книги / Функциональный анализ

Принцип Шаудера утверждает лишь существование решения и не дает метода для его нахождения. В случае, когда оператор А — линейный, можно указать способ нахождения решений.^На­ чиная с некоторого х0е Т, строят последовательные приближе­ ния хп = Axn-i (п = 1,2, ... ). В условиях принципа Шаудера последовательность элементов

N-1

л«=О

компактна и все ее предельные точки являются решениями уравнения х — Ах.

Можно сформулировать утверждение, частными случаями ко­ торого являются как принцип Шаудера, так и принцип сжатых отображений.

К о м б и н и р о в а н н ы й п р и н ц и п . Пусть определенный на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Т оператор допу­ скает представление А = Л4-f Л2, где А\ вполне непрерывен, а А2 удовлетворяет условию Липшица с постоянной q < 1. Если оператор А преобразует Т в себя, то уравнение х = Ах имеет на Т по крайней мере одно решение.

Принцип Шаудера доказывается топологическими методами.

рывный оператор А на границе Г ограниченного замкнутого вы­ пуклого множества Г, содержащего 0 в качестве внутренней точ­ ки, не имеет собственных векторов с собственным числом, боль- шим 1, то в Т существует решение уравнения х = Ах.

Таким образом, можно не требовать, чтобы граница области Г преобразовывалась оператором А снова в Т. Достаточно, что­ бы на ней только не было векторов, которые оператор А «растя­ гивает» (Ах — pxt р > 1). Последнее условие часто проверяется значительно легче. Если, например, для каждой точки х0 грани­ цы Г существует такой линейный функционал /о(*Ь что Ы*о) > 0 и fo(Axo) ^ fo(*o), то условие усиленного принципа Шаудера вы­ полнено. В частности, если вполне непрерывный оператор А определен на шаре S(0, г) гильбертова пространства Н и обла­ дает тем свойством, что

(Лх, *)< (*, х) (||х|| = г),

то для него справедлив усиленный принцип Шаудера.

Пусть М — ограниченное множество в метрическом простран­ стве R с метрикой p(xt у). Мерой некомпактности %(М) этого множества называется infimum тех е, при которых в М есть конечная е-сеть. Действующий в R . оператор А называется уплотняющим, если для каждого некомпактного ограниченного

322 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

множества М ^ R выполнено неравенство

Х (А М )< Х(М).

Основным примером уплотняющих операторов в банаховых про­ странствах являются операторы, которые можно представить как сумму вполне непрерывного оператора и обобщенного сжатия.

Пр и н ц и п н е п о д в и ж н о й т о ч к и д л я у п л о т н я ю ­ щих о п е р а т о р о в . Пусть уплотняющий оператор А преобра­ зует в себя выпуклое замкнутое ограниченное множество Т ба­ нахова пространства. Тогда уравнение х = Ах имеет на Т по крайней мере одно решение.

В условиях принципа Шаудера и его различных обобщений решение может быть неединственным. В общем случае трудно дать описание структуры множества всех решений уравнения х = Ах. Однако можно указать важный класс уравнений, мно­ жество решений которых связно, и поэтому у таких уравнений либо решение единственно, либо множество решений контину­ ально.

Оператор А, действующий в банаховом пространстве Е, назы­ вается сглаживаемым на множестве Г, если по каждому е > О может быть построен такой оператор л е, что ||Ах —А гх || < е при х е Г и уравнение х = А ех + h при \\h\\ имеет на Т не более одного решения. Оператор Аг называется при этом сглаживанием оператора А.

лей. Пусть на границе Г шара S банахова пространства Е за­ дан вполне непрерывный оператор А. Совокупность элементов

нулей на Г ставится в соответствие некоторое целое число у (Г), называемое вращением векторного поля. Вращение может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Пр и н ц и п н е н у л е в о г о в р а щ е н и я . Если А — вполне непрерывный оператор на шаре S и вращение векторного поля

324 ГЛ. VI НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(в симметричных точках сферы векторы поля не направлены

Пусть Ахо = Хо и в некоторой окрестности точки хо уравнение х = Ах не имеет отличных от х0 решений. Тогда векторное поле х — Ах на всех сферах \\х — х0\\ = г достаточно малого радиуса г имеет одинаковое вращение. Это общее вращение у (* о ) назы­ вают индексом неподвижной точки Хо оператора А.

