Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

Нш хп = а,	Нш уп = b = >	lim (хп •уп) = а •Ь.
П-¥ОО	п->00	ОО

В частности:

— постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim хп = а,	с G Е = > lim (схп) = с •а:
П-¥ОО	П—>00 4

— предел натуральной степени от сходящейся последовательности

равен этой степени от ее предела:
lim .тГ1 = а = >	lim (я?п)Л=	( lim æn)fc = ак. к = 1, 2, 3, .. .
п-*оо	ÎI—too	п-^оо

3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен част

ному их пределов:
lim хп = о, lim уп = Ь, (Ьф 0, уп Ф 0 Vn)	lim —	= а
п—>оо	П-)-СО уп	Ъ'

4. Предел корня k-ii степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

lim хп = а,	к = 2,3,4,... => lim £/5^ = -(/а.
n—*ОО	H—>ОО

Пределы и неравенства

Пусть все члены дайной сходящейся последовательности неотрица тельны. Тогда ее предел также неотрицателен:

lim хп = о, яп ^ 0 Vn =Ф а ^ 0. п—ИХ)

Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последователь ности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пре делу второй последовательности:

lim хп = a,	lim уп = 6, хп ^ уп Vn = > a ^ b .
п—юо	п—>оо

Теорема 6.1 (о промежуточной переменной). Пусть соответствую щие члены трех данных последовательностей {хп}, {î/n} и {zri} удовле творяют условию хп ^ у п ^ zn.

Тогда если последовательности {хп} и {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {уп} также сходится к этому преде

лу:

хп ^Уп ^ zn, Vn, limæn = limzn = a = > lim yn = a.

Бесконечно большие последовательности

^	Последовательность {æn} называется п ол ож и т ел ьн ой беско
	нечно больш ой , если для любого сколь угодно большого числа
	М найдется такой номер N , что для всех п, начиная с этого
	номера, выполняется неравенство х п > М .

Про положительную бесконечно большую последовательность {я п} говорят также, что она ст рем ит ся к п лю с бесконечност и , и пишут

lim х п = +оо. п —юо

Заметим, что эта запись, так же, как и слова о стремлении к плюс бесконечности, носит условный характер и не означает существование предела в том смысле, как это было определено в начале этого парагра фа. То же относится к отрицательной бесконечно большой и бесконечно большой последовательностям, определенным ниже.

^Последовательность {гг„} называется от ри ц ат ельной беско нечно больш ой , если для любого сколь угодно большого по мо

дулю отрицательного числа М найдется такой номер N , что д л я всех п, начиная с этого номера, выполняя неравенство XJI ^ Л'/.

Про отрицательную бесконечно большую последовательность {я п} говорят также, что она ст рем ит ся к м инус бесконечност и , и пишут

lim х п = —оо.

п—юо

^Последовательность {я п} называется бесконечно больш ой , если

последовательность {|хп|} является положительной бесконеч но большой.

Если последовательность { х п} — бесконечно большая (б. б.), то гово

рят также, что она ст релш т ся к бесконечност и , и пишут lim							х п = оо.
						71-ЮО
Последовательность { х п},					все члены которой отличны от нуля, —
бесконечно	малая		тогда и		только тогда, когда	последовательность
{ — } — бесконечно большая:
I х п J
	X n ^ O		(Vn); { х п} — б.м . <{=*			— б. б.
Кроме того, полезно иметь в виду следующее:
1 . Пусть	lim	х п — a, lim			уп = ±оо. Тогда lim	^п. = 0.
	п -ю о			п-+оо	п-+оо Уп
2. Пусть	lim	х„	=	о, (в том числе а = +оо), а		> 0 (соответственно,
	п—>ОО			-о о ), lim уп = 0, уп > 0 Vn. Тогда lim
а < 0, в том числе а =				-о о ), lim уп = 0, уп > 0 Vn. Тогда lim			- +оо
				П-УОО		п-юо Уп

(соответственно, = —оо).

Число е

Последовательность { ( l + } — возрастает и ограничена сверху, а

поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е = 2,71828182845..., служащее основанием натуральных лога рифмов.

