /(ж) = 0, поэтому

Кроме того, /(жо) = /(0 ) = 1, откуда следует, что

У

1

o' х

Рис. 77

Это означает, что в точке 0 не выполнены все условия непре­ рывности функции, но функция /( х ) непрерывна справа в этой точке.

График функции /( х ) изображен на рис. 77. • 6.5.7. Доказать, что функция

/ли _ ( х ПРИ х ^

2 при х > 1

не является непрерывной в точке XQ = 1, но непрерывна слева

вэтой точке. Построить график функции f { x ) .

6.5.8.Доказать, что функция

6.5.11. Исследовать на непрерывность и построить график функции

Найти скачок функции в точках скачка.

О Функции у = х, т/ = sinx и у = 1 непрерывны на всей чи­

словой прямой, поэтому данная функция может иметь разры­ вы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х\ = —7г и Х2 = | .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значе­ ния функции.

6 .5 .1 3 . Используя только график функции /( х ) (рис. 79), указать ее точки разрыва и определить их род.