Если в точке х0 оператор А дифференцируем, причем линей­ ный оператор А'(х0) не имеет единицу собственным значением, то

У(*о)= (—1)Р»

где р — сумма алгебраических кратностей собственных значений

операторов) свести вычисление индекса у (* о ) неподвижной точки Хо вполне непрерывного векторного поля Ф = / — А к вычисле­ нию вращения некоторого в явном виде выписываемого поля на единичной сфере конечномерного подпространства Ео собствен­ ных векторов линейного оператора А'(х0), отвечающих собствен­ ному значению 1. Если размерность Е0 равна 1 или 2, то вычис­ ление индекса всегда может быть выполнено фактически. Если размерность Е0 больше чем 2, то вычисление индекса остается трудной задачей. Ниже приводится один из наиболее простых результатов.

Пусть вполне непрерывный оператор А допускает в окрестно­ сти неподвижной точки х0 представление

B{kh = XlBh,

а С содержит члены высшего чем k порядка малости:

П т •I Ch I 0.

II h II->0

Пусть 1 — собственное, значение оператора Вь которому со­ ответствует корневое подпространство Е0, состоящее только из собственных векторов, и Р — оператор проектирования на Е0, коммутирующий с Ви Предполагается, что

РЯ2 = РВ3 = ... = Р Р * _ ,= 0, а РВкх ф 0 при х е £ о и хфО. Тогда лг0 является изолированной

неподвижной точкой оператора Л и ее индекс у(х0) определяется формулой

Y(*o) — (—l)P°Yo>

где Ро — сумма алгебраических кратностей положительных соб­ ственных значений оператора Ви больших чем 1, а у0— враще­ ние на единичной сфере в пространстве Е0 поля PBhP.

Т е о р е м а об а л г е б р а и ч е с к о м ч и с л е н е п о д в и ж ­ ных точек. Пусть в шаре S уравнение х — Ах имеет конеч­ ное число решений х\, xh. Тогда вращение у (Г) поля х — Ах на Г связано с индексами точек хь ... , xh равенством

Y(r ) = Y(*i)+ . . . +Y(**)-

Это свойство вращения может быть применено для доказа­ тельства георем единственности. Если вращение у (Г) векторного

правой частью уравнения Урысона 1

x(t) = j К [t, s, х (5)] tfs,

о

вполне непрерывен в i p и дифференцируем в нуле этого про­ странства, причем

1

А' (в) h (t)= f К'х (t, s, 0) h (s) ds.

0

Если оператор Л удовлетворяет на шаре S(0, г) условиям принципа Шаудера, то вращение у(Г) полях — Ах на сфере ]|х|| = г равно 1. Пусть K(t, 5 , 0) = 0. Тогда уравнение имеет нулевое решение. Если единица не является собственным значе­ нием линейного вполне непрерывного оператора Л^б) и сумма кратностей его собственных значений, больших чем 1, нечетна, то у (0) = —1. Таким образом, у(Г)=^у(0) и уравнение Урысона имеет по крайней мере одно ненулевое решение в S(0, г).

Решение х0 уравнения х = Лх, имеющее ненулевой индекс, может быть приближенно найдено проекционными методами. Пусть Рп — последовательность операторов проектирования на конечномерные подпространства Еп такая, что ||Рпх — х|| —►0

при п —►оо для всех х е Е. Тогда при достаточно больших п уравнения х — РпАх в некоторой окрестности точки х0 разреши* мы и при п —►оо соответствующие решения хп сходятся к х0. Если при этом 1 не является собственным значением оператора А'(хо), то ||хп — х0|| ^ ЩРпхо — х0||; в общем случае оценки схо­ димости грубее.

Ли т е р а т у р а : [29], [31], [33], [34], [35], [39].

6. Уравнение с монотонными операторами. Действующий из банахова пространства Е в сопряженное пространство Е* опера­ тор Ф называется монотонным, если

одно (соответственно, единственное) решение.

Непосредственным следствием сформулированного принципа является следующее более удобное утверждение: если действую­ щий из рефлексивного пространства Е в сопряженное простран­

то уравнение Фх = h имеет по крайней мере одно (соответ­ ственно, единственное) решение при любом h е Е*.

Если Ф монотонен в следующем усиленном смысле:

(Фх — Фу, х — y ) ^ L ( \ \ x ~ у\\)\\х — у\\,

где L(u) — монотонная непрерывная функция такая, что из

прерывный.

Исследова!ние уравнений с монотонными операторами стиму­ лировалось следующей задачей из теории квазилинейных эллип­

тических уравнений. В ограниченной области G n-мерного про­ странства задано уравнение

ние уравнения, удовлетворяющее на границе Г области G усло­ виям .

D(*u\r = f(d(x), /е = Г , | со |< г а — 1.