Таким образом,

/1 \п

		lim ( 1 Н—			)	— е.
		71—>■ОО \		f l	/
6.3.1.	Используя	определение,		доказать, что			последовательность
	{ а п} =	— бесконечно малая.
			N
		Ш *	Ш +1
			Рис. 76
	О Пусть е	— произвольное положительное число. Тогда из
	неравенства \ап\ <		£, т.е. —			< е, получим п >		Посколь-
	ку число 1	может не быть целым, то, положив N = [А] + 1
	(рис. 76), мы найдем искомое натуральное N. Действительно,
	для всех п ^ N будем иметь А < е, т.е. \|an\| < е. Но это и
	означает, что последовательность { a n} =						\|А\| — бесконечно
	малая.							•

Используя определение, доказать, что следующие последовательности

{a n}

6.3.2.

6.3.3.

6.3.4.

— бесконечно малые:

а " “	п + Г
_	1
OLn —	у/п'

Доказать, что последовательность {а „ } = { ^ } — бесконечно

малая, и для каждого данного в найти такой номер N , что для всех n ^ N справедливо неравенство |а„| < £, где

2)е = ОД;

3)е = 0,015.

6 .3 .5 .	Используя определение предела, доказать, что последователь
	ность 2, 5 ,	.. •, “ Г р * * • сходится к числу 1.
	О Обозначив хп =		^ у , выберем произвольное число £ > 0.
	Тогда
	\|*« -	1\|=	п - 1 - 1 =	п —(п —1) I
	\|*« -	1\|=	п - 1 - 1 =	п - 1
	и неравенство \|а:п — 1\|< е будет выполнено в точности тогда,
	когда —L_r <	е т. е. п - 1 > - ,		откуда п > - + 1. Положив
	п —1		е	е
	N = [ ! -Ь 2J , получим, что для всех п ^ N справедливо нера
	венство \|.тп — 1\| <		е. В соответствии с определением предела
	это и означает, что		lim хп = 1.
			71—Ю О

Используя определение предела, доказать, что:

6.3.6.	lim				=	з.
	71->СО		7 1 + 1
6.3.7.	lim		^ - = 4 =			é .
	7i—boo		D71 +		Z	О
6.3.8.	lim		2nV		1 = 2.
	71—> СО			71"
6.3.9.	Доказать, используя определение предела, что последователь
	ность {х п} =					\|		^ } сходится к числу 1, и для каждого
	данного е найти такой номер iV, что для всех п ^ N верно
	неравенство \хп -						1\|< е, где
	1) « =			J ;
	2)	£ =		0,1;
	3)	е =		0,07.
6 .3 .10 .	Найти пределы последовательностей:
	1)	Пт		З т г - п + 2 .
	'	П-¥ОО			5п" + 7
	2)	lim		(0	г +	1 -	-	1);
		п—>оо
	3)	lim
		n-»oo vn + 1
	О	1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела,
	поделив числитель и знаменатель на старшую степень 71, т.е.
	на п2:						Зтг2	71 + 2	3 ~ n + ij r
							Зтг2	71 + 2	3 ~ n + ij r
							5тг2 + 2		5 +

Отсюда, используя теорему о действиях над пределами, полу чим:

..	Зп2 — 71 + 2				2
..	Зп2 — 71 + 2		lim		гг7
lim	------ 5---------		lim		гг7
п->оо	5п2 +	2	п—►оо		Иш (5 + ^ F)
					т—vnn '		11	'
	lim 3 -	lim	^ +	lim Д	3 - lim i	+ 2	lim	1
	lim 3 -	lim	^ +	lim Д	3 - lim i	+ 2	lim	ïï*
71—Ю О_______7 1 -Ю О			П	71—»СО
	lim	5 +	lim	Д	о + 2	lim	—J
	71— У О О		71—И Х) 71			71—> 0 0	71
						3 - 0 + 0 _ 3
						5 + 0		" 5 e

В последних равенствах мы воспользовались тем, что пре дел константы — константа, а также тем, что последователь

ности j i j и	— бесконечно малые.
Окончательно,	lim	Зп — п + 2 _	â
	я—>оо	5п“ + 2	о

2) Домиожим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:

/--- -г-	/------ Т	(л/п + 1 - у / п - l)(\/n + 1 + у/п - 1)
у/п + 1 -	VП - 1 =	------------------------------------------------------- =
			у/п + 1 + у/п —1
_	(у/п + Ï)2 - (л/п -		I)2 _	(п + 1) — (п — 1) _
	\/п + 1 + у/п -		1	л/п + 1 + у/п — 1
					2
					\/п + 1 + у/п —1
Поэтому
lim (л/п + 1 — л/п — 1) =			lim
		п-+°° л/п + 1 + л/п — 1
				= 2	1
				= 2	lim
				п_>0° у/п + 1 + л/п — 1
Поскольку последовательность у/п + 1 + у/п —1 — беско-
нечно большая, то последовательность					— бес-
				1	у/п + 1 + у/п —1
конечно малая. Отсюда lim				1	= 0, а значит, и
		п->оо л/п + 1 + \/п — 1

lim (л/п + 1 — у/п —1) = 0.

7 1 - > 0 0

3) Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень п (выбираем из двух вариантов у/п? и у/п), т.е. на

у/п? = п3/ 2. Тогда
у/п?	1	1_______	1
л/п + 1	1	. 1	1 , 1 '
	^	+	п + 7^3

Оба слагаемых в знаменателе последней дроби, т. е. — и

y/nz

—

бесконечно малые последовательности, следовательно, вся эта

дробь — бесконечно большая последовательность. Отсюда

Пт Vn3

= Пт

= ОО.

П - * ОО у / п + 1

П - + 0 0 1 + — Ц ,

v/n3

Найти пределы:

.3 .11 .

lim

2 n "

5 .

6 .3 .12 .

11141

4 - т г 2

Пт

n—юо

п —юсо 3 — тг-

.3 .13 .

lim

ГС4

~ 1

6 .3.14.

Пт

—

7п2 -

* ---—

2n + 1

n—юо Ютг3 —3n + 2

п—ьоо 5

4n2 -

.3 .15 .

lim

4п3 -

5^ + Юп .

6 .3.16.

Пт

(п +

I)3 - (п -

I)3

7 1 - v o o

2172^ + 772 — 8

П —Ю О

п* + 1

.3.17.

lim

2 + 3n.

6.3 .18 .

Пт

-з / 2^г + 1

n—Юо

72 + Z

n“>°° Vn2 + n + 4

.3.19.

lim (\/722 + 72 — Tl),

6.3 .20 .

lim

п-юо

V n3+ l - v

8n3+2

n->°°

Дополнительные задачи

Используя определение, доказать, что данные последовательности бесконечно малые:

6.3.21.

6.3.22.

6.3.23.

6 .3 .24 .

1	1	1
4 ’ 9 ’ , ‘ • J 72 -
1	1	1
’ 4 ’ 8 ’ - ‘ » 2n
1	1	1
2 ’ 6 ’ -* • ’ 72!’ ’
Доказать, что последовательность {а „ } =			— } — беско-
		I п	+ 2 J

нечно малая, и для каждого данного е найти такой номер N% что для всех n ^ N верно неравенство |а„| < е, где

1)£ = ОД;

2)е = 0,01;

3)е = 0,001.

Используя определение предела, доказать, что:

6.3.25.	Пт	1.	6 .3 .26 . lim	-\| 2 Î - = 5.
	п —юю 4 — 72		n-юо	+ 7
6.3.27.	lim	1. = з.

n-* OO O

__	f "i r<rro T	Tl I COS 7Г71	•
6.3.28. Найти предел a последовательности \|#n/> 1де		^

Найти номер iV, начиная с которого величина \хп —а| будет меньше е, если

^ £ = 3 ;

2) е = ОД;