Вводится понятие обобщенного решения задачи, как функции и е W™(G), удовлетворяющей интегральному тождеству

(a>0).

Условие I обеспечивает то, что оператор L действует из про­

странства Wj?(G) в пространство Wpm(G) (ср. § 1, п. 4). Усло­ вие II называется условием сильной эллиптичности; оно обеспе­ чивает монотонность оператора L. Для его проверки имеются до­ статочные алгебраические критерии.

Из теории уравнений с монотонными операторами вытекает существование единственного обобщенного решения краевой за­

дачи при любых ft, f е W'p (G).

Ли т е р а т у р а : [35], [192], [194].

7.Вариационный метод. Вариационный метод доказательст­ ва теорем существования решений заключается в том, что реше­ ние операторного уравнения конструируется, как эстремальная точка некоторого функционала.

Функционал F(x), определенный на банаховом пространстве F, называется слабо непрерывным, если он непрерывен в ослаб­ ленной топологии а (В, Е') в пространстве Е (см. гл. I, § 4, п. 3). Если пространство Е рефлексивно, то в силу компактности лю­ бой сферы Е в ослабленной топологии слабо непрерывный функ­ ционал принимает на каждой сфере наименьшее и наибольшее значения.

Градиент гладкого слабо непрерывного функционала в гиль­ бертовом пространстве является вполне непрерывным опера­ тором.

то в шаре \\x\\^R существует точка х0, в которой функционал 7г(*, х) — Р(х) принимает свое наименьшее значение и которая является решением уравнения х = Ах.

Ли т е р а т у р а : [6], [311, [39], [125].

8. Преобразование уравнений. При изучении операторных уравнений часто приходится преобразовывать уравнения к виду, удобному для применения того или иного принципа, из которого следует существование решения, или для применения некоторого приближенного метода нахождения решения.

Основные виды преобразований операторных уравнений та­ кие же, как и для обычных уравнений: а) добавление к обеим частям уравнения одного и того же элемента; б) применение к обеим частям уравнения одного и того же оператора («умно­ жение на оператор»); в) замена переменного.

При первом преобразовании уравнение переходит в эквива­ лентное. Если к обеим частям уравнения применяется линейный ограниченный оператор В, то всякое решение исходного уравне­ ния будет решением и нового уравнения. Обратное будет верно, если существует обратный оператор В-1. Таким образом, пере­ ход к новому уравнению при преобразовании б) может добав­

лять лишние решения, если нуль является собственным значе­ нием линейного оператора В (см. гл. Ill, § 1, п. 9).

нового уравнения, то для получения решения х* исходного ура­ внения нужно проверить, что у* находится в области определе­ ния оператора С и тогда х* = Су*. Кроме того, при преобразо­ вании в) часть решений может теряться. Это имеет место, если имеются решения г*, не представимые в виде Су. Преобразова­ ние в) бывает полезным тем, что оператор С может действовать в пространство £, в котором ищется решение х*, из другого про­ странства Е1. Поэтому новое уравнение (относительно у) есте­ ственно рассматривать в пространстве Еи Иногда оказывается, что в Е1 уравнение получается более простым.

Как уже отмечалось в § 1, гл. III, при преобразовании ура­ внений в бесконечномерных пространствах приходится сталки­ ваться с такой специфической ситуацией: преобразованное ура­ внение содержит операторы, которые не замкнуты, но допускают замыкание. Естественно при этом изучать уравнения с замкну­ тыми операторами. При этом могут появляться новые решения, которые обычно называют обобщенными решениями. Основной трудностью часто является доказательство того, что обобщенное решение принадлежит области определения операторов, входя­ щих в уравнение, до их замыкания и, следовательно, является истинным решением.

Ли т е р а т у р а : [31], [35].

9.Примеры.

1. П о д г о т о в к а у р а в н е н и я к п р и м е н е н и ю м е т о ­ да п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и же н и й . Пусть в урав­ нении

Bx = f

оператор В линеен, ограничен и имеет спектр, лежащий внутри правой полуплоскости ReA>0 комплексной плоскости К. После умножения обеих частей уравнения на число k и прибавления

кобеим частям элемента х оно приводится к виду

x= { I - k B ) x + kf.

При достаточно малом k оператор / — kB будет иметь спектр, лежащий внутри единичного круга, и следовательно, для отыска­ ния решения нового уравнения (эквивалентного старому) при­ меним метод последовательных приближений.

Аналогичное преобразование уравнения иногда удобно при­ менять, заменяя умножение на число k умножением на подходя­ щим образом подобранный оператор К.