	3) £	=	502’
Найтпи пределы:
6.3.29.	Пт		071				6.3.30.
	п—4 0 0		071
6.3.31.	lim	( 2n~+ 5				” 2 + 4 ) .	6.3.32.
	n-к »	\ 4n + 1				2n + 3
6.3.33.	lim	g : - } .					6.3.34.
	П —4 0 0	0	+	1
6.3.35.	lim	1 — nn			q ф 1.		6 .3 .36 .
6.3.35.	lim	-z—		,	q ф 1.		6 .3 .36 .
6.3.37.	lim	Xn + 4			если lim xn = 1•
	7 1 - 4 0 0	Xn + 4				П —4 0 0
6.3.38.	lim			V n 3 + n 2 - 4--
6.3.38.	n - 4 0 °	^/n5 + 2 7 1 +				\/nQ4- 3n4 + 2
	n - 4 0 °	^/n5 + 2 7 1 +				\/nQ4- 3n4 + 2

ÏÏSo(n + 2			гп + х) 1
lim fv'n3 — 4n2 - n ) .
П1—- 440 0	V			/
I’m	1 + 2 + 3 4* * • 4-n
lim	-------J	i	1
7Z—4 0 0	Tl	T	1
lim	1 + S +	è	+ " '	+ P '
n^ool + 1 + i			+ ...	+ i '

Более сложные задачи
6.3.39.	Доказать, что у одной последовательности не может быть двух
	разных пределов.
6.3.40.	Показать, что частное двух бесконечно малых последователь
	ностей может не быть бесконечно малой последовательностью.
6.3.41.	Привести пример такой бесконечно малой последовательности
	{х „ }, что:
	1) первые сто ее членов больше 1000;
	2) существует бесконечно много как положительных, так и от
	рицательных ее членов.
6.3.42.	Доказать, что следующие последовательности {я п} не имеют
	предела:
	1) х „ = ( - 1)п;	2) х „ = 1 + (—1)п;
	3 ) х„ = sin 22»;	4) ^
	5) Хп — я- ;	6) Хц —	1 + 2 Н-h п.
6.3.43.	Привести пример последовательности {а;п}, которая расходит
	ся, но для которой последовательность {\|хп\|} сходится.

6.3.44.Показать, что:

1 ) каждая бесконечно большая последовательность является

неограниченной; 2) не каждая неограниченная последовательность является

бесконечно большой.

6.3.45.Найти пределы (в пунктах 2) и 3) предварительно доказать,

что предел существует):

1 )	lim	— Зхп + 2	если	г	х п =	0
1 )	lim	-------V -Г -,	если	lim	х п =	2;
	n-УОо	Хц JL		11—ЮО
2)	lim	x n, если х п =	^/6 +	.г*п_ 1, х\ = \/б;
	п-»оо			- 9
3)	lim	х п, если х п	°71-1	- 9	х\ =	7.
	п->оо

6.3.46.Найти пределы:

JÜS,(А	+ А + •••+ п гЛ i)):
2 ) „ ^ ( И 1	+ 4 1 6 + 61 8 + ‘ " + 2п(2п + 2 ) ) ’

6.3.47.Пусть {х гг} — бесконечно малая, а {т/;1} и { z n} — бесконечно

большие последовательности. Верно ли, что всегда:

1 ) {х п •уп} — бесконечно большая последовательность;

2){%п •Уп} — бесконечно малая последовательность;

3){х п •у п} — сходящаяся последовательность;

4){у п •zn} — бесконечно большая последовательность;

5){уп + zn} — расходящаяся последовательность?

6.3.48. Привести пример таких сходящихся последовательностей {х п}

И {î/n}, что:
1 ) Хп > уп Vn, однако lim х п =		lim уп;
71—ИХ)	/ I —Ю О
2) x n > 100î/n > 0 Vn, однако	lim	х п =	lim уп.
	гг—>оо		«-*оо

6.3.49.Найти пределы:

/	1 \ п+к	, где к £ N;
1 ) lim ( 1 +	— )	, где к £ N;
тг-нэо \	71/

2) Иш ( т ^ - ) П n-юо \1 + П/

§4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение предела

^Окрест ност ью точки XQ называется любой интервал с центром

вточке хо-

Пусть функция /(х ) определена в некоторой окрестности точки хо кроме, быть может, самой точки хо. Дадим первое определение предела функции (по Гейне):

^	Число А называется пределом функции /( х ) в точке хо, если
	для любой последовательности {х п}, сходящейся к хо (хп ф хо
	Vn), последовательность { / ( х п)} соответствующих значений
	функции сходится к А.

	Обозначается это так: lim f( x ) = A или /( х ) -> -4 (при х -» хо).
	X —УХо
	Первое определение предела функции эквивалентно второму опреде
лению (по Коши):
^	Число А называется пределом функции /( х ) в точке хо, если
	для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется такое чи
	сло S > 0 (вообще говоря, зависящее от е), что для всех х таких,
	что \|х—хо\| < £, х ф х 0, выполняется неравенство \|/(х) — А\ < е.

Первое определение называется также определением предела функ ции «на языке последовательностей», а второе — определением предела «на языке е - 6 » (эпсилон-дельта).

Операции над пределами функций

Пусть функции /( х ) и д(х )			определены в некоторой окрестности точ
ки х0 и, кроме того, Пт		/( х )	= Л, Пт д(х) = В . Тогда:
	X - Ï X o		Х —>Хо
1.	Предел суммы	(разности) этих функций равен сумме (соответ

ственно, разности) их пределов, т. е.

lim [/(х ) ± д{х)] = А ± В .

Х—УХ о

2.Предел произведения функций равен произведению их пределов,

т.е.

} ^ [ f ( x ) - g ( x ) \ = A - B .

3. Предел частного функций равен частному их пределов (при усло вии В ф 0), т.е.

lim / ( * )

х-Ухо д(х ) В

Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно

выносить за знак предела функции, т.е.
lim /( х ) = А	Va G R : lim	a /( x ) = a	lim /( x ) = аЛ .
Х —УХО	ХХ——УХоO	" ' '	х“ —■►Хо'— "

Для функций справедлиушвы аналоги соответствующих теорем для последовательиостей о пределах корня и степени.

Пределы функций и неравенства

Пусть функции /i (x ) и /г (х ) определены в некоторой окрестности точки хо (кроме, быть может, самой этой точки) и fi( x ) ^ /з (х ) для всех

261

значений х из этой окрестности. Пусть, кроме того,

lim h{x) = Л ь	Нш / 2(х) = Л2.
X —>Хо	Х —+ Х О

Тогда А\ ^ А2.

Теорема 6.2 (о промежуточной переменной). Пусть функции fi( x ) , f{x), h{x) определены в некоторой окрестности U(x0 ) точки Хо (кроме,

быть может,	самой этой точки) и для всех x € U( x 0 ),		хфх^ верно
неравенство	f i ( x ) ^ f( x ) ^	}2(х ). Пусть, кроме того,	J\|im /i(:c) =
= lim f2 {x) = А. Тогда lim		fix) также существует и равен А.
х —KTQ	X—>Хо

Теорема 6.3 (о сохранении знака). Если предел функции в данной точке XQ положителен, то и все значения функции в некоторой окрест ности этой точки (кроме, быть может, самой точки яо) положительны.

Теорема 6.4 (об ограниченности функции, имеющей предел). Пусть функция имеет предел в данной точке. Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Предел функции на бесконечности

	Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке (о; +оо).
^	Число А называется пределом функции f(x) при х +оо, если
	для любой положительной бесконечно большой последователь
	ности {я п} (т.е. хп -+ + 00, п -+ оо) последовательность {/( я п)}
	соответствующих значений функции сходится к А.
	Обозначение: lim	fix) = А.
	х-Н-оо	7

Равносильное определение предела функции при х —> +оо на языке

е- 5 будет выглядеть так:

^Число А называется пределом функции f(x) при х -+ +оо, если для любого числа е > 0 найдется такое число М > 0, что для

всех значений х > М выполняется неравенство \f(x) — А\ < е.

Аналогично определяется предел функции f(x) при х -+ —оо.

Обозначение: lim fix) = А. х —►—оо

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб146Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб72Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб120Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб66Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб13Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб78Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб12Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб23Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб74Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб17Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб25Сборник задач по общей физике.-1.pdf